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Lógica de Proposiciones
¿Qué es una proposición?
¿Cuáles son los conectivos lógicos?
¿Cómo utilizar las tablas de verdad?
¿Qué es una tautología?
¿Qué es una contradicción?
La Lógica
Es una ciencia que estudia métodos o procedimientos que aplican
definiciones y leyes o reglas con el propósito de determinar la validez o
invalidez de las proposiciones. La lógica matemática es una variedad de la
lógica filosófica.
Se puede decir también, que la Lógica es el estudio de la inferencia: Inferir
es extraer la conclusión a partir de sus premisas.
Ejemplo
“Si Cipriano quiere a Eloisa entonces le escribirá una carta. No le escribió
la carta; por tanto, Cipriano, no quiere a Eloisa”
Los objetivos principales de la lógica son esencialmente:
1.
Eliminar las ambigüedades propias del lenguaje ordinario.
2.
Dar rigor a aquello que se está estudiando.
En la Lógica existen dos procesos fundamentales:
1. Conceptualización: consiste en definir los objetos matemáticos
que se van a definir
2. Demostración: consiste en demostrar rigurosamente aquellas
propiedades, proposiciones o teoremas que se estén estudiando
Proposiciones
Es una expresión lingüística, libre de ambigüedades ,que tiene la propiedad de
ser verdadera o falsa pero nunca ambas simultáneamente.
Por ejemplo
SON PROPOSICIONES

El 2 es un número primo.

25 es divisible entre 3 .

6 + 5 = 10 ”.
NO SON PROPOSICIONES
 Pare inmediatamente!
 ¿15 y 18 tienen la misma
cantidad de divisores?.
 En realidad, ¿a qué se refiere?.
El aula A1-205 está en el 2do piso
 Lávalo”.
El sol es una estrella
 ¡ Qué hermosos son tus ojos !

Manuel saco 20 en matemática
 ¿lloverá mañana?

Los problemas de matemática
 Haz esto por favor


son fáciles
Proposiciones
¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones?
(Explica por qué lo son o no lo son)
1)
“ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”.
2)
“ 2 es divisor de 15”.
3)
4)
5)
6)
“ ¿Fuiste a la manifestación del sábado?”.
“ El aula A1-205 de la Unimet tiene más de 50 mts. cuadrados”.
“x+3
es un entero positivo”.
“ Tranquilícese”.
Respuestas: Sólo son proposiciones los
enunciados dados en 2 y 4
Valor de verdad
Toda proposición se califica como verdadera (V) o falsa (F).
Ejemplos:

La tierra es un satélite
(F)

El conjunto unitario tiene un solo elemento
(V)

9 es cuadrado perfecto
(V)

3 es múltiplo de 5
(F)
Prof. Niño
2006
Variable Proposicional
Es la representación de las proposiciones por medio de letras minúsculas:
p, q, r, s, etc.. Lo que simplifica las operaciones
p: El aula A1-204 está en el 2do piso
q: El aula A1-204 es iluminada
r: El 5 es un entero par”
s: La Tierra es el único planeta con vida en el universo
t: El aula A1-204 no está iluminada
u: Un decenio tiene 10 años
Prof. Niño
2006
Enunciado abierto
Llamado también función proposicional, es toda expresión que se
refiere a números; esta conformado por constantes y variables.

Goza de la propiedad de transformarse en proposición al sustituir la
variable o variables por constantes.
Ejemplos:
Enunciado abierto
Proposición
para
(V)
Enunciado abierto
Proposición
Prof. Niño
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para
(F)

Además todo enunciado abierto se transforma en una proposición
anteponiéndole “para todo”
o “Existe”
los que son llamados
cuantificadores
Ejemplos:
Enunciado abierto
Proposición
(V)
Enunciado abierto
Proposición
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(F)
Clases de proposiciones
1) Simple Llamadas también atónica, o elementales, son remplazadas,
por una sola variable proposicional
Ejemplos:
El río Rímac es llamado “El Hablador”
p
La tierra es un planeta del sistema solar
2) Compuesta : Llamadas también moleculares, son aquellas que
niegan a las proposiciones simples o combinan dos o más
proposiciones simples conectadas por partículas o conectivos lógicos.
Ejemplos
Las gallinas no tienen cuatro patas.
No p
Juan es médico y psicólogo
q y r
Conectivos lógicos u operadores proposicionales:
Llamados también “operadores”, “signos de enlace”, “conectores, etc.
Son usados en las operaciones lógicas.
Los mas importantes son: la negación, conjunción, disyunción ( fuerte
débil) condicional y bicondicial.
1. Negación (
) Puede afectar a una sola proposición o a un
conjunto de ellas. Puede ser:
1.1 Simple : Usa la partícula: No, jamás, nunca, ni sub, infra, des, etc.
Cambia el valor de verdad de una proposición simple.
Ejemplos:
El Rímac NO es llamado “El Hablador”
La tierra NO es un planeta del sistema solar
1.2 compuesta

Usa no es cierto que, no es el caso que , es falso que, , no es verdad
que, es imposible que, no es que, etc. Niega al operador mas no a la
variable proposicional.
Ejemplo

Es imposible que Juan ni estudie ni trabaje

No es el caso que franco escriba o juegue

El General de San Martin no nació en el Perú.

No es cierto que la pizarra sea blanca y el plumón sea negro
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Ejemplo
p:
Nuestro salón está en el 2do piso.
p :
Nuestro salón no está en el 2do piso.
p :
No es cierto que nuestro salón esté en el 2do piso.
Si p es verdadera entonces p es falsa. En cambio, si p es
falsa, p es verdadera.
La tabla de verdad
Prof. Niño
2006
p
p
V
F
F
V
Notación
Las proposiciones se combinan mediante conectivos,
por ejemplo, “y”, “o”, “pero”, “si ... entonces”…
Ejemplo
p: “El aula A1-204 está en el 2do piso”;
q: “El aula A1-204 es iluminada”.
pueden combinarse como:

“El aula A1-204 está iluminada y está en el 2do piso”

“Si el aula A1-204 está iluminada entonces se encuentra en
el 2do piso”
Prof. Niño
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Conectivos
La proposición resultante de conectar dos ó más proposiciones se
denomina proposición compuesta.
Ejemplo
r : “El aula A1-205 está en el 2do piso pero es iluminada”
r es la proposición compuesta
“p y q”
s: “Si el aula A1-204 está iluminada entonces se encuentra en el 2do piso”
s es la proposición compuesta “Si q entonces p” ”
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2. La Conjunción ( p  q )
Vincula (coordina) proposiciones referidas a un mismo sujeto o a sujetos
diferentes mediante el conectivo y la conjunción de
proposición
p y q
es la
“p y q” que se denota por “p  q”.
La conjunción es verdadera, únicamente cuando ambas proposiciones que
la componen son verdaderas.
Ejemplo:

Juan es médico y deportista

Paco y Ronald son maestros

Sea p: “2 divide a 68”
q: “2 divide a 25”.
p  q : “ 2 es divisor de 68 y de 25”.
Valor de verdad:
p  q es falsa
Obs. 1
Para que una conjunción tenga sentido debe cumplirse con las
siguientes requisitos.

Que se puedan separar las proposiciones

Que se puedan conmutar las proposiciones

Que tenga el mismo contexto
Ejemplo

No son proposiciones conjuntivas

Juan y María son paisanos (no se pueden separar)

Paco tomó arsénico y murió ( no se pueden conmutar)

La ex reina de belleza tomo somníferos y murió (no se puede
conmutar)
Prof. Niño
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Obs. 2
En el lenguaje coloquial se emplea como sinónimo de “y” las
expresiones sino, además, mas, pero, no obstante, empero, también, a
la vez, aun cuando, sin embargo, aunque, a pesar de, etc.
Ejemplo:

Juan tiene diez años también Elizabeth

Benito perdió tanto dinero como Víctor.

16 es múltiplo de 3, pero 5 es mayor que 3.

Fernando Belaunde fue un político pero honesto

A la vez sale el sol aun cuando llueve
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Obs : 3
En algunos casos la conjunción está sobre entendida; es
tácita
Ejemplo:
Algunos han sido grandes otros han conseguido la grandeza a otros
les ha sido impuesta.
Obs : 4
Una Coma puede hacer, también una conjunción.
Ejemplo:
En el anterior coloque las comas en el lugar apropiado.
 María y Juan son novios.
Tengo papel, pero no lápiz.
Iremos a la playa si no llueve.
Tabla de Verdad
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p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
3. LA DISYUNCIÓN
(pq)
3.1 Disyunción Débil ()
O inclusiva vincula dos o mas
proposiciones mediante el conectivo “o”
Ejemplo:

La solución de (x–2).(y+2) = 0 es

Sean
p: “3 divide a 6”
x = 2 o y = -2”.
q: “3 divide a 7”
p  q : “ 3 divide a 6 ó a 7”
Valor de verdad:
p  q es verdadera.

Juan arregla su cuarto o Rocío baila.

La historia describe o explica
La disyunción es falsa, únicamente, cuando ambas proposiciones son
falsas.
Prof. Niño
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Tabla de verdad
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p
q
pq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
3.2 Disyunción Fuerte ( )
O exclusiva vincula dos proposiciones mediante el conectivo
“ o … o… “.
Ejemplo :


O Juan arregla su cuarto o estudia
O estás sano o estás enfermos.
p
P
q
q
En ambos ejemplos es imposible que simultáneamente ocurran ambas
proposiciones.
Tabla de verdad
Prof. Niño
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p
q
p q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
4. LA CONDICIONAL ( p  q )
Establece una relación de dependencia entre las proposiciones que se
vinculan mediante el conectivo “ Si… entonces … “
pq
Hipótesis  Tesis
Antecedente  Consecuente
Premisa  Conclusión
Ejemplo:

Si estudio entonces apruebo.
pq

Como baile mucho, me canse
pq
Prof. Niño
2006
En el lenguaje coloquial son sinónimos del condicional las palabras:
Siempre que p, q
Dado que p , q
p por lo tanto q
p es suficiente para q
p luego q
p implica q
P se concluye q
P en consecuencia q
p así que q
Si p, q
p sólo si q
q es necesaria para p
q se deduce de p
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Ejemplo:
p: Los polvos de jardín contienen veneno
q: Los polvos de jardín son de colores brillantes.
La proposición p  q puede estar expresada como:

Si los polvos de jardín contienen veneno entonces son de colores
brillantes;

Los polvos de jardín contienen veneno sólo si son de colores brillantes;

Son necesarios los colores brillantes para los polvos de jardín que
contienen veneno;

Los polvos de jardín son de colores brillantes si contienen veneno.
Prof. Niño
2006
5También tenemos proposiciones donde el orden no es normal, es
decir la proposición condicional está invertida y por lo tanto hay
necesidad de ordenarla.
Ejemplo:

Apruebo el curso si estudio
Ordenando
Si estudio el curso entonces apruebo el curso

Me canse pues bailé mucho
Ordenando
Bailé mucho, entonces me canse
Prof. Niño
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
En este caso
p ya que q
p pues q
Tienen sinónimos en el lenguaje coloquial
“dado que”, “puesto que”
“habida cuenta que”, “siempre que”, debido a que”, “porque” , etc.

“Si p entonces q ” es verdadera, cada vez que la condición p
es verdadera obliga a que la condición q también sea verdadera.
Es decir, con el cumplimiento de p, se promete el cumplimiento
de q.
Prof. Niño
2006
La implicación
es falsa, únicamente,
Tabla
de verdad
cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso. En este caso, a pesar de
“estar dadas las condiciones”, no se cumple la promesa.
Tabla de verdad
Prof. Niño
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p
q
pq
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Ejemplo:
p: La respuesta automática se puede enviar.
q: El sistema de archivos está lleno.

p  q :
Si la respuesta automática no se puede enviar, el archivo está lleno.

q  p :
La respuesta automática no se puede enviar cuando el archivo está lleno.

q  p :
La respuesta automática no se puede enviar si el archivo está lleno.

pq:

Si la respuesta automática se puede enviar, el archivo no está lleno.
Prof. Niño
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Ejercicio
Si x = 1, ¿cuál es el valor de la variable x después de ejecutarse cada una de
las siguientes instrucciones?
a)
If 2 + 2 = 4 then x:=x + 1
b)
If (1+1=3) or (2+2=3) then x:=x + 1
c)
If (2+3=5) and (4+3=7) then x:=x + 1
d)
If x < 3 then x:=x + 1
¿ x = ??
Respuesta:
Prof. Niño
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a) x = 2
c) x = 2
b) x = 1
d) x = 2
5. La Bicondicional ( p  q)
Establece una relación de doble dependencia entre las proposiciones por
lo mismo ellas deben poder conmutarse. Se vinculan mediante el conectivo
“ si y solo si”
Es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad,
es decir, es verdadera si ambas componentes son verdaderas o ambas son
falsas.
Ejemplo

Puedes titularte si y solo si estás expedito

N es par si y solo si es , múltiplo de dos.
También puede utilizarse “cuando y solo cuando” . “entonces y sólo
entonces”, es una condición necesaria y suficiente”, “ es una
condición necesaria y suficiente”.
Una manera de abreviar “si y sólo si” es
“p si y sólo si q”
“sii”.
se puede expresar como
“p es condición necesaria y suficiente para q”.
Ejemplo
p : 24 es un número par.
q : 24 es divisible por 2.
p  q : “ 24 es un número par si y sólo si 24 es divisible entre 2”.
Prof. Niño
2006
La naranja es agradable cuando y sólo cuando está madura.
Decimos bicondicional porque el signo  puede ser descompuesto en
dos signos condicionales
En el ejemplo “Si la naranja es agradable, entonces está madura” y “Si la
naranja está madura entonces es agradable
Tabla de verdad
Prof. Niño
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p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
6. La Binegación
Que vincula a dos proposiciones mediante “ no … y no …” .
“Ni … ni… , “
Ejemplo:

No ingrese a la UNI y no postule a la UNSA

Ni Alianza es campeón ni Perú va al mundial.
Tabla de verdad

Prof. Niño
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p
q
p q
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Evaluación de los esquemas moleculares mediante
tablas de verdad
Una vez formados los esquemas moleculares se aplican las tablas de
valores para decidir su validez.
La evaluación comienza con los conectivos de menor jerarquía,
ascendiendo a los de mayor jerarquía, hasta culminar con el conectivo
principal, que es donde va el resultado
Ejemplos
Prof. Niño
2006
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Tautología y contradicción
Una tautología es una proposición compuesta que
es verdadera para todos los valores de verdad de las
proposiciones que la componen.
Por ejemplo: p  p
“ Soy un hombre o no soy un hombre”
Una contradicción es una proposición compuesta que
es falsa para todos los valores de verdad de las
proposiciones que la componen.
Por ejemplo: p  p
“Soy un hombre pero no soy un hombre”
Prof. Niño
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Ejercicios
1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que
p  q es falsa.
a) p  q
b) q  p
c) p  p
d) p  q
Piensa un rato y justifica tus respuestas
2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que
(pq)r  (st)
sea falsa
3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones
a) ( p  ¬q )  q
b) ( p  q )  ( p  q )
¿Cuáles de estas proposiciones
c) q  (¬p  ¬q)
es una tautología?
Prof. Niño
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¿Puedes construir una
contradicción a partir de alguna de
ellas? ¿Cuál?
Formalización
La formalización es el proceso en el que se traducen
proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o
simbólico.
4) Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos.
Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C”
q: “ Llueve”
a)
b)
c)
d)
e)
f)
La temperatura está sobre los 17°C pero llueve.
Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve.
No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C.
Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C.
Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no
llueva.
O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.
Prof. Niño
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Formalización
5) Sean p: “El mensaje es revisado para buscar algún virus”
q: “ El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido”
Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los
conectivos.
a) El mensaje se revisa para buscar algún virus siempre que se haya
enviado desde un sistema desconocido.
b) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no
revisó para buscar ningún virus.
c) Cuando el mensaje no es enviado desde un sistema desconocido
no se revisa para buscar ningún virus.
d) El mensaje fue enviado desde un sistema desconocido pero no se
reviso para buscar ningún virus.
Prof. Niño
2006
Tarea
De la sección 2.1, realiza los ejercicios:
a) Ej. 6: determinar veracidad de implicaciones;
b) Ej. 14: practicar con los conectivos;
c) Ej. 19: determinar veracidad, descartando casos.
Prof. Niño
2006