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Teorema de Pitágoras
(Versión preliminar)
M. en C. René Benítez López
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa
Triángulo rectángulo
A
B
El C del triángulo ABC adjunto es un ángulo
recto. Por tener un ángulo recto, el triángulo ABC
es un triángulo rectángulo.
C
Un triángulo es triángulo rectángulo si tiene
un ángulo recto.
AB es la hipotenusa
El lado opuesto al ángulo recto se llama
AC y BC son los catetos
hipotenusa
Los lados que forman el ángulo recto se llaman
catetos
c
b
a
El área del cuadrado situado
en la hipotenusa es
c2
La suma de las áreas de
los cuadrados situados en
los catetos es
a2  b2
Cuando se construye un cuadrado sobre cada
lado de un triángulo rectángulo, se puede
demostrar que:
El área del cuadrado sobre la hipotenusa,
es igual a la suma de las áreas de los cuadrados
situados en los catetos.
En símbolos:
c 2  a2  b2
Esta relación entre los cuadrados de los catetos
y el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo, se conoce como teorema de
Pitágoras (582-497 A. C.)
Enseguida se tiene una demostración del teorema
de Pitágoras mediante la descomposición y
equivalencia de áreas. Observe:
Demostración 1:
Caso 1: Cuando las medidas de los catetos son iguales. (a = b)
a
b
c
c 2  a2  b2
a
c
c
2
=
a
2
+
b
b
2
Caso 2: Cuando las medidas de los catetos son desiguales. (a < b)
c
a
c
b
b
a
c
c 2  a2  b2
c
2
a2
=
a
+
b2
b
Demostración 2:
La altura CD sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC, determina los
triángulos ACD y CBD, los cuales son semejantes con el triángulo ABC. Observe:
C
BCD
b
a
x
B
c-x
D
De donde:
a x
  a2  cx
c a
A
ACD
c
ABC Tienen dos ángulos
congruentes.
ABC Tienen dos ángulos
congruentes.
De donde:
b c-x

 b 2  c 2 - cx
c
b
Por lo que:
a 2  b 2  cx  c 2 - cx  c 2
Demostración 3:
A partir de la siguientes figuras, demuestre algebraicamente que
c 2  a2  b2
c
b
a
c
c
(b – a)2
c
c
Aplicaciones
C
5
C
5
x
A
x
B
D
A
3
Si los lados iguales de un triángulo isósceles
miden 5 cm cada uno, y si la base mide 6
cm, ¿cuánto mide la altura sobre la base?
D
6
y
15
x
6
8
Para estabilizar una torre de radio trasmisión, se
van a fijar tirantes de retención a 6 m y 15 m
sobre la torre. Si el amarre en el piso está a 8 m
de la base de la torre, encontrar la longitud de
los tirantes.
Obtener la distancia desde el punto A
de coordenadas 1,2  hasta el punto B
de coordenadas  5,5  en el plano
cartesiano.
El cuadrilátero adjunto ABCD es un
rombo. En él, AC es perpendicular aBD .
Si AO  12 cm y BO  16 cm, ¿cuál es
su perímetro?
A
E
3
B
2
2
D
Muelle
1.2
x
3.7
C
Carlos mide 1.5 m y se aleja de una pared
en la que hay un foco a 3 m de altura. Él se
detiene en el preciso momento en que su
distancia a la pared y la longitud de su
sombra son iguales a 2 m. Si Carlos trajera
un piojo en el “coco”, ¿qué tan lejos estaría
el piojo del foco?
Dos lanchas parten desde un mismo
punto de un muelle en dirección
perpendicular una de la otra. Al poco rato,
la distancia entre ambas es de 3.7 km. Si
en ese momento una de ellas está a 1.2
km del punto de partida, ¿cuántos km
recorrió la otra?
P
A
Q
S
La longitud de la tangente trazada
desde un satélite S a la superficie
3
terrestre es igual a 12x10 km. Si
el radio medio de la Tierra es
aproximadamente igual a 6.4x103
km; ¿Cuánto mide el radio de la
órbita del satélite y a qué altura
está el satélite?
C
2x - 2
x-3
¿Cuál es el valor de X ?
x
A
O
B
Rompecabezas
Copie el siguiente diagrama y recorte las regiones numeradas del 1 al 5 para
formar con ellas un cuadrado sobre la hipotenusa del triángulo rectánglo de
color naranja
Fin