Download Saint Gaspar College - Departamento de Ciencias y Tecnología 2017

Saint Gaspar College
MISIONEROS DE LA PRECIOSA SANGRE
Formando Personas Integras
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
MISS YORMA RIVERA M.
GUIA DE APRENDIZAJE
LEYES DE KEPLER
Antes de iniciar el estudio de las leyes de Kepler, debemos recordar el concepto de elipse. Es una figura
geométrica simétrica que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos (F1 y F es constante
AO = A’O semieje mayor
BO = B’O semieje menor
OF = OF’= distancia desde el centro de la elipse a los focos
La ecuación de la elipse es:
𝒙𝟐
𝒂𝟐
𝒚𝟐
+ 𝒃𝟐 = 𝟏
La excentricidad (e) es una medida de la forma de la elipse. Es la razón entre OF / OA. Su valor es siempre
menor que 1. Si e es cercano a 1 la elipse es alargada; si es cercana a 0 tiene forma similar a una circunferencia.
Johannes Kepler llegó a trabajar con Tycho Brahe un año antes que
éste muriera y heredó todas sus observaciones planetarias. Realizó
estudios matemáticos y cálculos de estas observaciones. De esta
manera, logró enunciar las tres leyes que describen el movimiento
planetario.
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Primera ley de Kepler
“Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en uno de esos focos”
El Sol y los planetas están unidos gravitacionalmente y la fuerza de atracción disminuye a medida que aumenta
la distancia entre ellos.
Los planetas tienen órbitas casi circulares, por lo tanto, e tiende a 0 y los cometas tienen órbitas muy
excéntricas.
Segunda ley de Kepler o ley de las áreas
“El radio vector que une al Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales”
El radio vector es la línea que une al Sol con el planeta que gira en la órbita elíptica. A medida que el planeta
recorre su órbita, el radio vector cubre un área dentro de la elipse en un intervalo de tiempo t. Esta ley es
consecuencia de la ley de conservación del momento angular, propiedad que tienen los sistemas de rotación.
El punto más alejado del Sol dentro de la órbita se llama afelio y el más cercano perihelio. En esos puntos la
velocidad es perpendicular al radio vector; la segunda ley se puede expresar también de la siguiente forma:
𝒗𝟏 ∙ 𝒓𝟏 = 𝒗𝟐 ∙ 𝒓𝟐
Donde v1 y v2 son la velocidad orbital en el perihelio y en afelio, respectivamente; r1 y r2 a la distancia del planeta
al Sol.
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Ejemplo 1
La Tierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol. La distancia al Sol en el perihelio es 1,475x108 km y en el
afelio 1,526x108 km, la velocidad en este punto es 29,1 km/s. Calcular la velocidad de traslación de la Tierra en el
perihelio
Datos
r1 = 1,475x108 km
r2 = 1,526x108 km
v2 = 29, 1 km/s
v1 = x
v1r1 = v2  r2
x  1,475x108 km = 29, 1 km/s  1,526x108 km
x = 4, 48644x109 km2/s
1,475x108 km
x = v1 = 30,4165 km/s
Respuesta: La velocidad en el perihelio es 30, 4165 km/s
Tercera ley de Kepler
“El cuadrado del periodo orbital de cualquier planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita
elíptica”
Esta ley se basa en datos de Tycho Brahe y la expresó en base a una constante de proporcionalidad K
𝑻𝟐 =
𝟒𝝅𝟐 𝒂𝟑
𝑮𝑴
o bien
𝑻𝟐
𝒂𝟑
=𝑲
Donde T es periodo y a es el radio promedio de la órbita (se puede considerar como el semieje mayor ya que
las órbitas son de excentricidad muy pequeña).
Periodo orbital y semieje mayor de los planetas del sistema solar
Planeta
Mercurio
Venus
Tierra
Marte
Júpiter
Saturno
Urano
Neptuno
Periodo T (años)
0, 24
0, 62
1, 00
1,88
11, 86
29, 34
84, 25
165, 7
Semieje mayor a (x106 km)
58,05
108,45
150,00
228,60
780,45
1427, 70
2883, 90
4529, 70
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Ejemplo 2
Teniendo en cuenta que la distancia Venus-Sol es 0, 723 U.A., calcular un año de Venus medido en años
terrestres.
Datos:
D V -S = 0, 723 U. A.
TT = 1 año
RT = 1 U. A.
TV = x
Nota: U. A. Unidad astronómica es la distancia entre la Tierra y el Sol
Usando la tercera ley de Kepler tendremos…
𝑻𝟐
=𝑲
𝒂𝟑
Recuerda que la constante es la misma para cada planeta; por lo tanto, la ecuación queda:
TT2
dT 3
(1 año)2
(1 U. A.)3
T V2
dV3
X2
(0, 723U. A.)3
1 año2  0, 377933 U. A.3
1 U. A.3
0, 377933 año2 = X2
X2
0, 6147626 año = TV
Respuesta: El periodo de Venus es 0, 614 años terrestres
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EJERCICIOS
1. En una zona del espacio existe un campo gravitatorio cuya intensidad
es 0, 2 N/kg. Calcular la fuerza en N, que actúa sobre una masa de 1
tonelada situada en dicha zona.
2. Un hombre pesa, en la superficie terrestre, 800 N. Si fuera
transportado a una altura igual que el radio de la Tierra. Calcular su
masa y su peso en unidades del sistema internacional.
3. El periodo de Mercurio en torno al Sol es del orden de ¼ del año terrestre. El radio medio de la órbita de
Plutón en torno al Sol es cien veces mayor que el radio medio de Mercurio. Calcular el valor aproximado del
periodo de Plutón en torno al Sol, medido en años terrestres.
4. Un planeta X recorre en el perihelio, un área A, en un tiempo t. ¿Qué área recorre en el afelio, en un tiempo
de 4t?
5. La masa de Marte es 6, 4x1023 kg y la del Sol 2x1030 kg. Calcular la fuerza, en Newton, con que el Sol atrae a
Marte, si la distancia entre ellos es 2,3x108 km.
6. En cierta zona del espacio existe un campo gravitatorio de intensidad desconocida. Sin embargo, se sabe
que la fuerza que actúa sobre una masa de 1 tonelada, debida a dicho campo, es 500 N. ¿Cuál es el valor del
campo gravitatorio en la zona?. Expresar el resultado en unidad S. I.
7. La intensidad del campo gravitatorio terrestre (aceleración de gravedad: g) es inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia (d). Graficar d v/s g para R y 2R.
8. La Tierra describe una órbita elíptica alrededor del Sol.
a) ¿Dónde es mayor la velocidad de la Tierra, en el afelio o en el perihelio? ¿Por qué?
b) ¿Dónde es mayor la cantidad de movimiento de la Tierra en el perihelio o en el afelio? ¿Por qué?
9. ¿Cómo se llama el plano que define el Sol y la órbita que describe la Tierra alrededor de él? (INVESTIGA)
10. Basándose en la segunda ley de Kepler, ¿cómo es la velocidad de la Tierra en su movimiento alrededor del
Sol?
11. Dos masas M y m, se encuentran a una distancia d y se atraen con una fuerza F. ¿Qué sucede con la fuerza
entre ellas si se duplica la primera masa, se cuadruplica la segunda y se duplica la distancia de separación
entre ellas?
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