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Números y Fracciones
1. Los números naturales y los enteros
2. Números primos
3. Máximo común divisor y mínimo común
múltiplo
4. Fracciones
5. Operaciones con fracciones
6. Los números decimales
Índice del libro
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Números y fracciones
1. Los números naturales y los enteros
Utilizamos los números naturales
ordenamos un conjunto de elementos.
cuando
contamos
u
El conjunto de los números naturales es el siguiente:
 1, 2, 3, 4, 5
Representación de los números enteros en una recta
Representamos los números enteros en una recta de forma que
los positivos estén a la derecha del cero y los negativos a la
izquierda.
De esta forma, dados dos números enteros a y b, a es menor que
b si está a la izquierda de b en la recta.
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Números y fracciones
1. Los números naturales y los enteros
Suma de números enteros
Para sumar dos números enteros, seguiremos la siguiente regla:
 Si tienen el mismo signo, se suman y se deja el mismo signo.
 Si tienen distinto signo, se restan y se pone el signo del que
tenga mayor valor absoluto.
3  8  11 ( mismo signo)
5  2  3 (distinto signo)
Las sumas de más de dos números enteros las realizaremos por
partes: primero, los números positivos, luego, los negativos.
2  3  4  5  6  7  1  3  5  12  4  6  7  9  19  10
Positivos
Negativos
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1. Los números naturales y los enteros
Multiplicación y división de números enteros
Para multiplicar o dividir números enteros, multiplicamos o dividimos
los números y establecemos el signo utilizando la regla de los signos.
5   3  15
3   2   6
Potencias de números enteros
Definimos a elevado a la n-ésima potencia, an, siendo n un número
natural, como el producto de a por sí mismo repetido n veces:
n veces
a n  a  a  ...  a
 3  34  81 (exp onente par )
7
 3  34  2187 (exp onente impar )
4
34  81 (el signo no está afectado por la potencia)
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Números y fracciones
1. Los números naturales y los enteros
Jerarquía de las operaciones.
Para realizar operaciones combinadas, seguiremos el siguiente orden:
1. Resolvemos los paréntesis, corchetes o llaves.
2. Realizamos las potencias o las raíces que tengamos en la
expresión.
3. Multiplicamos y dividimos.
4. Sumamos o restamos.
2  3  2   3   2  3  6  2  9  2  9  11
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2. Números primos
Dados dos números naturales a y b, decimos que:
 a es múltiplo de b si a = n · b con n natural.
 b es un divisor de a si el resto de dividir a entre b es cero.
Un número es primo si los únicos divisores que tiene son el 1 y
él mismo.
Criterios de divisibilidad
 Un número es divisible entre 2 si es par.
 Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es
divisible entre 3.
 Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 o en 5.
 Un número es divisible entre 11 si al restar la suma de las cifras
alternas obtenemos 0 o un múltiplo de 11.
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2. Números primos
Descomposición en factores primos
Vamos a descomponer el número 1008:
1. Como es par, el 2 lo divide; por tanto,
empezamos dividiendo entre 2 y colocamos
el resultado a la izquierda de la línea.
Mientras se puedan seguir dividiendo los
resultados entre 2, continuamos.
2. Cuando el resultado ya no sea divisible
entre 2, pasamos al siguiente primo, el 3, y
así sucesivamente hasta que el resultado
sea 1.
3. Las descomposición factorial será el
producto de los números primos escritos a
la derecha de la línea.
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Números y fracciones
3. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Máximo común divisor
El máximo común divisor (mcd) de dos o más números es el mayor
número que los divide a todos.
Mínimo común múltiplo
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor
múltiplo común a todos ellos.
Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor
de 45 y 50.
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4. Fracciones
Una fracción es una división indicada con una línea horizontal donde el
dividendo se coloca encima de esta línea (numerador) y el divisor se
coloca debajo (denominador):
a  Numerador
a
 a : b;  
b
b  Deno min ador
Fracciones equivalentes
Podemos obtener fracciones equivalentes a una fracción dada de dos
formas distintas:
 Multiplicando el numerador y el denominador por un mismo
número.
 Dividiendo el numerador y el denominador entre un mismo número.
Diremos que dos fracciones
a c
y
b d
son equivalentes si a · d = b · c.
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4. Fracciones
Fracción irreducible
a
Diremos que una fracción
es irreducible si el máximo común divisor
b
de a y b es 1, es decir, si a y b no tienen divisores comunes.
Representación gráfica de fracciones
Vamos a representar la fracción 3 en una recta numérica:
1.
5
Dibujamos una recta que pase por el cero y la dividimos en tantas
partes iguales como indique el denominador.
2. Trazamos la recta que pasa por A y 1, y las rectas paralelas a ella
que pasan por cada una de las divisiones. Por el teorema de Tales,
los puntos de corte de estas rectas con la recta numérica dividen
[0, 1] en cinco partes iguales.
3. Finalmente, contamos las partes que indique el numerador.
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Números y fracciones
4. Fracciones
Reducción de fracciones a común denominador
Dadas dos o más fracciones, podemos hallar otras fracciones
equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador.
Vamos a reducir a común denominador las fracciones 5 , 7 y 1
12 18 10
1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores.
2. El denominador común a las tres fracciones es el mcm, es decir, 180.
3. Para determinar el numerador, dividimos 180 entre el denominador
y multiplicamos por el numerador.
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Números y fracciones
4. Fracciones
5. Operaciones con fracciones
Comparación de fracciones
Si tenemos dos fracciones a y c , tenemos que:
b
a c

si a  d  b  c;
b d
d
a c

si a  d  b  c
b d
Para ordenar más de dos reducimos a común denominador y las
ordenamos según sus numeradores.
Suma de fracciones
Para sumar dos fracciones con el mismo denominador, se suman
los numeradores y se deja el mismo denominador.
a b ab
 
c c
c
Para calcular sumas de fracciones, es necesario que todas ellas tengan
el mismo denominador. En caso contrario, utilizaremos la técnica
de reducción a común denominador y después realizaremos la suma.
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Números y fracciones
5. Operaciones con fracciones
Multiplicación de fracciones
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es
el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto
de los denominadores. a c a  c

b d

bd
División de fracciones
La división de dos fracciones se obtiene multiplicando la primera
a
por la inversa de la segunda.
a c ad
: 
,
b d bc
b  ad
c bc
d
Potencia de una fracción
Para elevar una fracción a un exponente, elevamos su numerador
y su denominador a dicho exponente.
n
a
an
 
   n
b
b
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6. Los números decimales
Nuestro sistema de numeración es posicional, esto es, cada dígito
tiene un valor u otro dependiendo de la posición que ocupe en el
número.
De una forma análoga, establecemos las cifras decimales, pero, en
lugar de ir multiplicando por 10, dividimos entre 10.