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Curso de Matemáticas para Física por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física por: Rafael Cautivo Sánchez Funciones trigonométricas (en el triángulo) Trigonometría Física I, vi@ Internet B c A α b a C Trigonometría Física I, vi@ Internet por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Funciones trigonométricas (en el triángulo) • Algunas consideraciones sobre el triángulo rectángulo • • • Sea un triángulo rectángulo cualquiera ∆ ABC Se distingue su hipotenusa y los catetos. En relación a un ángulo, distinguiremos el cateto adyacente a él y el cateto opuesto a el: Por ejemplo: • B Hipotenusa A c a α Cateto opuesta a α C b Cateto adyacente a α Trigonometría Física I, vi@ Internet por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Funciones trigonométricas (en el triángulo) • Sea un triángulo rectángulo cualquiera • Se definen, para el ángulo ∆ ABC α, las funciones siguientes: • Seno, Coseno, Tangente a = c b cateto adyacente cos(α) = = hipotenusa c a tg(α) = cateto opuesto = b cateto adyacente cateto opuesto sen(α) = hipotenusa B c A a α b C Trigonometría Física I, vi@ Internet Funciones trigonométricas (en el triángulo) Realicemos el ejercicio de determinar los valores de las funciones por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física trigonométricas para el ángulo α del triángulo siguiente: Midamos los lados del triángulo: a ≈ 29 cm b ≈ 56 cm c ≈ 64 cm c α b α ≈ 28º sen(α) sen(α)== a/c a/c y calculemos: cos(α) cos(α)==b/c b/c sen(28º) ≈ 0,453125 tg(α) tg(α)==a/b a/b cos(28º) ≈ 0,875 tg(28º) ≈ 0,51785 a Evidentemente los resultados que proporcionan las calculadoras son mejores! Trigonometría Física I, vi@ Internet por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Funciones trigonométricas (en el triángulo) ¿Cómo serán el verde? sen(28°), cos(28°) y tg(28°) para el triángulo Correcto. Los mismos, pues los lados del triángulo verde son proporcionales a los del otro triángulo! c α sen(α) sen(α)== a/c a/c a cos(α) cos(α)==b/c b/c α ≈ 28º tg(α) tg(α)==a/b a/b b Trigonometría Física I, vi@ Internet Triangulaciones por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias :: ¿Cuál es la altura del árbol? h tg (55°) = 30 m h = 30 m ⋅ tg (55°) h h = 30 m ⋅ 1,428 h = 42,84 m 55º 30 m. Trigonometría Física I, vi@ Internet Triangulaciones por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias ::¿Cómo medir el ancho del río? Ejemplo, A si α = 72º y d = 20 m h tg (α ) = d h = d⋅ tg (α ) h = 20 m ⋅ tg (72°) d h B α C h = 20 m ⋅ 3,077 h = 61,55 m Trigonometría Física I, vi@ Internet Triangulaciones por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias 12700 km 89,05º α = 1,9º d=? Trigonometría Física I, vi@ Internet Triangulaciones por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias α = 1,9º/2 = 0,95º R 6370 km d=? R tg (0,95°) = d 6370 km tg (0,95°) = d d = 384.148 km Trigonometría Física I, vi@ Internet Triangulaciones 384.600 km por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias 61 ,8 ° ¿C uál e Sol? l a a i c tan s la dis Tarea Trigonometría Física I, vi@ Internet Triangulaciones por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Aplicaciones de la trigonometría en medición de distancias Técnica para medir distancias a estrellas cercanas 300 millones de km de base Trigonometría Física I, vi@ Internet por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Los valores de las funciones trigonométricas • Es claro que la trigonometría es útil sólo si conocemos los valores de ellas para cualquier ángulo. • Si no tenemos esta información, no nos sirve para nada. • Por esta razón, desde el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7,1° y yendo hasta 180° Trigonometría Física I, vi@ Internet Ejemplo de Tabla Trigonométrica por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Una página cualquiera Ángulo(°) 3,00 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 seno coseno tangente 0,0523 0,9986 0,0524 0,0525 0,9986 0,0526 0,0527 0,9986 0,0528 0,0529 0,9986 0,0529 0,0530 0,9986 0,0531 0,0532 0,9986 0,0533 0,0534 0,9986 0,0535 0,0536 0,9986 0,0536 0,0537 0,9986 0,0538 0,0539 0,9985 0,0540 0,0541 0,9985 0,0542 Trigonometría Física I, vi@ Internet por: Rafael Cautivo Sánchez Curso de Matemáticas para Física Algunas interrogantes • ¿Cómo sabe la calculadora que • • • • • • • sen(120º) = 0,866 ? tan (325º) = – 0,7002 ? cos (1235º) = – 0,906 ? tg(– 45º) = – 1 ? Y no sabe... tg(90º) = -E- ? Error!! tg(270º) = -E- ? Todo esto es un poco raro pero.... ...lo aclararemos de inmediato. Trigonometría Física I, vi@ Internet