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INICIO 6 ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Trigonometría LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD La primera civilización en medir el paso del tiempo, utilizando el ángulo solar y la longitud de la sombra que proyecta una vara clavada en el suelo, fue la civilización china. ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados. Hipotenusa Cateto opuesto SIGUIENTE Cateto contiguo ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados. Hipotenusa Cateto opuesto cateto opuesto de b seno hipotenusa a SIGUIENTE Cateto contiguo ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados. Hipotenusa cateto opuesto de b seno hipotenusa a cateto contigu de c c oseno hipoten a Cateto opuesto SIGUIENTE Cateto contiguo ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados. Hipotenusa cateto opuesto de b seno hipotenusa a cateto contigu de c c oseno hipoten a cateto opuesto de b t angente cateto contiguo de c Cateto opuesto Cateto contiguo ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas del ángulo agudo Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de los ángulos y cateto opuesto 6 sen 0 , 6 hipotenusa 10 cateto opuest 6 t g 0 , 75 cateto contigu 8 cateto contiguo 8 0,8 cos hipotenusa 10 cateto opuesto 8 sen 0 , 8 hipotenusa 10 cateto opues 8 t g 1 , 34 cateto contig 6 cateto contiguo 6 c os 0 , 6 hipotenusa 10 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Medida de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal Sistema centesimal (En la calculadora MODE DEG) (En la calculadora MODE GRAD) Radianes (En la calculadora MODE RAD) Ángulo completo Ángulo llano Ángulo recto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º CENTESIMAL 400 200 100 2 /2 RADIANES SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Relaciones entre las razones trigonométricas del ángulo agudo Si en el triángulo rectángulo ABC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: b2 c2 a2 C Si dividimos la expresión anterior entre a2: b2 c2 a2 2 2 2 a a a Expresándolo de otra forma: 2 B A 2 b c 1 a a sen b a cos c a O lo que es lo mismo: 2 2 sen cos 1 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º C Sea ABC un triángulo equilátero. Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide 60º. Trazamos una altura h. A B Podemos calcular h en función de l, aplicando el teorema de Pitágoras l h2 l2 2 4l2 l2 2 h 4 3l 2 h 4 l2 h l 4 3l 2 h 4 h 2 2 2 2 l h 3 2 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º l l 1 sen 30º 2 l 2 l 2 l3 l3 3 cos 30 º 2 l 2 l 2 l 3 2 1 2 1 3 tg 30 º2 3 23 3 3 2 Observa que: sen 60º = cos 30º Las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º son: l3 l3 3 sen 60 º 2 l 2 l 2 l l 1 cos 60 º2 l 2 l 2 3 sen 60 º 2 23 tg 60 º 3 cos 60 º 1 2 2 cos 60º = sen 30º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Sea ABCD un cuadrado. A B D C Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide 90º. Trazamos la diagonal d. Podemos calcular d en función de l, aplicando el teorema de Pitágoras d2 l2 l2 d2 2 l 2 h 2 l 2 hl 2 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Las razones trigonométricas del ángulo de 45º son: l 2 l 1 2 sen 45 º l2 22 cos 45º l l 2 1 2 2 2 l tg45 º 1 l Observa que: sen 45º = cos 45º ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Circunferencia goniométrica Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas. Y a A esta circunferencia la llamaremos circunferencia goniométrica. O 1 X Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice estará en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda. SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Circunferencia goniométrica Y B El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1 1 1sen 1 sen a cos cos sen O 1 sen cos cos sen b g -1 1 cos 1 A d C D X + + __ _ + _ + SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO -1 SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Razones trigonométricas Las razones trigonométricas que coinciden con los ejes coordenados: 0º, 90º, 180º y 270º vienen dadas en la siguiente tabla: ÁNGULO 0º 90º 180º 270º SENO 0 1 0 1 COSENO 1 0 1 0 TANGENTE 0 No existe 0 No existe SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Reducción de ángulos al primer cuadrante 2º CUADRANTE Si un ángulo β está en el segundo cuadrante se puede poner como 180º α, siendo α un ángulo del primer cuadrante. sen sen cos -cos tg - tg sen 120º sen 60º 120 º 180º 60º cos 120º - cos 60º tg 120º - tg 60º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Reducción de ángulos al primer cuadrante 3ER CUADRANTE Si un ángulo β está en el tercer cuadrante se puede poner como 180º +α, siendo α un ángulo del primer cuadrante. sen -sen cos -cos tg tg sen 210º -sen 30º 210º 180º 30º cos 210º -cos 30º tg 210º tg 30º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Reducción de ángulos al primer cuadrante 4º CUADRANTE Si un ángulo β está en el cuarto cuadrante se puede poner como 360º α, siendo α un ángulo del primer cuadrante sen -sen cos cos tg -tg sen 315º -sen 45º 315º 360º 45º cos 315º cos 45º tg 315º -tg 45º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos El ángulo complementario de un ángulo α mide (90º α). 90º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos El ángulo complementario de un ángulo α mide (90º α). El ángulo opuesto de un ángulo es otro ángulo de igual amplitud pero que se mide en sentido inverso, α. 90º 360 º SIGUIENTE ANTERIOR SALIR INICIO ESQUEMA INTERNET MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos El ángulo complementario de un ángulo α mide (90º α). El ángulo opuesto de un ángulo es otro ángulo de igual amplitud pero que se mide en sentido inverso, α. El ángulo suplementario de un ángulo α mide (180º α). 90º 360 º 180 º ANTERIOR SALIR INICIO INTERNET ESQUEMA MATEMÁTICAS 4º ESO opción B Unidad 6: Trigonometría ACTIVIDAD Aplicaciones Calculamos la distancia entre las embarcaciones. 32 a d sen 60º 1 64 cos 60º 60º a 32 1 32 2 a a 16m 3 d1 2 64 d1 55,43m d1 cos 30º b 30º 32 b 3 32 2 b b 3695m , 32 sen 30º d2 36,95 1 d 2 2 36,95 d2 18,48m d2 distancia d1 d2 d 55,43 18,48 d 36,95 m SIGUIENTE ANTERIOR SALIR
