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Números
MATEMATICAS I
ITESM-Preparatoria Esmeralda
Prof. Q.F.B. Mary Luz Noguera
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Todos ellos surgieron, estrictamente hablando, por la necesidad del
hombre mismo de resolver problemas aritméticos (que tienen que
ver con los números), que bien pueden verse como problemas
algebraicos.
 Los griegos usaron un sistema de numeración decimal
(contaban de diez en diez). Para cada número asignaron un
número. El número 1 estaba representado por I, el cinco por V,
el diez por X, 50 por L, 100 por C, 500 por D y al 1000 por M.
 Los mayas, a diferencia de los griegos, usaron un sistema
vigesimal, ellos contaban de veinte en veinte (diez en las manos
y otros diez en los pies). Los aztecas, el número veinte se decía
Tzontle (en Nahuatl)
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Números naturales
Podemos empezar diciendo que los números naturales tienen su nombre gracias al
hecho de que el hombre, de manera intuitiva tuvo desde el principio de su historia, la
noción de cantidad.
Definición:
Se define al conjunto de los números naturales como todos aquellos
números que usamos para contar. De manera natural, el hombre los
acogió para poder tener control sobre las cosas que posea. Nótese
que el cero queda excluido de este conjunto, puesto que cuando
un hombre no posee ningún objeto, no siente la necesidad de contar.
Por tanto, los números naturales son: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... donde los
puntos suspensivos indican que la lista sigue infinitamente.
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Números enteros
Considere ahora la pregunta: ¿Qué número debemos sumar al número 7
para obtener 2?
Evidentemente la respuesta a esta
pregunta no es un número natural,
porque cuando sumamos dos
números naturales la suma es
siempre mayor a cualquiera de los
sumandos.
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¿De dónde vino el signo negativo? Al parecer fue de la necesidad de resolver
preguntas como la mencionada anteriormente. Parece ser mas claro el
concepto si colocamos los números enteros sobre una línea recta, a la cual
llamaremos recta numérica.
-4 -3 -2 -1 0 1 2
3 4
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La lista de los números enteros es infinita tanto a la derecha como a la
izquierda del origen.
De aquí se deduce que el conjunto de los números naturales esta incluido en el
conjunto de los números enteros.
Sin embargo lo opuesto no es cierto.
Es decir, no todos los números
enteros son números naturales.
Por ejemplo, el numero -2 es un numero entero, pero no es numero natural.
Esto es similar a decir que todos los gatos son animales, pero no todos los
animales son gatos. ¿Tiene sentido?
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Números racionales
Los números racionales surgieron, como todos los demás tipos de números de
la necesidad de los hombres de responder a preguntas de tipo aritméticoalgebraico y resolver problemas conforme iban surgiendo.
La primer idea que se viene a la mente sobre el origen
de estos problemas es la repartición de un terreno
entre varias personas.
Un problema mas formal será el de encontrar un numero tal que al ser
multiplicado por un numero entero (digamos, el numero 2) resulte el numero 1.
La respuesta a esta incógnita se obtuvo gracias a la creación de otro tipo de
números que, en este capítulo vamos a estudiar.
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Aquí es importante reconocer que es necesario conocer cada una de las
palabras involucradas en la definición para poder entenderlas. Cociente es el
resultado que se obtiene al hacer una división. Entonces, los números enteros
son aquellos que se pueden poner como una fracción.
En notación de conjuntos, la definición se escribe como sigue:
Al número p lo llamaremos numerador y al número q denominador.
Si observa, encontrara una diferencia entre la definición dada en palabras y la
definición que se dio en notación de conjuntos. La diferencia es que en la segunda
definición no se permite al denominador de la fracción ser igual a cero.
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Algo importante que no se debe pasar sin mencionar es que los números
enteros, por poder ser expresados en forma de una fracción, donde tanto el
numerador como el denominador sean números enteros, quedan incluidos en
los números racionales. Así, el número entero 1, por ejemplo, puede
expresarse como 1/1, el numero 2 como 4/2, etc.
Nótese también que, como en el caso de los números
naturales con respecto a los números enteros, los
números enteros, son todos números racionales, pero no
todos los números racionales resultan ser números
enteros. Por ejemplo, el numero 1/5, no es un número
entero. En notación de conjuntos esto se puede escribir
como sigue:
Esto indica que todos los números naturales son también racionales. Esto es evidente
del hecho de que todos los números naturales pertenecen (es decir, son elementos) del
conjunto de los números enteros.
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Números irracionales
En notación de conjuntos esto lo
escribiremos de la siguiente manera:
y se lee: el conjunto de los números irracionales esta
formado por todos aquellos números que NO puedan
ser expresados como el cociente de dos números
enteros, y además, el denominador de ese cociente debe
ser distinto de cero.
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Números reales R
 R Todos los números
Dígitos
Son aquellos números que se componen de un solo numeral o símbolo.
Estos números van del 0 al 9
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Números reales
Es el conjunto que contiene a todos los números racionales y a todos los números
irracionales
R
Q
Q´
Z
N
A partir de este diagrama podemos fácilmente darnos cuenta que todos los números naturales
pertenecen al conjunto de los números enteros, es decir, todos los números naturales son también
números enteros.
Pero todos los números enteros son también números racionales, por lo tanto, todos los números
naturales también son números racionales.
Sin embargo, ningún número racional es un número irracional y viceversa. Esto nos indica que ningún
número natural pertenece al conjunto de los números irracionales. Esto mismo ocurre con los números
enteros.
Y es que si un número es racional no puede ser irracional.
Sin embargo, cuando juntamos a todos los números racionales con todos los números irracionales
obtenemos el conjunto de los números reales. Es decir, todos los números que enlistamos (naturales,
enteros, racionales e irracionales) son también números reales.
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Ejercicios
Indica si las siguientes afirmaciones son falsas o verdaderas
F
F
V
V
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Indica en a qué conjunto debe pertenecer el número que utilizaremos en cada caso.
Evidentemente, todos pertenecen al conjunto de los números reales, así que mejor
menciona otro de los conjuntos.
Volumen en mililitros de un vaso
Área de un círculo de radio 1.
Q
Q´
Peso de una bolsa de frijol con una precisión de gramos
NoQ
Número total de refrescos embotellados en un día en una embotelladora
Número total de hojas impresas en una fotocopiadora
N
N
Saldo de una cuenta bancaria, con una precisión de hasta centavos de peso
Saldo de una cuenta bancaria, con precisión de miles de pesos
Velocidad de un coche
Q
Z
Q
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