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Vamos a estudiar un movimiento llamado MAS, Movimiento Armónico
Simple. Para ello, empezaremos viendo una serie de definiciones sencillas:
Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos
iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración,
etc.), toman el mismo valor.
Ejm: El movimiento de la tierra.
Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia
del móvil al centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.
Ejm: El péndulo.
Movimiento armonico simple(MAS): Es aquel movimiento periódico y oscilatorio sobre
una recta, se caracteriza porque la aceleración del móvil es directamente proporcional a
la “elongación” pero de sentido contrario.
Elementos del M.A.S
ELONGACION “X”: Distancia medida desde la posición de equilibrio hasta
donde se encuentra el móvil en un instante cualquiera. Sirve para ubicar el
móvil.
AMPLITUD “A”: Es la distancia entre la posición de equilibrio y cualquiera de
los extremos de la trayectoria .Es el máximo de la elongación. Una oscilación
consta de 4 amplitudes.
ACELERACION: Va siempre en sentido contrario de la elongación.
OSCILACION O VIBRACION COMPLETA: Movimiento de ida y vuelta que efectúa
el móvil, recorriendo la trayectoria completa.
PERIODO “T”: Es el tiempo que transcurre durante la realización de una oscilación.
FRECUENCIA “f”: Es el numero de oscilaciones efectuadas en cada unidad de
tiempo. Numéricamente se cumple: f=1/T . La unidad de frecuencia mas usada
es : ciclo/seg = vibraciones /seg.
POSICION DE EQUILIBRIO “PE”: Es aquel punto situado en la mitad de la
trayectoria. No necesariamente el movimiento se inicia en este punto.
Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o
comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza
recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese
movimiento de vaivén.
Observando el movimiento del resorte, vemos que se
desplaza entre dos puntos, desde la máxima compresión
hasta la máxima elongación, pasando por un punto medio,
de equilibrio. La distancia desde el punto medio a cualquiera
de los extremos la llamamos AMPLITUD y la representamos
por A. La posición que ocupa la bola roja en cada momento
con respecto al punto central la conocemos como
ELONGACIÓN, x.
El tiempo en realizar una oscilación completa es el PERÍODO,
representado por T y medido en segundos.
La FRECUENCIA es el número de oscilaciones por segundo
que realiza y la representamos por n.
Para definir el movimiento tenemos que calcular su ecuación, donde veremos la relación
entre las magnitudes que intervienen e influyen sobre él. Como cualquier movimiento,
debemos encontrar una ecuación que nos relacione la posición (x) con el tiempo, es
decir, encontrar la expresión de la posición en función del tiempo. Para ello vamos a
partir de dos leyes muy conocidas en Física:
- Ley de Hooke: Que determina que la fuerza recuperadora del resorte es
proporcional a la posición y de signo contrario. La expresión de la ley es:
F = - Kx
- La 2ª ley de Newton: Que nos viene a decir que toda aceleración tiene su
origen en una fuerza. esto lo expresamos con la conocida:
F = ma
Es obvio que la fuerza recuperadora del resorte es la que origina la
aceleración del movimiento, lo que supone que ambas fuerzas, expresadas
arriba, son iguales. Luego:
donde hemos expresado la aceleración como la segunda derivada de
la posición con respecto al tiempo. A partir de esta ecuación
encontramos dos soluciones para el valor de la posición en función
del tiempo:
x = A sen(wt + q) y x = A cos(wt + q)
siendo x la elongación, A la amplitud, w la pulsación o frecuencia angular y q el
desfase, que nos indica la discrepancia entre el origen de espacios (pinto donde
empezamos a medir el espacio) y el origen de tiempos.
El valor de la frecuencia angular está relacionado con la constante recuperadora
por la ecuación que viene a continuación:
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN EL MAS
A partir de la ecuación de la posición o elongación (partimos de la 1ª ecuación de
la de arriba) y, derivando con respecto al tiempo, obtenemos la ecuación de la
velocidad en el MAS:
v = A w cos(wt + q)
Modificando ligeramente esta ecuación encontramos una expresión de la
velocidad en función de x, la elongación:
Derivando con respecto al tiempo la velocidad, obtenemos la ecuación de la
aceleración en el MAS:
a = - A w2 sen(wt + q)
de la que podemos obtener también una ecuación que la relaciona con la
posición:
a = - A w2
Con las expresiones de la velocidad y de la aceleración podemos calcular
fácilmente los valores máximos de ambas y los puntos de la trayectoria donde
se dan estos valores. Quedan resumidos en la siguiente tabla:
EJERCICIOS
1. Un móvil describe un mas. De 5 cm de amplitud y 1,25 s de periodo. Escribir la
ecuación de su elongación sabiendo que en el instante inicial la elongación es
máxima y positiva.
SOLUCION: Calculamos en primer lugar la pulsación del movimiento:
La ecuación general del mas escrita en función del seno es: s = A·sen (wt + j0) y teniendo
en cuenta los valores de A y de w la expresamos como: s = 0,05sen(1,6pt + j0)
Para el cálculo de la fase inicial, tenemos en cuenta que en el instante inicial, la elongación
es máxima y positiva. Así la ecuación se convierte en
0,05 = 0,05senj0 , de donde resulta que sen j0 = 1, y por tanto j0 = p/2.
Con esto la ecuación del mas queda: s = 0,05sen(1,6pt +p/2) (SI)
Si hubiéramos considerado la ecuación del mas en la forma:
s = A·cos (wt + j0) =0,05·cos (1,6pt + j0) la sustitución de las condiciones iniciales nos
llevaría a la expresión: s =0,05·cos 1,6pt
2. Un punto material oscila con un movimiento armónico simple de 20
Hz de frecuencia. Calcular su periodo y su pulsación.
SOLUCION:
a)
b) w = 2pu = 2p·20 s-1 = 40p rad/s.