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La geometría celeste
Copérnico
Copérnico nació en Torun (Polonia) el 19 de Febrero de1473 y murió en Frauenberg en
1543. En 1543 se publicó el libro De Revolutionibus, en este libro rompe con la concepción
Ptolemaica del universo (Teoría Geocéntrica) y expone su concepción Heliocéntrica del
universo. Su solución exige que se admitan los postulados siguientes:
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El mundo (universo) es esférico.
La tierra también es esférica.
Que el movimiento de los cuerpos celestes es uniforme, circular o compuesto de
movimientos circulares y uniformes.
El movimiento de rotación de la Tierra de Oeste a Este será observado como un
movimiento de la bóveda celeste en sentido contrario.
Qué la tierra no es el centro del Universo, sino el Sol.
El cielo es inmenso en comparación con la Tierra.
Que las retrogresiones de los movimientos de los planetas no son más que aparentes
y no movimientos verdaderos y son debidas al movimiento de traslación de la Tierra
alrededor del Sol.
Que los planetas se mueven alrededor del Sol en órbitas concéntricas en el orden:
Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. La Luna a su vez gira alrededor de
la Tierra.
Actividades
Cálculo de la distancia del Sol a los planetas
Se llama elongación de un planeta al ángulo planeta-Tierra-Sol (véase el dibujo).
Este ángulo es variable en función de las posiciones de los tres astros, pero en el caso de
Venus, la figura muestra que su elongación no puede pasar de un cierto valor máximo que se
alcanza cuando la línea Tierra-Venus es tangente a la órbita venusiana.
1.
Sabiendo que el valor máximo de la elongación de Venus es de unos 46°, calcula la
distancia del Sol a Venus. (Nota: tomad distancia Sol-Tierra = 150.000.000 Km; tanto
este problema como el siguiente los propuso Copérnico en su obra de
Revolutionibus).
Conjunción, cuadratura y oposición
La elongación de Marte no tiene ningún valor límite por ser su órbita exterior a la terrestre.
En la figura se destacan algunas de las distintas posiciones que puede tomar Marte:
conjunción, cuadratura y oposición.
Copérnico sabía que Marte completa su órbita en 387 días y que la Tierra lo hace en 365
días y cuarto. También sabía que desde la cuadratura hasta la oposición transcurren 106 días:
1.
2.
3.
Calcula los ángulos T2-S-T3 y M2-S-M3 (corresponden a los
ángulos recorridos por la Tierra y Marte en los 106 días que
separan la cuadratura de la oposición)
Con los datos anteriores, estudia el triángulo S-T2-M2
Aprovechando los datos obtenidos en los apartados anteriores,
calcula la distancia Tierra-Marte.
Tycho Brahe.
Tycho Brahe (1546-1691) nació en Suecia, que entonces formaba parte de Dinamarca.
Tycho no aceptó nunca la teoría copernicana y su sistema era una mezcla del sistema de
Ptolomeo y la nueva concepción copernicana: para él la Tierra estaba fija en el centro del
Universo, mientras que el Sol y la Luna giraban en torno de ella. El resto de los planetas
giraban no alrededor de la Tierra, sino alrededor del Sol.
Su modelo supone pues un paso atrás en la explicación del sistema solar. El mérito de Tycho
consistió en su habilidad y su paciencia en la observación. Los datos que obtuvo en toda su
vida fueron determinantes para conseguir la descripción correcta del movimiento planetario.
Kepler (1571-1630)
Kepler (de nacionalidad Alemana) se hizo cargo del puesto de Tycho cuando este murió
(1601), y por tanto, quedó al cargo de todos sus datos. Kepler adoptó y defendió la teoría
copernicana.
Inicialmente Kepler elaboró una teoría mística sobre el
sistema solar mediante construcciones geométricas con
polígonos regulares y sólidos regulares. Necesitaba más
datos para esta construcción y Tycho era la persona que
los tenía. El primer problema que se planteó fue
determinar la órbita de Marte a partir de los datos que
tenía Tycho. Kepler dijo que resolvería el problema en 8
días que se convirtieron en 6 años, pero del trabajo
realizado para resolver este problema obtuvo las leyes
definitivas que explican el movimiento de los planetas.
La ley de Bode
La mejor aproximación que se conoce para determinar
la distancia de los planetas al Sol es la ley de Bode: "tómese la serie 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96,...
y añádase 4 a cada término; luego divídase por 10". Esto da la
serie 0.4; 0.7; 1; 1.6; 2.8; 5.2; 10 ... Si admitimos que la distancia
de la Tierra al Sol es 1, se obtiene que las distancias de Mercurio,
Venus, Marte, Júpiter y Saturno son de aproximadamente 0.39;
0.72; 1.52; 5.2 y 9.54. Por tanto, al eliminar 2.8 de la serie de
Bode, el resto de la serie nos da una aproximación a las
distancias de los primeros 6 planetas al Sol. Esta Ley funcionó
también para Urano (descubierto en 1781): distancia de Bode
19.6; distancia real 19.18. Con Neptuno (38.8 contra 30.07)
aumentó la diferencia, y con Plutón (77.2 contra 39.5) se
comprobó su ineficacia.
Cómo construir una elipse
La elipse puede trazarse colocando unas "chinchetas" fijas en S y
T y "clavando" un cordel con las dos "chinchetas", después
pasamos el lápiz M, tal como indica la línea de puntos, y moviendo el lápiz de tal modo que el
cordel se mantenga tenso.
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1.
S y T se llaman los focos de la elipse.
AB se llama el eje mayor de la curva. El punto O, centro de AB, se llama centro. CD se
llama eje menor de la elipse.
Si dividimos OS por OA, la fracción resultante se llama excentricidad de la elipse.
Cuando la excentricidad es pequeña, los focos se encuentran cerca del centro, y la
elipse se parece a una circunferencia. Si la fracción es grande, los focos distan del
centro y la elipse es más alargada. Las órbitas planetarias tienen excentricidades que
varían de 0.007 (Venus) a 0.2 (Mercurio) y, por tanto, se parecen mucho a una
circunferencia.
Para un punto cualquiera P situado sobre la curva obtenida, ¿a qué es igual la suma
de las distancias de P a cada una de las chinchetas (PS+PT)
Las Leyes de Kepler.
1º Ley de Kepler (1609): Ley de las órbitas elípticas.
Los planetas se mueven en órbitas elípticas que tienen al Sol en uno de sus focos.
Actividades
Se llama unidad astronómica (U.A.) a la distancia de la Tierra al Sol .
1.
2.
3.
La distancia máxima de Saturno al Sol es de 10.09 U.A., y la distancia mínima es de 9
U.A. Calcula la excentricidad de la órbita.
Infórmate de cuándo pasó por última vez y cuándo volverá a pasar cerca de la Tierra
el cometa Halley. Sabiendo que su excentricidad es de 0.9673 y la distancia mínima al
Sol es de 87.8 millones de Km, calcula su distancia máxima al Sol.
Sabiendo que la distancia máxima de la Tierra a la Luna es de 407.600 Km (apogeo) y
que la distancia mínima es de 356.700 Km (perigeo), dibuja a la escala que creas
conveniente la Tierra, la Luna y la órbita que la Luna describe alrededor de la Tierra.
4.
5.
Las órbitas planetarias tienen excentricidades que
varían desde 0.007 (venus) a 0.2 (Mercurio).
Dibuja dos elipses con los mismos semiejes
mayores con estas excentricidades, y una
circunferencia de centro el punto medio del
segmento que une los dos focos y de radio el
semieje mayor común de las elipses. Compara las
figuras.
La órbita de la Tierra alrededor del Sol es una
elipse en la cual el Sol se encuentra en uno de los
focos. ¿En qué época del año crees que está la
Tierra más cerca del Sol?¿Dependen las
estaciones de la distancia de la Tierra al Sol? ¿por
qué?
2ª Ley de Kepler (1609): Ley de las áreas.
En un mismo intervalo de tiempo el segmento que une el Sol y el planeta barre la misma área
en cualquier lugar de su órbita elíptica. Es decir, la velocidad con que se mueven los planetas
no es uniforme sino que un planeta gira a más velocidad si está más cerca del Sol.
3ª Ley de Kepler (1619): Ley de los tiempos
El cuadrado del periodo de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol,
donde la distancia media al Sol es la mitad de la longitud del eje mayor de la órbita. Si T es el
periodo y D la distancia media al Sol entonces la razón
planetas.
es la misma para todos los
Actividades
1.
La tercera ley de Kepler describe cómo varía la velocidad de traslación de la órbita de
la Tierra alrededor del Sol. El punto en que la Tierra está más cerca del Sol se
denomina perihelio y el punto en que está más alejada afelio.
a. ¿Dónde se mueve la Tierra con más rapidez, en el afelio o en el perihelio?
b. ¿En qué mes del año en que estamos es mayor la velocidad de la Tierra en su
órbita alrededor del Sol? ¿dónde está la Tierra en ese momento, en el afelio o
en el perihelio?
c. ¿En qué mes es mínima la velocidad?
2.
a.
Calcula la constante que verifican todos los planetas del sistema solar a partir
de la 3ª ley de Kepler. (El semieje mayor de la órbita de la Tierra es de
152.100.000 Km)
b.
c.
d.
e.
Si la distancia máxima al Sol de los planetas Saturno y Urano es de 9.6 y 19.6
U.A. respectivamente (distancias aproximadas) calcula el periodo en que
completan su órbita alrededor del Sol.
Sabiendo que el tiempo que tardan Mercurio y Júpiter en realizar un giro
completo alrededor del Sol es 88 días para Mercurio y 11 años y 10 meses
para Júpiter (aproximadamente) calcula el semieje mayor de la elipse que
describe en su movimiento.
Tomando como semieje mayor de la Tierra una U.A., calcula el semieje mayor
de la órbita del cometa Halley. Compara este resultado con el anteriormente
obtenido.
El planeta Neptuno tiene una órbita cuya distancia media al Sol es de 2,7963
miles de millones de millas y una excentricidad de 0,0082. El planeta Plutón
gira en una órbita cuya distancia media al Sol es de 3,666 miles de millones
de millas y su excentricidad es de 0,2481. Comprueba que Plutón está en
algunas ocasiones más cercano al Sol que Neptuno (esto ocurrirá desde 1969
hasta el 2009).
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