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Espacio euclídeo 12. ESPACIO EUCLÍDEO 12 12.1. PRODUCTO ESCALAR En el espacio vectorial se define el producto escalar de dos vectores y como el número real que resulta del producto matricial y se nota por: , … 12.1.1. PROPIEDADES El producto escalar tiene las siguientes propiedades: 1. , Se verifica que 2. , , 3. para todo para todos y , , , es para todos , , para todos , , 0 y y , y y 0 (es simétrico) (es bilineal) (es definido positivo) 12.1.2. NORMA DE UN VECTOR Si , se llama norma o magnitud de al número real no negativo: Un vector Si se dice que es un vector unitario si su norma vale 1. es un vector no nulo y no unitario, se llama normalizado de al vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que . El normalizado de es el vector: 1 Álgebra Lineal Miguel Reyes – Águeda Mata EJEMPLO 1: 1 0 calcular el producto de 1 0 1 1 y 1 1 Dados , . Estudiar si o son unitarios, y en caso negativo normalizar los vectores. Solución: , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 √4 1 1 1 1 0 1 0 2 2 1 0 Luego los vectores no son unitarios. El normalizado de es el vector 1 0 1 0 1 0 √2 1/2 1/2 . 1/2 1/2 1/√2 0 1/√2 0 El normalizado de es el vector: 12.2. DISTANCIAS Y ÁNGULOS ENTRE DOS VECTORES Dados dos vectores , , se define la distancia entre y como la norma del vector diferencia: , Se llama ángulo que forman dos vectores no nulos y de cos al único valor 0, tal que Dos vectores no nulos y son ortogonales, si el ángulo que forman es , y se tiene que: 2 cos 0 0 0 , 0 Espacio euclídeo 12 EJEMPLO 2: Dados 1 0 , calcular 1 0 1 1 y 1 1 , y el ángulo que forman y . ¿Son ortogonales los vectores y ? Solución: 1 0 1 0 1 1 1 1 , 1 cos 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 0 2 2 1 2√2 √2 1 2 2 1 2 1 1 arccos √10 1 √2 3 4 Los vectores y no son ortogonales. 12.3. COMPLEMENTARIO ORTOGONAL DE UN SUBESPACIO Sea un subespacio vectorial de . Se llama complementario ortogonal de en formado por todos los vectores de subespacio vectorial que se nota por al que son ortogonales a todos los vectores de : , , 0 12.3.1. PROPIEDAD Si ,…, es una base cualquiera de , entonces el complementario ortogonal de , se puede definir como: , 0 Demostración Sea , , , 0 , 0 , , , se trata de comprobar que 0 3 Álgebra Lineal • Claramente se tiene que si • Para demostrar que también Para todo vector entonces , , Puesto que , por tanto se verifica que , se considera un vector … se tiene que , Por tanto Miguel Reyes – Águeda Mata … 0 para todo y . , , y el producto , … resulta: , 0 se deduce que ,…, y por tanto si es una base de entonces: , , 0 EJEMPLO 3: Calcular una base del complementario ortogonal del subespacio 1 1 0 , 1 2 0 Solución: Las ecuaciones implícitas de , , se obtienen directamente de la definición: 0 , 2 , 1 0 2 1 1 0 0 0 0 0 Para obtener una base a partir de las ecuaciones implícitas se resuelve el sistema dado: 1 1 0 1 20 ~ 00 0 Se deduce que 2 2 1 0 2 2 2 0 20 es una base de 2 2 1 . OBSERVACIONES • Si es un subespacio de un subespacio de , en la unidad 9 se ha definido el complementario de como tal que dim y dim 0. Este subespacio no es único: el subespacio puede tener muchos subespacios complementarios en . Espacio euclídeo • • El subespacio es un subespacio complementario de en el sentido de que dim y dim Cada subespacio , • 12 0 de , tiene un único subespacio complementario ortogonal 0 . El subespacio complementario ortogonal de es , es decir: EJEMPLO 4: 1 1 , 1 Comprobar que los subespacios y , que tienen por bases 0 1 1 1 0 1 y son complementarios. Determinar si es el complementario ortogonal de y en caso negativo calcular una base del complementario ortogonal de cada uno de ellos. Solución: 2, dim y verifican que: dim Tanto como son subespacios vectoriales de A partir de las bases de y de se obtiene un sistema de generadores de 1 1 , 1 0 1 1 , 0 1 1 1. : Para calcular una base, se calcula el rango de la matriz que tiene por columnas a los vectores generadores: 1 1 1 1 0 1 1 0 ~ 0 1 1 0 1 1 , 1 El rango es 3, por tanto dim Se tiene que dim dim 0 1 1 0 1 1 , 0 1 1 dim 1 1 ~ 0 0 0 0 0 3. y dim dim 3 y dim 0 0 2 1 0 por tanto y 1 complementarios, pero no son complementarios ortogonales, pues 1 1 1 1 1 , 0 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 0 son subespacios 1 , 0 1 y 0 5 Álgebra Lineal Miguel Reyes – Águeda Mata El complementario ortogonal de es: 1 1 1 0 1 1 , 0 0 , 0 0 Para obtener una base a partir de las ecuaciones implícitas se resuelve el sistema: 1 0 Se deduce que 1 1 1 0 ~ 10 0 2 1 1 0 2 2 0 10 es una base de 2 1 1 . El complementario ortogonal de es: , 1 0 1 0 , 0 Para obtener una base a partir de las ecuaciones implícitas se resuelve el sistema: 0 0 1 0 1|0 1 0 1 Se comprueba que los dos vectores obtenidos son linealmente independientes, de donde se deduce que 0 1 , 0 1 0 1 es una base de .