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El efecto Hall cuántico entero
 El efecto Hall cuántico entero:
(von Klitzing, Dorda y Pepper (1980))
 Gas de electrones bidimensional
 Baja concentración de impurezas
 Campo magnético perpendicular fuerte

H

E

j

 0
ˆ  
 H

 nec
H
H

nec
H 

nec 
 0 

Resistividad Hall


E  ̂j

 0
ˆ  
 h

 ie 2
H
h
 2
ie
h 
2 
ie 
0 


El efecto Hall cuántico (entero)

 0
ˆ  
 h

 ie 2
h 

ie 2 
0 


 H  RH 
h
ie 2
i  1,2,3,.....
Resistencia Hall
Inciso 1: magnetismo del gas de electrones libres
 2
1   eA  e 1  
ˆ
 p  
H
 H


2m 
c  mc 2
Paramagnetismo de Pauli
M   B2 N ( F ) H
 Pauli   B2 N ( F )
Diamagnetismo de Landau
1
3
 Landau    Pauli
2
3
 Total   B2 N ( F )
F
 B H
Caso H = 0


1
ik r
k (r ) 
e
S
2

 k  * (k x2  k y2 )
2m
kF
k F  2n
Esfera de Fermi
N()
m*
N ( )  2

F
Density of states 2D


H
Caso

H 0

E

j
Hamiltoniano
 e
1 
ˆ
H
  i  
2m* 
c
 2
A

vector potential
spinless electrons
 Elección de gauge:

A  ( yH ,0)
gauge de Landau
 1
A  ( yH , xH ) gauge simétrico
2
 Con cualquiera de los dos:
 

  A  Hu z
Gauge de Landau. Niveles Landau

A  ( yH ,0)
 Elección de gauge adecuada a la geometría: (experimento real)

H
Ex , jx
W
 e
1 
ˆ
H
 i  
* 
2m 
c
  eH

Hˆ 
i 
* 
2m  x c
2
 2
A

2 


y  2 
 y 
2
Gauge de Landau. Niveles Landau

H
W
   eH
ˆ
H
i 
* 
2m  x c
2
2 

y  2 
 y 
2
k ( x, y )  e  ( y )
2 2
1 * 2
 * 2 ( y)  m c ( y  l02 k ) 2 ( y)  E( y)
2m y
2
l0 longitud
1 eH m * c


2
l0
c

ikx
Quantum harmonic oscillator
Inciso 2: el oscilador armónico cuántico
 2 2 1
2 2
 m y ( y)  E( y)

2
2
 2m y

Quantum harmonic oscillator
 2 2 1
2
2
 m ( y  y0 ) ( y)  E( y)

2
2
 2m y

posición de equilibrio
 y  y0  ( y  y0 ) / 2l02
e
 n ( y )  H n 
 l0 
1

E n   n   
2

1 m

2
l0

Niveles Landau
2 2
1 * 2
 * 2 ( y)  m c ( y  l02 k ) 2 ( y)  E( y)
2m y
2
longitud
l02 k  y0
Quantum harmonic oscillator
2 2
1
 * 2 ( y)  m*c2 ( y  y0 ) 2 ( y)  E( y)
2m y
2
 y  y0  ( y  y0 ) / 2l02
e
nk  e H n 
 l0 
1

E n   n    c
2

ikx
Landau levels
1 m * c eH


2
l0

c
y0  l k
2
0
Niveles Landau
N()
Density of states 2D
m*
(por spin)
2 2

H 0
F
N()


H 0
c
perpendicular

Landau levels
1

E n   n    c
2

Niveles Landau
 Si el número total de estados no cambia
 La degeneración de cada estado Landau debe ser muy grande
N()
c
Density of states 2D
m*
2 2

H 0
N()
F


H 0
perpendicular

 Degeneración de cada estado Landau:
m*
eH
N L  c 

S

S
2
2
hc
Niveles Landau
 En efecto, la degeneración:
 y  y0  ( y  y0 ) / 2l02
e
nk  e H n 
 l0 
1

E n   n    c
2

número de valores permitidos de k
ikx
1 eH

2
l0
c
 Condiciones de contorno de Born-von Karman: k 
2
n, n  0,1,2,....
L
 El sistema está confinado en la dirección y: 0  y0  W

H
W
x
W
k  2
l0
W / l02
S
NL 

2 / L 2l02
eH
S
hc
O.K.
NL 
Degeneración de los niveles Landau
eH
NL 
S
hc
eH
nL 
hc
 Interpretación cuasi-clásica
NL 
 Interpretación cuántica
  HS

0
0 
NL 
 
n
N

nL N L
S
1 eH

2
2
l
2l0 0 c
flujo magnético total
hc
e
cuanto de flujo magnético
 0  4.14 10 7 gauss  cm 2
filling factor
Cuantización de la resistencia Hall
 ¿Qué ocurre si el primer nivel Landau está totalmente ocupado?
N  NL 

 0
ˆ  
 H

 nec
H 

nec 
 0 

eH
S
hc
n
H
H 
nec
H hc
h
H 
 2
ec eH e
!!
eH
hc
N  NL
Cuantización de la resistencia Hall
 ¿Qué ocurre si el primer nivel Landau está totalmente ocupado? 
N  NL 

 0
ˆ  
 H

 nec
eH
S
hc
H 

nec 
 0 

n  nL 
eH
hc
H hc
h
H 
 2
ec eH e
H
H 
nec
 En general si el factor de llenado es un número entero
(un número entero de niveles Landau ocupados)
 H  RH 
h
e 2
 ¿Esto explica los resultados experimentales ?
1
!!
  1,2,3,...
 La condición
H 
H
h
 2
nec e
para  = 1,2,3,..
 ¿Explica la curva experimental?
 ¿Explica los plateaus en xy?
 ¿Explica el comportamiento de xx?
xy
h
e2
h
4e 2
h
2e 2
H 
H
nec
 1
 2
H
Quantum versus classical
xy
H 
H
nec
H
Efecto de las impurezas
N()
 2
F

Efecto de las impurezas
 Resolviendo la ecuación de Schrödinger con una distribución “random” de impurezas:
 e
1 
Hˆ 

i




2m* 
c
 2

A   Vimp (r )

transport current
no current
  1/ 2
F
 1
F

 2
F


Cuantización de la resistencia Hall
 How to control experimentally the filling factor  ?
 
N
n

N L nL
nL 
eH
hc
 Variando el campo magnético externo H
 Variando la densidad electrónica mediante la aplicación de un potencial
de compuerta (gate voltage) al gas bidimensional
Variación de n mediante un potencial de gate
SiO2
5000 A
Silicon MOSFET
(Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor)
n  1011  1013 cm 2
conduction band
energy gap
F
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
valence band
Al
situación de equilibrio
p-Si
F
Variación de n mediante un potencial de gate
SiO2
2D electron gas (inversion layer)
conduction band
gate
energy gap
valence band
eVG
p-Si
Al
F
Metrology
 Resistance standard since 1990
h
 25812.806 ohms
e2
precision 2  10 8
e2
1

 Fine structure constant  
uncertainty 0.3 ppm
c 137.036
 Unit of resistance
h
1 klitzing  2
e
El efecto Hall cuántico fraccionario
 D. C. Tsui, H. L. Störmer & A. C. Gossard (1982) (experimento)
 R. Laughlin (1983) (teoría)
 H  RH 
h
Resistencia Hall
e 2
  1 / 3,1 / 5,2 / 3,.....
El efecto Hall cuántico fraccionario
 R. Laughlin (1983)
 H  RH 
h
Resistencia Hall
2
e
  1 / 3,1 / 5,2 / 3,.....
 H  RH 
0

 *0
ec e c
e *  e
 Excitaciones de carga fraccionaria (quasiparticles)
El efecto Hall cuántico fraccionario
 Detección experimental de la carga
e*  e / 3
 Shot noise measurements
S  2q | I |
(W. Schottky 1918)
 En un experimento Hall con  =1/3
q
S
e

2I 3
carriers charge
Sistemas cuasi-unidimensionales
 Quantum point contacts (QPC)
V
 Atomic contacts
Cuantización de la conductancia
 Quantum point contacts (QPC)
I  GV 
1
V
R
2e 2
Gn
h
h
R
n2e 2
Contactos atómicos: cuantización de la conductancia
Au MCB, 4 K
Histograma de Au
STM, 300 K
Pt MCB, 4 K
Sistemas cero-dimensionales ?
Puntos cuánticos
 Efectos muy fuertes de interacción electrón-electrón
 Coulomb blockade effects