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10
Polígonos. Triángulos
CLAVES PARA EMPEZAR
Cada hora equivale a una abertura de 360o : 12  30o
A las 12 h: ángulo  0o
A las 11 h y a la 1 h: ángulo  30o
A las 10 h y a las 2 h: ángulo  60o
A las 9 h y a las 3 h: ángulo  90o
A las 8 h y a las 4 h: ángulo  120o
A las 7 h y a las 5 h: ángulo  150o
A las 6 h: ángulo  180o
Son secantes.
a)
6
b)
7
c)
8
d)
9
e)
 10
VIDA COTIDIANA
Forman un triángulo rectángulo.
Un ángulo recto.
RESUELVE EL RETO
Tendrá 4 lados.
295
Polígonos. Triángulos
10
Hay 10 triángulos pequeños y luego podemos considerar diferentes uniones de ellos hasta hacer un total
de 23 triángulos.
Hay varias opciones, pero al final es como dar una vuelta entera, es decir, 360o.
Se han dibujado las alturas de un triángulo rectángulo.
ACTIVIDADES
e
E
A
a
d
B
D
b
c
C
Vértices: A, B, C, D, E
Lados: a, b, c, d, e
Ángulos interiores:
Diagonales:
a) Falso. El número de lados y vértices es el mismo.
b) Falso. Un polígono es irregular si hay al menos un lado o un ángulo diferente al resto.
296
Polígonos. Triángulos
10
Un polígono de 5 lados tiene 5 diagonales.
Un polígono de 6 lados tiene 9 diagonales.
Un polígono de 7 lados tiene 14 diagonales.
…
El número de diagonales de un polígono de n lados es igual a
.
Un polígono de 16 lados tiene 104 diagonales
De izquierda a derecha: hexágono, pentágono, octógono y pentágono.
Un triángulo regular (equilátero).
Un heptágono regular tiene 7 ejes de simetría y un eneágono regular tiene 9 ejes, cada eje pasa por un vértice y la
mitad del lado opuesto.
297
Polígonos. Triángulos
a) Triángulo equilátero.
10
b) Triángulo rectángulo.
c) Triángulo obtusángulo.
Tiene un ángulo recto y todos sus ángulos y lados son distintos.
a) Sí existe. Un triángulo rectángulo en el que los catetos miden lo mismo.
b) No existe. Si un ángulo mide 90 o y otro más de 90 o, entre los dos ya suman más de 180o y eso no puede ser.
c) Sí existe.
d) No existe. Si es isósceles, dos lados son iguales; pero si es escaleno, sus tres lados son distintos, de modo que no
es posible que se den las dos cosas a la vez.
37o  53o  90o  180o
435 345 534
a) 3  3  4 4  3  3
3  4  3 4  3  3  Sí existe.
b) 9  3  5 → No existe.
c) 6  2  4 → No existe.
298
453 354 543
Polígonos. Triángulos
10
90o  4x  x  180o → 5x  90o  x  18o → Los ángulos valen 18o y 72o.
a) 5,2  7,3  4 7,3  5,2  4 4  5,2  7,3
Sí, forman un triángulo.
5,2 cm
c) 2  5,2  3,7 5,2  2  3,7 3,7  2  5,2
Sí forman un triángulo.
4 cm
3,7 cm
5,2 cm
7,3 cm
b) 5  1,8  3 →.
No forman un triángulo
2 cm
d) 5  7  6 6  5  7 7  5  6
Sí forman un triángulo.
.
5 cm
6 cm
7 cm
a)
c)
6 cm
8 cm
5 cm
5 cm
8 cm
10 cm
b)
d)
4,6 cm
3,4 cm
5,8 cm
5 cm
7,2 cm
9 cm
299
Polígonos. Triángulos
10
a) 7  4  c  4  7 → 3  c  11 → c debe ser mayor que 3 y menor que 11.
b) 5  2  c  2  5 → 3  c  7 → c debe ser mayor que 3 y menor que 7.
c)
4 cm
a)
5,6 cm
5,6 cm
4 cm
b)
d)
2,8 cm
6 cm
6 cm
2,8 cm
a) a  4a  5a → Estas medidas no forman un triángulo para cualquier valor de a.
b) a  2a 
valor de a.
300
2a  a 

 a  3a  3a → Estas medidas sí forman un triángulo para cualquier
Polígonos. Triángulos
10
Se obtienen 8  2  6 triángulos → La suma de los ángulos del octógono es 180o · 6  10 080o
Si desde un vértice salen 8 diagonales, se obtienen entonce 8  1  9 triángulos, con lo que la suma de los
ángulos del polígono es 9 · 180o  1 620o.
baricentro
circuncentro
301
Polígonos. Triángulos
10
circuncentro
baricentro
circuncentro
circuncentro
El circuncentro en cualquier triángulo rectángulo está situado en el punto medio del lado opuesto al
ángulo recto.
302
Polígonos. Triángulos
10
ortocentro
incentro
incentro
ortocentro
a)
b)
ortocentro
incentro
En un triángulo equilátero coinciden sus alturas, bisectrices, mediatrices y medianas.
303
Polígonos. Triángulos
10
a) Es un triángulo obtusángulo.
b) Es un triángulo acutángulo.
c) Es un triángulo rectángulo.
Triángulo grande: a  13 b  12 c  5 → a2  169 b2  c2  144  25 169 → Se cumple.
Triángulo pequeño: a  5 b  4 c  3 → a2  25 b2  c2  16  9  25 → Se cumple.
a  25 b  8 c  7 → a2  625 b2  c2  64  49 113
No es rectángulo porque no cumple el teorema de Pitágoras.
a  8 b  c  5 → a2 64 b2  c2  25  25  50
No existe ningún triángulo rectángulo con esas medidas porque no cumple el teorema de Pitágoras.
TRIÁNGULO 1
a  5 b  2,6 → a2  b2  c2 → 25  6,76  c2 → c2  18,24→ c 
→ c  4,27
TRIÁNGULO 2
a  10 b  8 → a2  b2  c2 → 100  64  c2 → c2  36 → c 
→c6
TRIÁNGULO 3
a  9,5 b  7,4 → a2  b2  c2 → 90,25  54,76  c2 → c2  35,49 → c 
304
→ c  5,96
Polígonos. Triángulos
10
a) a2  b2  c2 → 1 156  900  c2 → c  16
a) a2  b2  c2 → a2  36  81 → a 
b) a2  b2  c2 → a2  784  441 → a  35
→ a  10,82 → El lado mide 10,82 cm.
b) a2  b2  c2 → a2  12,96  24,01 → a 
c) a2  b2  c2 → a2  9  38,44 → a 
→ a  6,89 → El lado mide 6,89 cm.
d) a2  b2  c2 → a2  28,09  49 → a 
a) a2  b2  c2 → a2  16  16 → a 
→ a  6,08 → El lado mide 6,08 cm.
→ a  8,78 → El lado mide 8,78 cm.
→ a  5,66
b) a2  b2  c2 → a2  26,01  26,01 → a 
→ a  7,21
c) a2  b2  c2 → a2  56,25  56,25 → a 
→ a  10,61
d) a2  b2  c2 → a2  158,76  158,76 → a 
→ a  17,82
La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos. Si tomamos uno de ellos, la diagonal es la
hipotenusa y los dos catetos son los dos lados del cuadrado: b  c  2,82
Aplicamos el teorema de Pitágoras: a2  b2  c2 → a2  7,9524  7,9524 → a 
→ a  3,99
La diagonal del cuadrado mide 3,99 cm.
La diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos iguales. Si tomamos uno de ellos, la diagonal es la
hipotenusa y cada cateto equivale a cada lado del rectángulo: b  7,4, c  5.
Aplicando el teorema de Pitágoras: a2  b2  c2 → a2  54,76  25 → a 
→ a  8,93
La diagonal del cuadrado mide 8,93 cm.
305
Polígonos. Triángulos
10
La altura en un triángulo isósceles divide al triángulo en otros dos triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa
es uno de los lados iguales, un cateto es la altura y el otro es la mitad del lado desigual.
a  6 b  7,7 : 2  3,85
Aplicando el teorema de Pitágoras: a2  b2  c2 → 36  14,8225  c2 → c2  21,1775 → c 
→ c  4,6
La altura del triángulo mide 4,6 cm.
ACTIVIDADES FINALES
a)
c)
ángulos interiores
lado
diagonales
lado
ángulos interiores
diagonales
b)
d)
diagonal
lados
ángulos interiores
El de la izquierda es un eneágono; el de la derecha, endecágono.
306
ángulos interiores
diagonales
Polígonos. Triángulos
a)
10
b)
F
E
G
c)
E
D
H
C
-A
E
C
D
D
F
C
G
A
B
B
A
B
No existe ningún polígono con una única diagonal.
El triángulo no tiene diagonales.
No, no puede, porque si fuera posible existiría al menos un par de vértices no unidos por un lado.
Los polígonos tienen el mismo número de vértices y de lados.
No, porque por cada vértice, hay un ángulo interior, con lo que un polígono tiene el mismo número de lados, que
de vértices y que de ángulos interiores.
El mínimo de lados de un polígono es 3, el triángulo.
El de ángulos también 3.
El triángulo no tiene diagonales.
307
Polígonos. Triángulos
a)
b)
10
c)
d)
e)
a) 3 ejes (pasan por cada vértice y la mitad del lado opuesto).
b) 1 eje (de la mitad del lado desigual al vértice opuesto).
c) 1 eje (bisectriz del ángulo recto).
d) 4 ejes (las dos diagonales y las dos rectas que pasan por el medio de un lado y el medio del lado opuesto).
e) 2 ejes (las dos rectas que pasan por el medio de un lado y el medio del lado opuesto).
f) 2 ejes (las 2 diagonales).
g) No tiene.
308
Polígonos. Triángulos
10
a)
c)
e)
b)
d)
f)
Respuesta abierta.
Por ejemplo:
Respuesta abierta.
a) Triángulo isósceles
a) Triángulo equilátero.
b) Rectángulo
b) Triángulo rectángulo isósceles.
c) Cuadrado
c) Triángulo escaleno.
309
Polígonos. Triángulos
10
g
G
A
a
B
f
b
F
C
e
E
c
d
D
En los polígonos cóncavos, al menos una de las diagonales es exterior.
a) Hexágono convexo irregular.
b) Cuadrilátero convexo irregular.
c) Dodecágono cóncavo irregular.
d) Cuadrilátero convexo irregular.
e) Pentágono convexo irregular.
f) Triángulo convexo irregular.
Los menores de 180o están en azul claro y los mayores en azul oscuro.
No. Un polígono regular tiene todos sus ángulos iguales, con lo que si es cóncavo, todos los ángulos deberían
medir más de 180o, algo no posible.
310
Polígonos. Triángulos
10
Respuesta abierta.
a) Equilátero
b) Isósceles rectángulo
a)
c)
b)
d)
c) Escaleno
d) Isósceles
e)
g)
f)
311
Polígonos. Triángulos
10
a)
d)
50o
30o
b)
e)
30o
30o
c)
f)
80o
45o
a) 7  4  5
547
Se puede dibujar.
5 cm
4 cm
7 cm
312
475
754
574
475
Polígonos. Triángulos
10
b) 9  6  4
694
496
964
744
474
694
496
Se puede dibujar.
6 cm
4 cm
9 cm
c) 9  5  3 → No se puede dibujar.
d) 10  6  2 → No se puede dibujar.
e) 7  4  4
447
Se puede dibujar.
4 cm
4 cm
7 cm
f) 5  3  4
354
453
543
453
354
Se puede dibujar.
4 cm
3 cm
5 cm
a) Miden todos 60o.
5 cm
b) Sí, todos los ángulos de cualquier triángulo equilátero miden 60o.
313
Polígonos. Triángulos
10
a)
70o
50o
70o
40o
80o
50o
b) En un triángulo isósceles dos de los ángulos miden lo mismo.
a)
c)
45o
20o
30o
5 cm
6 cm
b)
120o
d)
60o
30o
7,5 cm
50o
50o
8 cm
314
Polígonos. Triángulos
10
5 cm
60o
70o
4 cm
70o
a)
b)
a
a)
b)
10 cm
c)
10 cm
10 cm
60o
6 cm
120o
90o
6 cm
6 cm
315
Polígonos. Triángulos
10
80o
85o
15o
60o
20o
Al ser rectángulo, uno de sus ángulos mide 90o y el otro 180  (40  90)  50o.
a) 180  (90  20)  70o
b) 180  (90  35)  55o
c) 90 : 2  45o
a) Es un triángulo isósceles, con lo que esos dos ángulos son iguales: (180  42) : 2  69o mide cada ángulo.
b) Es un triángulo isósceles, con lo que esos dos ángulos son iguales: (180  126) : 2  27o mide cada ángulo.
316
Polígonos. Triángulos
a) 180  105  75o
10
180  (75  62)  43o
El ángulo coloreado mide 43o.
b) 180  110  70o
180  (70  70)  40o
El ángulo coloreado mide 40o.
a) El otro ángulo contiguo al lado dado es 180  (60  40)  80o
60o
80o
40o
4 cm
b) El otro ángulo contiguo al lado dado es 180  ( 100  30)  50o
30o
100o
50o
7 cm
Como es rectángulo, uno de los ángulos (el opuesto a la hipotenusa que nos dan) mide 90 o y como es isósceles,
los otros dos ángulos miden igual: (180  90) : 2  45o
90o
45o
45o
4 cm
317
Polígonos. Triángulos
10
a) Los otros dos ángulos miden (180  124) : 2  28o.
124o
28o
28o
6 cm
b) Su ángulo diferente miden 180  (20  20)  140o.
20o
140o
20o
7 cm
7 cm
a) Altura.
b) Mediana.
c) Bisectriz.
d) Mediatriz.
a) Es un triángulo rectángulo. Cumple el teorema de Pitágoras: 102  62  82 → 100  36  64.
6 cm
8 cm
Hipotenusa
10 cm
318
Polígonos. Triángulos
10
b) Su circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa.
circunferencia
circunscrita
mediatriz
circuncentro
baricentro
319
Polígonos. Triángulos
10
baricentro
La distancia del baricentro a cada de uno de los vértices mide 4 cm
a) Todos los puntos notables (baricentro, ortocentro, incentro y circuncentro) coinciden.
b) Todas las rectas coinciden: mediatrices, bisectrices, medianas y alturas.
En los triángulos rectángulos el ortocentro coincide con el vértice opuesto a la hipotenusa.
a) a2  b2  c2 → 64  36  25 → No forman un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras.
b) a2  b2  c2 → 64,995844  65 (redondeando a las tres cifras decimales dadas en el enunciado)  49  16 →
Forman un triángulo rectángulo porque cumplen el teorema de Pitágoras.
320
Polígonos. Triángulos
10
c) a2  b2  c2 → 89,000356  89 (redondeando a las tres cifras decimales dadas en el enunciado)  64  25 →
Forman un triángulo rectángulo porque cumplen el teorema de Pitágoras.
d) a2  b2  c2 → 60,9961  61 (redondeando a las dos cifras decimales dadas en el enunciado)  36  25 →
No forman un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras.
a) a  9,3 b  7,1 c  5 → a2  b2  c2 → 86,49  50,41 25 → No corresponden a un triángulo rectángulo
porque no cumplen el teorema de Pitágoras.
b) a  3,5 b  3 c  1,8 → a2  b2  c2 → 12,25  9  3,24 → Corresponden a un triángulo rectángulo porque
cumplen el teorema de Pitágoras.
c) a  5
b  4,25
c  2,45 → a2  b2  c2 → 25  18,0625  6,0025 → No corresponden a un triángulo
rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras.
a) 142  102  96 →
 9,8
c) 7,42  5,22  27,72 →
 5,26
b) 162  132  87 →
 9,33
d) 6,52  4,82  19,21 →
 4,38
4
10
12
30
9
a) 172  289 → 289 : 2  144,5 →
b) 242  576 → 576 : 2  288 →
 12,02 cm
 16,97 cm
321
Polígonos. Triángulos
a) 122  144 → 144 : 2  72 →
10
 8,49 cm
b) 9,32  86,49 → 86,49 : 2  43,245 →
c) 152  225 → 225 : 2  112,5 →
 6,58 cm
 10,61 cm
Considerando el triángulo formado al unir las localizaciones (vértices) de cada uno, el lugar que equidista de los
vértices es el circuncentro, punto de corte de las mediatrices.
La diagonal divide el cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales que tienen como catetos dos lados del
cuadrado y como hipotenusa la propia diagonal. Esas tres medidas cumplen el teorema de Pitágoras.
a) a2  122  122  288 → a 
→ a  16,97 → La diagonal mide 16,97 cm.
b) a2 6,72  6,72  89,78 → a 
c) a2  8,022  8,022  128,6408 → a 
322
→ a  9,47 → La diagonal mide 9,48 cm.
→ a  11,34 → La diagonal mide 11,34 cm.
Polígonos. Triángulos
10
La diagonal divide a un rectángulo en dos triángulos rectángulos que tienen como catetos dos lados distintos del
rectángulo y como hipotenusa la propia diagonal. Esas tres medidas cumplen el teorema de Pitágoras.
a) a2  42  72  65→ a 
→ a  8,06 → La diagonal mide 8,06 cm.
b) a2  3,82  4,452  34,2425 → a 
→ a  5,85 → La diagonal mide 5,85 cm.
La base es uno de los catetos del triángulo rectángulo formado por la diagonal y dos lados desiguales.
b2  302  102  800 → b 
→ b  28,28 → La base del rectángulo mide 28,28 cm.
La diagonal, base y altura forman un triángulo rectángulo, con lo que cumplen el teorema de Pitágoras.
a2  182  62  360 → a 
→ a  19,97 → La diagonal del rectángulo mide 19,97 cm.
Los lados de un cuadrado y la diagonal forman un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son los lados del
cuadrado y la hipotenusa es la diagonal. Cumplen el teorema de Pitágoras.
a) (13,435)2  180,499225 → 180,499225 : 2  90,2496125 →
b) (11,22)2  125,8884 → 125,8884 : 2  62,9442 →
c) (8,7)2  75,69 → 75,69 : 2  37,845 →
 9,5 → El lado mide 9,5 cm.
 7,93 → El lado del cuadrado mide 7,93 cm.
 6,15 → El lado del cuadrado mide 6,15 cm.
La diagonal, base y altura forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la diagonal, con lo que cumplen el
teorema de Pitágoras.
b2  (8,2)2  (4,1)2  50,43 → b 
→ b  7,1 
La altura del rectángulo mide 7,1 cm.
323
Polígonos. Triángulos
a) a  16
10
b  16 : 2  8 → c2  162  82  192 → c 
 13,86 
La altura del triángulo mide 13,86 cm.
b) a  9,4
b  9,4 : 2  4,7 → c2  9,42  4,72  66,27 → c 
 8,14
La altura del triángulo mide 8,14 cm.
c) a  6,82 b  6,82 : 2  3,41 → c2  6,822  3,412  34,8843 → c 
 5,91
La altura del triángulo mide 5,91 cm.
a2  52  1,52  22,75 → a 
 4,77 → La escalera llega a una altura de 4,77 m.
Si se bordea el jardín, se recorren: 5  8  13 m
d2  82  52  89 → d 
 9,43 → El niño recorre 9,43 m.
Se ahorra 13  9,43  3,57 m.
d12  3,52  32  3,25 → d1 
 1,8 → Para llegar a la farola de altura 3 m el
pie de la escalera se debe colocar a 1,8 m de distancia de la farola.
d22  3,52  2,682  5,0676 → d2 
 2,25 → Para llegar a la farola de
altura 2,68 m el pie de la escalera se debe colocar a 2,25 m de distancia de la
farola.
Cuerda de la izquierda: b2  42  1,52  18,25 → b 
Cuerda de la derecha: c2  5,82  42  49,64 → c 
324
 4,27 m
 7,05 m
Polígonos. Triángulos
10
a) La línea recta en diagonal más grande posible es la diagonal del rectángulo que forman los bordes de la hoja.
d2  29,72  212  1 323,09 → d 
 36,37 cm
La línea es más grande que su regla, con lo que no podrá trazarla.
b) El tamaño mínimo es la longitud de la diagonal: 36,37 cm
DEBES SABER HACER
a) Regular.
c) Irregular ya que tiene lados diferentes.
b) Regular.
d) Irregular, ya que tiene ángulos diferentes.
Número de diagonales  8 · (8  3) : 2  20
a) 8  6  4,3
Sí es posible.
6  8  4,3
4,3  8  6
8  6  4,3
6  8  4,3
4,3  8  6
b) Sí es posible.
c) No es posible porque los ángulos suman más de 180o.
d) Sí es posible.
325
Polígonos. Triángulos
10
6 cm
4,3 cm
65o
8 cm
64o
72o
5,5 cm
7 cm
Sí, la hipotenusa sería el lado desigual.
a2  282  212  1 225 → a 
 35 cm
Debe cumplir el teorema de Pitágoras.
Imaginemos que falta la hipotenusa: a2  152  122  369 → a 
 19,21 cm.
El lado que falta mide 19,21 cm.
Si el lado que falta es un cateto: b2  152  122  81 → b 
 9 cm.
El lado que falta mide 9 cm.
→ La hipotenusa mide 35 cm.
Hay dos posibilidades:
Si 15 cm y 12 cm son las medidas de los catetos, la hipotenusa mide:
Si 15 cm es la medida de la hipotenusa, un cateto mide 12 cm y el otro:
d2  1,352  1,352  3,645 → d 
El listón mide 1,91 metros.
326
 1,91 m
cm.
cm.
Polígonos. Triángulos
10
COMPETENCIA MATEMÁTICA. En la vida cotidiana
a) Sea x el segmento vertical rojo a la izquierda. Sea y el segmento vertical rojo.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
x2  0,132  0,52  0,2669 → x 
y2 12  0,82  1,64 → y 
 0,52 km
 1,28 km
La longitud de la pasarela es 0,52  1,7  1,28  3,5 km
b) Sea B el ángulo del triángulo que se forma en la parte superior izquierda del cuadrilátero. Sea A del triángulo
que se forma en la parte superior derecha del cuadrilátero.
 180  (90  23)  67o
 180  (90  32,3)  57,7o
327
Polígonos. Triángulos
FORMAS DE PENSAR. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
En el caso del polígono de 3 lados no es posible, porque si tiene todos sus ángulos iguales, sus lados han de ser
también iguales.
En el resto de polígonos sí es posible; basta con tomar una recta paralela a uno de los lados de un polígono
regular y sustituirla por el lado correspondiente, alargando o acortando los adyacentes.
Construimos un segmento de 6 cm. Trazamos otro segmento de 6 cm perpendicular al anterior y que se corte en
sus puntos medios.
Los extremos de los segmentos son los vértices del cuadrado.
Teniendo en cuanta la proporcionalidad que se cumple:
→x
328
→ x  2 cm
10
Polígonos. Triángulos
10
PRUEBAS PISA
Al comprobar si está en escuadra, verá que los ángulos que forma la pared son de 90 o y, por tanto, es cuadrada.
Para comprobarlo con las cuerdas que tiene, el jefe de obra debe colocar la de 4 m ocupando uno de los lados, la
de 3 m, en un lado contiguo y con la de 5 m medir la distancia que hay entre los extremos de las otras cuerdas.
Si no sobra ni falta longitud, se cumple el teorema de Pitágoras (52  32  42), con lo que el triángulo es
rectángulo y el ángulo entre las paredes es de 90o (son perpendiculares).
Si sobra o falta longitud en la cuerda de 5 m, significa que la habitación no está en escuadra.
Lo debe comprobar en cada una de las cuatro paredes.
329
Polígonos. Triángulos
La figura D.
330
10