Download Area y Volumen

Departamento de Matemática
Profesor: Eugenio Toro Varela
Nivel: Cuarto Medio
Unidad:
Áreas y Volúmenes
Contenido: Perímetro y Área de Polígonos regulares
Volumen de cuerpos generados por rotación o /y
traslación
Nivel: Cuarto Medio
Aprendizaje Esperado: Calcular perímetro y área de polígonos regulares
Resolver problemas sobre áreas y volumen de cuerpos generados por
rotación o traslación de figuras planas.
INSTRUCCIONES:
1) Recomiendo estudiar del texto paginas 158 - 193
2) Desarrolle los ejercicios siguiendo el ejemplos dado para cada concepto
3) Resuelve las actividad de evaluación enviándola al correo de su profesor correspondiente
[email protected] [email protected] el 28 de Octubre
Recuerde: Los polígonos son figuras cerradas, formadas por varios segmentos de líneas , a las
que llamamos lados.
Los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares.
Por ejemplo, el polígono que tiene ocho ángulos y ocho lados iguales se llama octágono regular.
Otra vez, el triángulo y el cuadrilátero regulares son excepciones.
¿Cómo le llamamos normalmente a un triángulo regular?
¿Y a un cuadrilátero regular?
Como los polígonos regulares tienen todos sus ángulos iguales, es muy fácil calcular cuánto miden sus
ángulos internos y sus ángulos externos. En general, cuando se habla de los ángulos internos de un
polígono, se le refiere en singular, es decir se dice el ángulo interno del polígono, porque es el mismo
valor para todos los ángulos.
Para verificar que hablamos en los mismos términos, establezcamos que el ángulo interno de un
polígono es el ángulo que forman dos lados que se tocan,
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y el ángulo externo es aquel que forman un lado y la prolongación de otro que lo toca.
Una cosa más antes de empezar a calcular cuánto miden el ángulo interno y el ángulo externo de un
polígono. Hace más de dos mil años, el matemático griego Euclides demostró que la suma de los tres
ángulos internos de cualquier triángulo es exactamente 180º.
Ahora sí, empecemos... Tomemos como ejemplo un octágono. Lo primero que hacemos es dividir al
octágono en triángulos trazando líneas desde uno de los vértices.
Fíjate que con estas líneas que trazamos hemos distribuido a los ángulos del octágono en diferentes
triángulos. Por lo tanto, podemos decir que los ángulos de los triángulos forman los ángulos del
octágono. Como hemos formado seis triángulos y como los ángulos de cada uno de ellos suman 180º,
sabemos que la suma total de todos los ángulos del octágono es igual a lo que vale la suma de los
ángulos en cada triángulo, es decir, 6 x 180º o sea 1080º.
Por lo tanto, la suma de los ocho ángulos del octágono regular es de 1080º. Ahora, como sabemos que
todos los ángulos del octágono regular miden lo mismo, para saber cuánto mide cada uno de ellos, hay
que dividir 1080º entre ocho. Luego, cada uno de los ángulos internos de un octágono regular mide
135º.
El ángulo interno y el ángulo externo son suplementarios, es decir, suman 180°. Así que para saber
cuánto mide el ángulo exterior del octágono, sólo hay que restar 135° de 180°. El ángulo externo de un
octágono mide 45°.
***
Para poder sacar una fórmula, necesitamos hacer una generalización: saber cuántos triángulos se
forman cuando trazamos diagonales desde un solo vértice.
En el caso del cuadrado, podemos trazar una única diagonal y obtenemos dos triángulos.
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En el caso de un pentágono, podemos trazar dos diagonales y obtener tres triángulos.
Traza las diagonales de estos polígonos para que puedas llenar la siguiente tabla. Recuerda que sólo
hay que trazar las diagonales desde uno de los vértices.
Número de lados
Número de diagonales
Número de triángulos
4
5
6
7
8
9
10
14
23
100
1
2
3
2
3
5
¿Podrías decir a partir de esta tabla cuál es la regla?
En matemáticas decimos que si n es el número de lados del polígono, desde un vértice se pueden
trazar
( n -3) diagonales y obtenemos ( n -2) triángulos.
Ya casi acabamos. Recuerda que para saber cuánto mide el ángulo interno del octágono multiplicamos
6 x 180º (es decir, multiplicamos el número de triángulos por la cantidad que suman los ángulos
internos de cada uno de ellos) y al final dividimos esta cantidad entre ocho, el número de lados del
octágono.
Es eso precisamente lo que tenemos que hacer con cualquier polígono: multiplicar el número de
triángulos ( n -2) por 180° y dividirlo entre el número de lados ( n ). La fórmula general queda entonces
así:
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Si n es el número de lados del polígono,
Ángulo interno =
Para terminar, hagamos un ejemplo. Calculemos los ángulos interno y externo de un eneágono. Como
el número de lados es igual a 9,
Ángulo interno =
=
=
=
= 140°
Ángulo externo = 180° - 140 = 40°
Definición: Apotema es la distancia entre el centro de un polígono regular y uno cualquiera de sus lados.
OA: Apotema
A
Una forma de calcular el área de un polígono regular es obteniendo el área de cada triángulo que se
forma con cada lado del polígono como de base y la apotema como altura luego multiplicado por el total
de triangulo tenemos el área completa
A
l.a
n
2
l: lado del polígono a : apotema
n : número de lados
Observe si multiplicamos la longitud de l por el numero de lado n tenemos el perímetro luego la formula
puede escribirse de la siguiente forma:
A
p.a
2
p: perímetro
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E je rcicio s
1 ) H a l l a r e l p e r ím e t r o y e l á r e a d e l p e nt ág o n o r eg u l a r
2) El lado de un pentágono regular mide l = 6 cm y su radio, r = 5,1 cm. Halla su apotema con una
cifra decimal y su área
3) El radio de un pentágono regular mide r_10 cm y su apotema, a_8,1 cm. Halla la longitud de su
lado (con una cifra decimal) y su área
Nota: Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices están contenidos en
ella.
Todo p o l íg o n o i n s c r i t o es
r eg u l a r
Nota: U n p o l í g o n o es t á ci r c u n s c ri t o e n u n a ci r c u n f er e n c i a , s i t o d o s l o s s u s
l a d o s s o n t a n g e nt es a l a ci r c u nf e r e n ci a .
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4) El lado de un octógono regular mide 4 cm y su apotema, 4,8 cm. Halla el radio de la circunferencia
circunscrita al polígono.
5) Calcular la apotema de un hexágono inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. El
perímetro y el área
Recuerda que en el hexágono regular el lado es igual al radio
Volumen Medida del espacio que ocupa un cuerpo
Recuerde que un cuerpo es un objeto material en que posee tres dimensiones: longitud, anchura y
altura.
El área de un cuerpo es la suma de las medidas del área de cada cara que componen el cuerpo.
Algunos cuerpos geométricos son generados por traslaciones de polígonos, por ejemplo si trasladamos
un rectángulo se obtiene un paralelepípedo y si trasladamos un hexágono se obtiene un prisma de base
hexagonal. Otros cuerpos se obtienen rotando polígonos, por ejemplo si rotamos un rectángulo se
obtiene un cilindro.
Volúmenes de cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas
Un cilindro circular recto es aquel cuerpo o sólido geométrico generado por el giro de una región
rectangular en torno a uno de sus lados o también en torno a uno de sus ejes de simetría.
El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un
rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del cilindro. Las rectas contenidas en la superficie
lateral, perpendiculares a las bases, se llaman generatrices.
El volumen se define como el producto del área de la base y la altura
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A continuación, veremos los cuerpos que se generan al rotar o trasladar algunas figuras
planas.
1) Si un cuadrado se traslada en una dirección perpendicular al plano que lo contiene, se
genera un paralelepípedo de base rectangular.
2) Si un rectángulo se rota en torno de uno de sus lados, se genera un cilindro recto
circular.
3) Si un círculo se traslada en dirección perpendicular al plano que lo contiene, se genera
un cilindro recto circular.
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4) Si un triángulo rectángulo se rota en torno a uno de sus catetos, se forma un cono
recto circular.
5) Si un triángulo rectángulo se hace girar en torno a su hipotenusa, se forman dos conos
pegados en la base.
6) Si un cuadrante de un círculo se rota en torno a uno de sus radios frontera, se genera
una semiesfera.
7)
Si un semicírculo se rota en torno a su diámetro, se genera una esfera
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Ejemplo:
1) ¿Cuál es el área total de un cilindro si su radio basal mide 10 cm y su altura mide 20 cm?
Se sabe que: r = 10 cm y h = 20 cm
2 π · 10 cm (20 cm + 10 cm) = 20 π cm (30 cm) = 600 π cm2
Atotal = 600 Π cm2 = 600 x 3,14 = 1.884 cm2
¿Cuál es el volumen del cilindro anterior?
Se sabe que: r = 10 cm y h = 20 cm
π (10 cm)2 · 20 cm = 2000 π cm3 = 6.283 cm3
Vcilindro = 6.283 cm3
2) La figura está formada por un cuadrado de lado 4 cm y su semi circunferencia
inscrita.
¿Cuál es el volumen del cuerpo generado al girar la figura sombreada en torno al lado AB
del cuadrado?
El cuadrado genera un cilindro de base y altura 4 cm:
El volumen del cilindro generado es, entonces, π · 42 · 4 = 64 π cm3.
4
3
El semicírculo genera una esfera de radio 2 cm, cuyo volumen es:   2 3 
Por lo tanto, el volumen pedido es: cm3
A  64 
32
160

 cm3
3
3
32
 cm3
3
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Fórmulas de área y volumen de cuerpos geométricos
Figura
Esquema
Área
Volumen
Atotal = 2pr ( h + r )
V = p r2 · h
Cilindro
p : perímetro
Esfera
Atotal = 4p r2
Cono
Atotal = p r2 + p r g
Cubo
A = 6 a2
V = a3
A = (perim.base ´ h) + 2 · area base
V = área base ´ h
Lado a
Prisma
Pirámide
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Poliedros regulares
Figura
Esquema
Nº de caras
Área
Tetraedro
4 caras, triángulos equiláteros
Octaedro
8 caras, triángulos equiláteros
Cubo
6 caras, cuadrados
A = 6 a2
Dodecaedro
12 caras, pentágonos regulares
A = 30 · a · ap.
Icosaedro
20 caras, triángulos equiláteros
Ejercicios
En el rectángulo de la figura está inscrita una semicircunferencia. Si el largo del rectángulo mide 12 cm,
¿cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar indefinidamente la figura sombreada en
torno al lado AB?
Determinar el área de la figura rayada
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PRUEBA ESCRITA
Ptje Obtenido: ____
Calificación: ____
Nombre: ______________________________________Curso: ________ Fecha: ___________
Unidad / Sub Unidad: Area y Volumen
Aprendizajes Esperados:
1) Calcular area y volumen
Exigencia: 60%
Puntaje Total: 15 puntos
INSTRUCCIONES:
1. Marque con una x la alternativa que considera correcta
2. No debe usar corrector en las alternativa
3.
9 puntos = 4,0
Toda prueba entregada al alumno con la calificación correspondiente, debe ser firmada por el apoderado y luego pegada en el cuaderno.
1) El perímetro de un rectángulo es 30 cm. y su área mide 36 cm. Entonces las dimensiones del
rectángulo son
A) 4 y 9
B) 1 y 36
C) 3 y 12
D) 2 y 18
E) 6 y 6
2) Se desea embaldosar una terraza cuadrada de 1,8 metros de lado. ¿Cuántas baldosas cuadradas
de 0,3 m de lado se necesitan para cubrir la terraza?
A) 6
B) 12
C) 18
D) 36
E ) 40
3) El triángulo ABC es rectángulo isósceles (fig. 1). Si AB = 4 cm, entonces el volumen del cuerpo
que se forma al rotarlo respecto del cateto AC es:
C
64
3
16

B)
3
A)
16 2

3
20 2

E)
3
D)
Fig1
C)
4 2
3
A
B
4) E l volumen de un cono circular de 9 cm. de altura y cuyo radio de la base mide 3 cm. es:
A) 81π
cm3
B) 27 π cm3
C) 9π cm3
D) 81 cm3
E) 27 cm3
5) Un cuadrado de lado 3 metros, se traslada 3 metros, apoyado sobre uno de sus lados en un plano
perpendicular a él, como se muestra en la figura 12. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado?
A)
B)
C)
D)
E)
6 m3
9 m3
12 m3
27 m3
36 m3
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6) La esfera de la figura está inscrita en el cilindro. Si el volumen de la esfera es 36π cm3, ¿cuál es el
volumen del cilindro?
A) 9cm3
B) 18cm3
C) 27cm3
D) 54cm3
E) 432cm3
7) Un rectángulo cuyas medidas de los lados son 4 cm y 6 cm respectivamente, gira en torno a su lado
menor El volumen del cuerpo generado es:
A) 4π cm3
8)
B) 12π cm3
C) 36π cm3
D) 144π cm3
E) 240π cm3
¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura en torno a la recta L?
A) 10 cm3
B)
11 cm3
C) 12
3
cm
D) 16 cm3
E) 17 cm3
9) Cuál es el volumen de un cilindro si el diámetro mide 6 cm y la altura es tres veces el radio?
A) 27cm3
B) 27πcm3
C) 81cm3
10) La suma de los ángulos interiores de un hexágono es :
A) 180
B) 360
C) 420
D) 900
E) Falta informacion
D) 81π cm3
E) 108cm3
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11) Si el trapecio de la figura 15 y su simétrico respecto al eje x se giran en forma indefinida en torno al
eje y, ¿cuál de las siguientes opciones representa mejor el cuerpo generado?
12) ABCDEF es un hexágono regular de lado 2 cm. ¿Cuál es el área
hexágono?
A) 6 3
B) 8 3
C) 12 3
D) 16 3
del
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E) 18 3
13) Cuál es el área del ΔABC Si AC = BC = 5 cm y AB = 8 cm? ( en cm2):
A) 12
B) 48
C) 24
D) 3
E) otro valor
14)
área de la región triangular sombreada
A)
B)
C)
D)
E)
El área de la región rectangular es 18 cm2. Entonces, el
es? (en cm2)
9
10
12
16
18
15) El volumen del cono si el radio es 6 cm y la generatriz (g) mide 10 cm es:
(π = 3)
A)
B)
C)
D)
E)
30 cm3
180 cm3
360 cm3
288 cm3
1080 cm3
16) El volumen de un prisma hexagonal de base 5 cm2 y altura 10 cm es
A)
B)
C)
D)
E)
15 cm 3
50 cm3
10 cm3
150 cm3
210 cm3
17) En la figura se tiene un cuarto de circulo de centro O , Se hace rotar la figura indefinidamente en
torno al eje . Si OT = 3 cm entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es
A) 9π cm3
T
B) π cm3
C) 36π cm3
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D) 27π cm3
E) 18π cm3
O