Download Funciones reales de variable real.

FUNCIONES
U.D. 6
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
1
FUNCIÓN: DOMINIO Y
RECORRIDO
U.D. 6.1 * 1º BCS
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
2
Definición de función
•
Una función es toda correspondencia entre dos magnitudes de modo que a
cada valor de la primera (x) le corresponde un único valor de la segunda (y).
•
A las magnitudes que intervienen en dicha correspondencia se las llama
variables.
Variable independiente (x): Su valor se fija previamente.
Variable dependiente (y): Su valor depende del que se fije para la variable
independiente.
•
•
•
•
•
Al conjunto de valores de la variable independiente (x) se le llama DOMINIO
de la función.
Al conjunto de valores de la variable dependiente (y) se le llama IMAGEN o
RECORRIDO de la función.
Una función se suele denotar de la siguiente manera:
• y=f(x)
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Ejemplo de Función
DOMINIO
RECORRIDO
3
9
2
4
1
-4
1
4
16
-2
X
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f (x)=x2
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Y
4
• EJEMPLOS DE FUNCIONES
• EJEMPLO_1
• Sea la función f(x) = x2
• EJEMPLO_2
• Sea la función f(x) = x3 +x2 - 5x +3
Si una línea VERTICAL corta a la gráfica en un solo punto es una función
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• EJEMPLO_4
• Sea la ecuación x = y2
• No es una función. Cada
valor de x no corresponde
un único valor de y.
•
EJEMPLO_3
•
•
•
•
•
•
Sea la ecuación de la elipse:
x2 y2
--- + --- = 1
9 4
No es una función.
Si una línea VERTICAL corta a la gráfica
en dos o más puntos, NO es una función.
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•
•
•
•
•
•
Para poder trabajar con ecuaciones
que no son funciones, se trabajará
por separado obteniéndose dos
funciones distintas:
EJEMPLO 1
Ecuación x = y2
y = +/- √x
f (x) = √x  Función 1
f (x) = - √x  Función 2
f(x)=√x
•
•
•
EJEMPLO_2
Ecuación de la circunferencia
x2 + y2 = 25
•
•
•
y = +/- √ (25 - x2)
f (x) = √ (25 - x2)  Función 1
f (x) = - √ (25 - x2)  Función 2
f(x)=√(25 – x2)
f(x)= - √x
f(x)= - √(25 – x2)
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Ejemplos prácticos de funciones
•
El coste de producción de un número, x, de artículos:
C ( x)  0,25.x 2  45.x  8000
•
El capital obtenido al cabo de un cierto tiempo, t, a interés compuesto:
C (t )  700.(1  0,05)t
•
La devaluación que sufre un bien al cabo de un tiempo, t:
P(t )  5000.(1  0,15)t
•
El número de bacterias tras un tiempo, t, en un cultivo:
N (t )  e12 /(2  103.e2.t )
•
El número de osos pardos de una reserva (especies protegidas):
N (t )  250.log[(900.t  130) /(13  t )]
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La campana de Gauss
•
•
•
•
•
•
1
f(x) = ---------------- e
σ. √2.π
•
Es la más utilizada en estadística.
1
– --2
x–μ
-------σ
2
μ–σ
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μ
μ+σ
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Dominio de una función
•
Ejemplo 1:
•
Sea la función
•
Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que x
debe ser mayor o igual que 0.
El dominio de esta función es pues x ≥ 0
Dom f(x) = [0, +oo )
•
•
•
•
y=√x
Ejemplo 2:
•
Sea la función
•
•
•
Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que:
4–x ≥0 4≥x
Dom f(x) = (-oo , 4]
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y = √ (4 – x)
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• Ejemplo 3:
•
Sea la función
•
Para que y pueda tomar valores reales ( números reales), está claro que x2
debe ser menor o igual que 4, o sea |x| ≤ 2.
El dominio de esta función es pues |x| ≤ 2
Dom f(x) = [-2, 2]
•
•
y = √ (4 - x2)
•
• Ejemplo 4:
•
Sea la función
•
Cuando x = - 4 el denominador se hace cero, con lo cual y no toma ningún
valor real
Dom f(x) = R – { – 4 }
•
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y = 1 / (4 + x)
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•
Ejemplo 5
•
Sea la función
•
Está claro que 4.x – x2 no puede tomar valores negativos, y tampoco
puede ser 0.
El dominio de esta función es pues
Dom f(x) = {x / (4.x – x2 ) > 0}
•
•
•
•
Resolveremos la inecuación: 4.x – x2 > 0
x.(4 – x) > 0
•
•
•
y = - 1 / √ (4.x – x2 )
-oo
x
(x – 4)
•
•
x.(x – 4) < 0

Solución:
0
4
+oo
-
+
-
+
+
+
-
+
Dom f(x) = (0, 4)
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Recorrido o Imagen
•
Ejemplo 1
•
Sea la función
•
•
Está claro que y no puede tomar valores negativos, y el valor más pequeño
será el 0 cuando x = 0.
El recorrido de esta función es pues
Img f(x) = [0, +oo) = R+
•
•
Ejemplo 2
•
Sea la función
•
•
•
Aparentemente para cualquier valor que tome x habrá un valor de y real.
El valor de y no puede ser nunca 0.
El recorrido de esta función es pues
Img f(x) = R – { 0 }
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y=√–x
y = 4 / (x – 2)
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•
Ejemplo 3
•
•
Sea la función
•
•
•
•
Valga lo que valga x, habrá siempre algún valor de y.
Si x es positivo, la raíz dará un valor negativo, e y tomará un valor positivo.
Si x es negativo, la raíz dará un valor positivo, e y tomará un valor negativo.
El recorrido de esta función es pues:
Img f(x) = R
•
•
Ejemplo 4
•
Sea la función
•
•
•
Si x vale 2, el resultado o valor de y será: 5 0 = 1.
Si x es mayor que 2, el resultado será un número positivo.
Si x es menor que 2, el resultado será una potencia de exponente negativo, cuyo
resultado sabemos que será siempre positivo, aunque muy pequeño.
El valor de y no puede ser nunca 0.
El recorrido de esta función es pues
Img f(x) = R+ – { 0 }
•
•
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3
y=–√–x
y = 5(x – 2)
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