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2.3. Definición de las Funciones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo.
Es posible extender las definiciones de las funciones trigonométricas a cualquier
triángulo rectángulo utilizando las relaciones que existen entre triángulos semejantes.
En la Fig. 2, es claro que los triángulos
OAB y OPC son semejantes.
P(x, y)
Y
AB
PC
=
, pero OA = 1
OA
OP
y AB = sen θ. Luego:
cateto opuesto
PC
sen θ =
=
en
hipotenusa
OP
OB
OC
=
,
∆ OPC. Análogamente,
OA
OP
pero OA = 1 y OB = cos θ. Luego:
cateto adyacente
OC
=
cos θ =
en
hipotenusa
OP
∆ OPC
A
Luego:
θ
O
C
B
Fig. 2
En base a lo anterior y a la definición 2.4, se tiene que en el ∆ OPC:
tg θ =
cateto opuesto
PC
=
cateto adyacente
OC
sec θ =
hipotenusa
OP
=
cateto adyacente
OC
cotg θ =
cateto adyacente
OC
=
cateto opuesto
PC
cosec θ =
hipotenusa
OP
=
cateto opuesto
PC
Utilizando consideraciones geométricas, se pueden calcular los valores de las
funciones trigonométricas de algunos ángulos cuyo lado Terminal se encuentra en el
interior de los cuadrantes. En particular, se determinarán los ángulos
π
3
,
π
4
y
π
6
.
De geometría Plana se tiene que un triángulo rectángulo cuyos ángulos miden
π
3
π
6
y
, la hipotenusa mide el doble del cateto menor.
Y
P
π
O
6
Fig. 3.a)
A
X
Considerando la Fig. 3.a) en el ∆ OAP, ∠ AOP =
hipotenusa OP es igual a 1 y el cateto menor AP mide
π
6
, la longitud de la
1
. Usando Teorema de Pitágoras,
2
se tiene:
1
1
3
1
=
∴ OA =
3
4
4
2
Luego aplicando la definición de funciones trigonométricas en un triángulo
rectángulo, se obtiene:
π
1
π
3
π
3
sen
=
cos
=
tg
=
6
2
6
2
6
3
π
π
2 3
π
= 3
sec
=
cosec
= 2
cotg
6
6
3
6
2
2
OA = OP – AP
2
2
⇒ OA = 1 –
Y
R
π
Fig. 3.b)
3
O
B
X
Análogamente, considerando la Fig. 3.b), en el ∆ OBR, ∠ ABR =
1
3
y BR =
, se tiene:
2
2
π
3
=
cos
sen
3
2
π
3
cotg
=
sec
3
3
π
3
, OR = 1,
OB =
π
3
π
3
=
1
2
tg
=2
π
3
cosec
=
π
3
3
=
2 3
3
De Geometría Plana si un triángulo rectángulo tiene un ángulo cuya medida es
π
4
entonces se trata de un triángulo rectángulo isósceles, luego por Teorema de Pitágoras la
2
medida de sus catetos es
(Ver Fig. 4.)
2
Y
P
π
4
O
Luego: sen
sec
π
4
π
4
=
=
2
π
= cos ;
2
4
2 = cosec
Fig. 4.
A
(1,0)
X
tg
π
4
= 1 = cotg
π
4
π
4
2
Resumen:
θ
0
π
π
π
π
4
3
sen θ
0
6
1
2
cos θ
1
1
2
2
1
2
2
1
3
2
1
2
2
1
1
3
2
0
Definición 2.5.
Si f y g son dos funciones trigonométricas que satisfacen:
π
π
π
f ( − θ ) = g (θ ) o f (θ ) = g ( − θ ) ;
0<θ<
2
2
2
COFUNCIONES.
entonces f y g se llaman
De los resultados obtenidos anteriormente se puede observar que:
π
π
π π
3
= cos
= cos ( – ) =
3
6
2 3
2
π
π
π π
tg
= cotg
= cotg ( – ) = 3
3
6
2 3
π
π
π π
= cosec
= cosec ( – ) = 2
sec
3
6
2 3
sen
π
π
π π
3
= sen
= sen ( – ) =
6
3
2 6
2
π
π
π π
o cotg
= tg
= tg ( – ) = 3
6
3
2 6
π
π
π π
o cosec
= sec
= sec ( – ) = 2
6
3
2 6
o
cos
De modo que son cofunciones: seno y coseno, tangente y cotangente, secante y
cosecante.
3