Download 10. Polígonos. Triángulos
Document related concepts
Transcript
10 Polígonos. Triángulos CLAVES PARA EMPEZAR Cada hora equivale a una abertura de 360o : 12 30o A las 12 h: ángulo 0o A las 11 h y a la 1 h: ángulo 30o A las 10 h y a las 2 h: ángulo 60o A las 9 h y a las 3 h: ángulo 90o A las 8 h y a las 4 h: ángulo 120o A las 7 h y a las 5 h: ángulo 150o A las 6 h: ángulo 180o Son secantes. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 VIDA COTIDIANA Forman un triángulo rectángulo. Un ángulo recto. RESUELVE EL RETO Tendrá 4 lados. 295 Polígonos. Triángulos 10 Hay 10 triángulos pequeños y luego podemos considerar diferentes uniones de ellos hasta hacer un total de 23 triángulos. Hay varias opciones, pero al final es como dar una vuelta entera, es decir, 360o. Se han dibujado las alturas de un triángulo rectángulo. ACTIVIDADES e E A a d B D b c C Vértices: A, B, C, D, E Lados: a, b, c, d, e Ángulos interiores: Diagonales: a) Falso. El número de lados y vértices es el mismo. b) Falso. Un polígono es irregular si hay al menos un lado o un ángulo diferente al resto. 296 Polígonos. Triángulos 10 Un polígono de 5 lados tiene 5 diagonales. Un polígono de 6 lados tiene 9 diagonales. Un polígono de 7 lados tiene 14 diagonales. … El número de diagonales de un polígono de n lados es igual a . Un polígono de 16 lados tiene 104 diagonales De izquierda a derecha: hexágono, pentágono, octógono y pentágono. Un triángulo regular (equilátero). Un heptágono regular tiene 7 ejes de simetría y un eneágono regular tiene 9 ejes, cada eje pasa por un vértice y la mitad del lado opuesto. 297 Polígonos. Triángulos a) Triángulo equilátero. 10 b) Triángulo rectángulo. c) Triángulo obtusángulo. Tiene un ángulo recto y todos sus ángulos y lados son distintos. a) Sí existe. Un triángulo rectángulo en el que los catetos miden lo mismo. b) No existe. Si un ángulo mide 90 o y otro más de 90 o, entre los dos ya suman más de 180o y eso no puede ser. c) Sí existe. d) No existe. Si es isósceles, dos lados son iguales; pero si es escaleno, sus tres lados son distintos, de modo que no es posible que se den las dos cosas a la vez. 37o 53o 90o 180o 435 345 534 a) 3 3 4 4 3 3 3 4 3 4 3 3 Sí existe. b) 9 3 5 → No existe. c) 6 2 4 → No existe. 298 453 354 543 Polígonos. Triángulos 10 90o 4x x 180o → 5x 90o x 18o → Los ángulos valen 18o y 72o. a) 5,2 7,3 4 7,3 5,2 4 4 5,2 7,3 Sí, forman un triángulo. 5,2 cm c) 2 5,2 3,7 5,2 2 3,7 3,7 2 5,2 Sí forman un triángulo. 4 cm 3,7 cm 5,2 cm 7,3 cm b) 5 1,8 3 →. No forman un triángulo 2 cm d) 5 7 6 6 5 7 7 5 6 Sí forman un triángulo. . 5 cm 6 cm 7 cm a) c) 6 cm 8 cm 5 cm 5 cm 8 cm 10 cm b) d) 4,6 cm 3,4 cm 5,8 cm 5 cm 7,2 cm 9 cm 299 Polígonos. Triángulos 10 a) 7 4 c 4 7 → 3 c 11 → c debe ser mayor que 3 y menor que 11. b) 5 2 c 2 5 → 3 c 7 → c debe ser mayor que 3 y menor que 7. c) 4 cm a) 5,6 cm 5,6 cm 4 cm b) d) 2,8 cm 6 cm 6 cm 2,8 cm a) a 4a 5a → Estas medidas no forman un triángulo para cualquier valor de a. b) a 2a valor de a. 300 2a a a 3a 3a → Estas medidas sí forman un triángulo para cualquier Polígonos. Triángulos 10 Se obtienen 8 2 6 triángulos → La suma de los ángulos del octógono es 180o · 6 10 080o Si desde un vértice salen 8 diagonales, se obtienen entonce 8 1 9 triángulos, con lo que la suma de los ángulos del polígono es 9 · 180o 1 620o. baricentro circuncentro 301 Polígonos. Triángulos 10 circuncentro baricentro circuncentro circuncentro El circuncentro en cualquier triángulo rectángulo está situado en el punto medio del lado opuesto al ángulo recto. 302 Polígonos. Triángulos 10 ortocentro incentro incentro ortocentro a) b) ortocentro incentro En un triángulo equilátero coinciden sus alturas, bisectrices, mediatrices y medianas. 303 Polígonos. Triángulos 10 a) Es un triángulo obtusángulo. b) Es un triángulo acutángulo. c) Es un triángulo rectángulo. Triángulo grande: a 13 b 12 c 5 → a2 169 b2 c2 144 25 169 → Se cumple. Triángulo pequeño: a 5 b 4 c 3 → a2 25 b2 c2 16 9 25 → Se cumple. a 25 b 8 c 7 → a2 625 b2 c2 64 49 113 No es rectángulo porque no cumple el teorema de Pitágoras. a 8 b c 5 → a2 64 b2 c2 25 25 50 No existe ningún triángulo rectángulo con esas medidas porque no cumple el teorema de Pitágoras. TRIÁNGULO 1 a 5 b 2,6 → a2 b2 c2 → 25 6,76 c2 → c2 18,24→ c → c 4,27 TRIÁNGULO 2 a 10 b 8 → a2 b2 c2 → 100 64 c2 → c2 36 → c →c6 TRIÁNGULO 3 a 9,5 b 7,4 → a2 b2 c2 → 90,25 54,76 c2 → c2 35,49 → c 304 → c 5,96 Polígonos. Triángulos 10 a) a2 b2 c2 → 1 156 900 c2 → c 16 a) a2 b2 c2 → a2 36 81 → a b) a2 b2 c2 → a2 784 441 → a 35 → a 10,82 → El lado mide 10,82 cm. b) a2 b2 c2 → a2 12,96 24,01 → a c) a2 b2 c2 → a2 9 38,44 → a → a 6,89 → El lado mide 6,89 cm. d) a2 b2 c2 → a2 28,09 49 → a a) a2 b2 c2 → a2 16 16 → a → a 6,08 → El lado mide 6,08 cm. → a 8,78 → El lado mide 8,78 cm. → a 5,66 b) a2 b2 c2 → a2 26,01 26,01 → a → a 7,21 c) a2 b2 c2 → a2 56,25 56,25 → a → a 10,61 d) a2 b2 c2 → a2 158,76 158,76 → a → a 17,82 La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos rectángulos. Si tomamos uno de ellos, la diagonal es la hipotenusa y los dos catetos son los dos lados del cuadrado: b c 2,82 Aplicamos el teorema de Pitágoras: a2 b2 c2 → a2 7,9524 7,9524 → a → a 3,99 La diagonal del cuadrado mide 3,99 cm. La diagonal divide al rectángulo en dos triángulos rectángulos iguales. Si tomamos uno de ellos, la diagonal es la hipotenusa y cada cateto equivale a cada lado del rectángulo: b 7,4, c 5. Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 b2 c2 → a2 54,76 25 → a → a 8,93 La diagonal del cuadrado mide 8,93 cm. 305 Polígonos. Triángulos 10 La altura en un triángulo isósceles divide al triángulo en otros dos triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa es uno de los lados iguales, un cateto es la altura y el otro es la mitad del lado desigual. a 6 b 7,7 : 2 3,85 Aplicando el teorema de Pitágoras: a2 b2 c2 → 36 14,8225 c2 → c2 21,1775 → c → c 4,6 La altura del triángulo mide 4,6 cm. ACTIVIDADES FINALES a) c) ángulos interiores lado diagonales lado ángulos interiores diagonales b) d) diagonal lados ángulos interiores El de la izquierda es un eneágono; el de la derecha, endecágono. 306 ángulos interiores diagonales Polígonos. Triángulos a) 10 b) F E G c) E D H C -A E C D D F C G A B B A B No existe ningún polígono con una única diagonal. El triángulo no tiene diagonales. No, no puede, porque si fuera posible existiría al menos un par de vértices no unidos por un lado. Los polígonos tienen el mismo número de vértices y de lados. No, porque por cada vértice, hay un ángulo interior, con lo que un polígono tiene el mismo número de lados, que de vértices y que de ángulos interiores. El mínimo de lados de un polígono es 3, el triángulo. El de ángulos también 3. El triángulo no tiene diagonales. 307 Polígonos. Triángulos a) b) 10 c) d) e) a) 3 ejes (pasan por cada vértice y la mitad del lado opuesto). b) 1 eje (de la mitad del lado desigual al vértice opuesto). c) 1 eje (bisectriz del ángulo recto). d) 4 ejes (las dos diagonales y las dos rectas que pasan por el medio de un lado y el medio del lado opuesto). e) 2 ejes (las dos rectas que pasan por el medio de un lado y el medio del lado opuesto). f) 2 ejes (las 2 diagonales). g) No tiene. 308 Polígonos. Triángulos 10 a) c) e) b) d) f) Respuesta abierta. Por ejemplo: Respuesta abierta. a) Triángulo isósceles a) Triángulo equilátero. b) Rectángulo b) Triángulo rectángulo isósceles. c) Cuadrado c) Triángulo escaleno. 309 Polígonos. Triángulos 10 g G A a B f b F C e E c d D En los polígonos cóncavos, al menos una de las diagonales es exterior. a) Hexágono convexo irregular. b) Cuadrilátero convexo irregular. c) Dodecágono cóncavo irregular. d) Cuadrilátero convexo irregular. e) Pentágono convexo irregular. f) Triángulo convexo irregular. Los menores de 180o están en azul claro y los mayores en azul oscuro. No. Un polígono regular tiene todos sus ángulos iguales, con lo que si es cóncavo, todos los ángulos deberían medir más de 180o, algo no posible. 310 Polígonos. Triángulos 10 Respuesta abierta. a) Equilátero b) Isósceles rectángulo a) c) b) d) c) Escaleno d) Isósceles e) g) f) 311 Polígonos. Triángulos 10 a) d) 50o 30o b) e) 30o 30o c) f) 80o 45o a) 7 4 5 547 Se puede dibujar. 5 cm 4 cm 7 cm 312 475 754 574 475 Polígonos. Triángulos 10 b) 9 6 4 694 496 964 744 474 694 496 Se puede dibujar. 6 cm 4 cm 9 cm c) 9 5 3 → No se puede dibujar. d) 10 6 2 → No se puede dibujar. e) 7 4 4 447 Se puede dibujar. 4 cm 4 cm 7 cm f) 5 3 4 354 453 543 453 354 Se puede dibujar. 4 cm 3 cm 5 cm a) Miden todos 60o. 5 cm b) Sí, todos los ángulos de cualquier triángulo equilátero miden 60o. 313 Polígonos. Triángulos 10 a) 70o 50o 70o 40o 80o 50o b) En un triángulo isósceles dos de los ángulos miden lo mismo. a) c) 45o 20o 30o 5 cm 6 cm b) 120o d) 60o 30o 7,5 cm 50o 50o 8 cm 314 Polígonos. Triángulos 10 5 cm 60o 70o 4 cm 70o a) b) a a) b) 10 cm c) 10 cm 10 cm 60o 6 cm 120o 90o 6 cm 6 cm 315 Polígonos. Triángulos 10 80o 85o 15o 60o 20o Al ser rectángulo, uno de sus ángulos mide 90o y el otro 180 (40 90) 50o. a) 180 (90 20) 70o b) 180 (90 35) 55o c) 90 : 2 45o a) Es un triángulo isósceles, con lo que esos dos ángulos son iguales: (180 42) : 2 69o mide cada ángulo. b) Es un triángulo isósceles, con lo que esos dos ángulos son iguales: (180 126) : 2 27o mide cada ángulo. 316 Polígonos. Triángulos a) 180 105 75o 10 180 (75 62) 43o El ángulo coloreado mide 43o. b) 180 110 70o 180 (70 70) 40o El ángulo coloreado mide 40o. a) El otro ángulo contiguo al lado dado es 180 (60 40) 80o 60o 80o 40o 4 cm b) El otro ángulo contiguo al lado dado es 180 ( 100 30) 50o 30o 100o 50o 7 cm Como es rectángulo, uno de los ángulos (el opuesto a la hipotenusa que nos dan) mide 90 o y como es isósceles, los otros dos ángulos miden igual: (180 90) : 2 45o 90o 45o 45o 4 cm 317 Polígonos. Triángulos 10 a) Los otros dos ángulos miden (180 124) : 2 28o. 124o 28o 28o 6 cm b) Su ángulo diferente miden 180 (20 20) 140o. 20o 140o 20o 7 cm 7 cm a) Altura. b) Mediana. c) Bisectriz. d) Mediatriz. a) Es un triángulo rectángulo. Cumple el teorema de Pitágoras: 102 62 82 → 100 36 64. 6 cm 8 cm Hipotenusa 10 cm 318 Polígonos. Triángulos 10 b) Su circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa. circunferencia circunscrita mediatriz circuncentro baricentro 319 Polígonos. Triángulos 10 baricentro La distancia del baricentro a cada de uno de los vértices mide 4 cm a) Todos los puntos notables (baricentro, ortocentro, incentro y circuncentro) coinciden. b) Todas las rectas coinciden: mediatrices, bisectrices, medianas y alturas. En los triángulos rectángulos el ortocentro coincide con el vértice opuesto a la hipotenusa. a) a2 b2 c2 → 64 36 25 → No forman un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras. b) a2 b2 c2 → 64,995844 65 (redondeando a las tres cifras decimales dadas en el enunciado) 49 16 → Forman un triángulo rectángulo porque cumplen el teorema de Pitágoras. 320 Polígonos. Triángulos 10 c) a2 b2 c2 → 89,000356 89 (redondeando a las tres cifras decimales dadas en el enunciado) 64 25 → Forman un triángulo rectángulo porque cumplen el teorema de Pitágoras. d) a2 b2 c2 → 60,9961 61 (redondeando a las dos cifras decimales dadas en el enunciado) 36 25 → No forman un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras. a) a 9,3 b 7,1 c 5 → a2 b2 c2 → 86,49 50,41 25 → No corresponden a un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras. b) a 3,5 b 3 c 1,8 → a2 b2 c2 → 12,25 9 3,24 → Corresponden a un triángulo rectángulo porque cumplen el teorema de Pitágoras. c) a 5 b 4,25 c 2,45 → a2 b2 c2 → 25 18,0625 6,0025 → No corresponden a un triángulo rectángulo porque no cumplen el teorema de Pitágoras. a) 142 102 96 → 9,8 c) 7,42 5,22 27,72 → 5,26 b) 162 132 87 → 9,33 d) 6,52 4,82 19,21 → 4,38 4 10 12 30 9 a) 172 289 → 289 : 2 144,5 → b) 242 576 → 576 : 2 288 → 12,02 cm 16,97 cm 321 Polígonos. Triángulos a) 122 144 → 144 : 2 72 → 10 8,49 cm b) 9,32 86,49 → 86,49 : 2 43,245 → c) 152 225 → 225 : 2 112,5 → 6,58 cm 10,61 cm Considerando el triángulo formado al unir las localizaciones (vértices) de cada uno, el lugar que equidista de los vértices es el circuncentro, punto de corte de las mediatrices. La diagonal divide el cuadrado en dos triángulos rectángulos iguales que tienen como catetos dos lados del cuadrado y como hipotenusa la propia diagonal. Esas tres medidas cumplen el teorema de Pitágoras. a) a2 122 122 288 → a → a 16,97 → La diagonal mide 16,97 cm. b) a2 6,72 6,72 89,78 → a c) a2 8,022 8,022 128,6408 → a 322 → a 9,47 → La diagonal mide 9,48 cm. → a 11,34 → La diagonal mide 11,34 cm. Polígonos. Triángulos 10 La diagonal divide a un rectángulo en dos triángulos rectángulos que tienen como catetos dos lados distintos del rectángulo y como hipotenusa la propia diagonal. Esas tres medidas cumplen el teorema de Pitágoras. a) a2 42 72 65→ a → a 8,06 → La diagonal mide 8,06 cm. b) a2 3,82 4,452 34,2425 → a → a 5,85 → La diagonal mide 5,85 cm. La base es uno de los catetos del triángulo rectángulo formado por la diagonal y dos lados desiguales. b2 302 102 800 → b → b 28,28 → La base del rectángulo mide 28,28 cm. La diagonal, base y altura forman un triángulo rectángulo, con lo que cumplen el teorema de Pitágoras. a2 182 62 360 → a → a 19,97 → La diagonal del rectángulo mide 19,97 cm. Los lados de un cuadrado y la diagonal forman un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son los lados del cuadrado y la hipotenusa es la diagonal. Cumplen el teorema de Pitágoras. a) (13,435)2 180,499225 → 180,499225 : 2 90,2496125 → b) (11,22)2 125,8884 → 125,8884 : 2 62,9442 → c) (8,7)2 75,69 → 75,69 : 2 37,845 → 9,5 → El lado mide 9,5 cm. 7,93 → El lado del cuadrado mide 7,93 cm. 6,15 → El lado del cuadrado mide 6,15 cm. La diagonal, base y altura forman un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la diagonal, con lo que cumplen el teorema de Pitágoras. b2 (8,2)2 (4,1)2 50,43 → b → b 7,1 La altura del rectángulo mide 7,1 cm. 323 Polígonos. Triángulos a) a 16 10 b 16 : 2 8 → c2 162 82 192 → c 13,86 La altura del triángulo mide 13,86 cm. b) a 9,4 b 9,4 : 2 4,7 → c2 9,42 4,72 66,27 → c 8,14 La altura del triángulo mide 8,14 cm. c) a 6,82 b 6,82 : 2 3,41 → c2 6,822 3,412 34,8843 → c 5,91 La altura del triángulo mide 5,91 cm. a2 52 1,52 22,75 → a 4,77 → La escalera llega a una altura de 4,77 m. Si se bordea el jardín, se recorren: 5 8 13 m d2 82 52 89 → d 9,43 → El niño recorre 9,43 m. Se ahorra 13 9,43 3,57 m. d12 3,52 32 3,25 → d1 1,8 → Para llegar a la farola de altura 3 m el pie de la escalera se debe colocar a 1,8 m de distancia de la farola. d22 3,52 2,682 5,0676 → d2 2,25 → Para llegar a la farola de altura 2,68 m el pie de la escalera se debe colocar a 2,25 m de distancia de la farola. Cuerda de la izquierda: b2 42 1,52 18,25 → b Cuerda de la derecha: c2 5,82 42 49,64 → c 324 4,27 m 7,05 m Polígonos. Triángulos 10 a) La línea recta en diagonal más grande posible es la diagonal del rectángulo que forman los bordes de la hoja. d2 29,72 212 1 323,09 → d 36,37 cm La línea es más grande que su regla, con lo que no podrá trazarla. b) El tamaño mínimo es la longitud de la diagonal: 36,37 cm DEBES SABER HACER a) Regular. c) Irregular ya que tiene lados diferentes. b) Regular. d) Irregular, ya que tiene ángulos diferentes. Número de diagonales 8 · (8 3) : 2 20 a) 8 6 4,3 Sí es posible. 6 8 4,3 4,3 8 6 8 6 4,3 6 8 4,3 4,3 8 6 b) Sí es posible. c) No es posible porque los ángulos suman más de 180o. d) Sí es posible. 325 Polígonos. Triángulos 10 6 cm 4,3 cm 65o 8 cm 64o 72o 5,5 cm 7 cm Sí, la hipotenusa sería el lado desigual. a2 282 212 1 225 → a 35 cm Debe cumplir el teorema de Pitágoras. Imaginemos que falta la hipotenusa: a2 152 122 369 → a 19,21 cm. El lado que falta mide 19,21 cm. Si el lado que falta es un cateto: b2 152 122 81 → b 9 cm. El lado que falta mide 9 cm. → La hipotenusa mide 35 cm. Hay dos posibilidades: Si 15 cm y 12 cm son las medidas de los catetos, la hipotenusa mide: Si 15 cm es la medida de la hipotenusa, un cateto mide 12 cm y el otro: d2 1,352 1,352 3,645 → d El listón mide 1,91 metros. 326 1,91 m cm. cm. Polígonos. Triángulos 10 COMPETENCIA MATEMÁTICA. En la vida cotidiana a) Sea x el segmento vertical rojo a la izquierda. Sea y el segmento vertical rojo. Aplicando el teorema de Pitágoras: x2 0,132 0,52 0,2669 → x y2 12 0,82 1,64 → y 0,52 km 1,28 km La longitud de la pasarela es 0,52 1,7 1,28 3,5 km b) Sea B el ángulo del triángulo que se forma en la parte superior izquierda del cuadrilátero. Sea A del triángulo que se forma en la parte superior derecha del cuadrilátero. 180 (90 23) 67o 180 (90 32,3) 57,7o 327 Polígonos. Triángulos FORMAS DE PENSAR. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO En el caso del polígono de 3 lados no es posible, porque si tiene todos sus ángulos iguales, sus lados han de ser también iguales. En el resto de polígonos sí es posible; basta con tomar una recta paralela a uno de los lados de un polígono regular y sustituirla por el lado correspondiente, alargando o acortando los adyacentes. Construimos un segmento de 6 cm. Trazamos otro segmento de 6 cm perpendicular al anterior y que se corte en sus puntos medios. Los extremos de los segmentos son los vértices del cuadrado. Teniendo en cuanta la proporcionalidad que se cumple: →x 328 → x 2 cm 10 Polígonos. Triángulos 10 PRUEBAS PISA Al comprobar si está en escuadra, verá que los ángulos que forma la pared son de 90 o y, por tanto, es cuadrada. Para comprobarlo con las cuerdas que tiene, el jefe de obra debe colocar la de 4 m ocupando uno de los lados, la de 3 m, en un lado contiguo y con la de 5 m medir la distancia que hay entre los extremos de las otras cuerdas. Si no sobra ni falta longitud, se cumple el teorema de Pitágoras (52 32 42), con lo que el triángulo es rectángulo y el ángulo entre las paredes es de 90o (son perpendiculares). Si sobra o falta longitud en la cuerda de 5 m, significa que la habitación no está en escuadra. Lo debe comprobar en cada una de las cuatro paredes. 329 Polígonos. Triángulos La figura D. 330 10