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ÁLGEBRA
1. Sean
Espacios Vectoriales.
V1
y
V2
dos espacios vectoriales (con el mismo cuerpo de escalares).
Considérese el producto cartesiano
V 1 xV 2 , en el que se definen la suma y el producto
por un escalar mediante:
( 1, 2)  ( 1' , '2)  ( 1  1' , 2 
v v
v v
v v v
.(v1, v2)  (v1, v2)
Pruébese que con estas operaciones,
'
v 2)
V 1 xV 2 es un espacio vectorial.
V 1 y V 2 tienen dimensión finita, compruébese que:
dim(V 1 xV 2)  dim(V 1)  dim(V 2)
Si
[Bur]
V  M 2 x2 , de las matrices cuadradas de tamaño
2x2, y sea S  ( M 1, M 2 , M 3 , M 4) el sistema formado por las matrices:
2. Considérese el espacio vectorial
0
0
0
,M 2  

1
0
M 1  0

1
1
,M3  

1
0
1
1
,M 4  

0
1
0
0
a) Comprobar que S es una base de V.
b) Hallar las coordenadas
x1, x 2, x3, x 4 en la base S, de una matriz genérica de V:
M
a

c
b
d 
[Bur]
3. En el espacio vectorial V de los polinomios de grado menor o igual que 4, se consideran los
polinomios:
2
(
x
)

3

2
x

4 3 4
1
p
x x
x
p 2 ( x )  4  x  x 2  6 x3  2 x 4
p 3 ( x )  7  8 x  3 x 2  a x3  b x 4
(a, b reales fijos).
Hallar a y b para que el subespacio que engendran
p1( x), p2 ( x), p3 ( x)
tenga
dimensión 2. Hallar una base cualquiera de este subespacio y determinar las coordenadas
en ellas de los tres polinomios dados.
[Bur]
4. Hallar el valor que hay que asignar al parámetro
formen base del espacio vectorial
3
2

2
1
,,
2
1

1
0
,,
6
4

M 2 x2

para que las siguientes matrices no
, de las matrices cuadradas de tamaño 2x2:
5
2
,,
5
4

4
 
[Bur]
1
ÁLGEBRA
Espacios Vectoriales.

u  (1,1,4)  R
3
como combinación lineal de los vectores de R :
3
5. Escribir si es posible el vector
en cada uno de los siguientes casos,
a) (1,1,2) , (0,0,1)
b) (2,-2,0) , (-1,1,2)
c) (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,0)
6. En el espacio vectorial
V  F ( R, R)
[Sanz]
de las funciones de R en R, se consideran el
sistema de funciones:
S=(1, sen x, cos x, sen 2x, cos 2x).
a) Comprobar que S es linealmente independiente.
b) Hallar una base B del subespacio que engendran las funciones:
F1(x) = 1 - 2sen x +3cos x –sen 2x
F2(x) = sen x +cos x – 2sen 2x – cos 2x
F3(x) = 2 -cos x + sen 2x + 3 cos 2x
F4(x) = 1 + 4sen x - 2cos x – 2sen 2x + cos 2x
F5(x) = 4 + sen x - cos x + 5 cos 2x
c) Completar la base B hasta obtener una base del subespacio engendrado por S.
[Bur]
 
7. Hallar el subespacio vectorial

W  L (u , v )
de
R
4
, siendo:
u  (1,2,0,3)

v  (0,1,2,1)

¿Para qué valor de a se verifica que
w  (2, a,2,5) W
?
[Sanz]
8. Una Compañía constructora almacena tres mezclas básicas A, B y C. Las cantidades se
miden en gramos y cada unidad de mezcla pesa 60 gramos. Pueden formularse mezclas
especiales de argamasa, efectuando combinaciones de las tres mezclas básicas. Por ello,
las mezclas especiales posibles pertenecen al espacio generado por los tres vectores que
representan las tres mezclas básicas.
La composición de éstas es:
A
Cemento
Agua
Arena
Grava
Tobas
B
20
10
20
10
0
18
10
25
5
2
C
12
10
15
15
8
a) ¿Es posible hacer una mezcla que consiste en 1.000 gr de cemento, 200 gr de agua,
1.000 gr de arena, 500 gr de grava y 300 gr de tobas?
¿Por qué se puede o por qué no?
Si se puede, cuantas unidades de cada mezcla básica A, B y C se necesitan para
formular la mezcla especial?
b) Supóngase que se desea hacer 5.400 gr de argamasa, de manera que contenga 1.350
gr de cemento, 1.675 gr de arena y 1.025 gr de grava. Si la razón de agua a cemento
es de 2 a 3 ¿Qué cantidad de tobas debe utilizarse para obtener los 5.400 gr de
argamasa? ¿Se puede formular esta masa como una mezcla especial? Si es así,
¿Cuántas unidades de las mezclas A, B y C se necesitan para formular la mezcla
especial?
[Sanz]
2
ÁLGEBRA
Espacios Vectoriales.
9. Probar que S es linealmente dependiente hallando una combinación lineal no trivial (de
valores de S), cuya suma sea el vector 0.
A continuación, expresar uno de los vectores del conjunto como combinación lineal de los
demás.
S  2,4,  1,2, 0,6
10. Probar que:
a) El conjunto de vectores del primer cuadrante con las operaciones canónicas, no es
subespacio de R2
W  x1, x2/ x1  0, , y, , x2  0ç
b)
Si W es el conjunto de matrices simétricas 2x2. Probar que W es un subespacio del
espacio vectorial
M 2 x2 ,
con las operaciones usuales de suma de matrices y
multiplicación por un escalar.
11. Escribir el vector w=(1,-2,2) si es posible, como combinación lineal de los vectores del
conjunto S, para:
S  1,2,3, 0,1,2,  2,0,1
M 2 x2 el conjunto de matrices 2x2, y sea W el conjunto de matrices singulares de
orden 2. Probar que W no es un Subespacio Vectorial de M 2 x2 .
12. Sea
13. Probar que el conjunto
S  1,2,3, 0,1,2,  2,0,1
genera R3
14. Determinar si es linealmente independiente el conjunto de vectores:
2
2
2

S  1  x  2 x ,2  5 x  x , x  x

15. Demostrar que el conjunto de vectores es linealmente independiente y genera R3
a)
b)
B  1,1,1, 1,1,0, 1,0,0
B  1,2,3, 3,2,1, 0,0,1
16. ¿Para qué valores de t es linealmente independiente el conjunto de vectores?:
S  t ,1,1, 1,0,1, 1,1,3t 
17. ¿Por qué S no es una base de R3?
S  1,3,0, 4,1,2,  2,5,2
18. La matriz de coordenadas de x en R2, en la base
xB  32
 
Hallar las coordenadas de x en la base canónica.
3
B  1,0, 1,2 es :
ÁLGEBRA
Espacios Vectoriales.
19. Hallar la matriz de coordenadas de x en la base B de R3:
B  8,11,0, 7,0,10 , 1,4,6

x  (3,19,2)
20. Hallar la matriz de cambio de B a B´ para las siguientes bases:
B  1,0,0, 0,1,0, 0,0,1
B´ 1,0,0, 0,2,8, 6,0,12 
21. Hallar la matriz de cambio de B a B´ para las siguientes bases:
B  1,3,3, 1,5,6, 1,4,5
B´ 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1
22. Hallar la matriz de cambio de B a B´ para las siguientes bases de R3:
B  1,0,0, 0,1,0, 0,0,1
B´ 1,0,1, 0,1,2, 2,3,5
23. Hallar la matriz de cambio de B a B´, la matriz de cambio de B´ a B y las coordenadas del
vector x respecto de la base B dadas las correspondientes a la base B´, para:
B  1,0,2, 0,1,3, 1,1,1
B´ 2,1,1, 1,0,0, 0,2,1
1
2
B´ 

 1
x
4