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CIRCUNFERENCIA TEORÍA PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Flecha o sagita Q Cuerda PQ Recta secante P Radio A B Centro Arco BQ Diámetro ( AB ) T Punto de tangencia Recta tangente PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-Radio trazado al punto de tangencia perpendicular a la recta tangente. RL es 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P Q R PQ PM MQ 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. A C B D Si : AB // CD mAC mBD 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A C Cuerdas congruentes Arcos congruentes B Las cuerdas equidistan del centro D Si : AB CD mAB mCD PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A R R B AP = PB P 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes A B R r r R D C AB = CD TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. Inradio b a Circunradio r R a + b = c + 2r c R a + b = 2(R+r) TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. b Cuadrilátero circunscrito c a d a + c = b + d 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone. A r C r B = mAB 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos D A C B mAB mCD 2 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto. A B C mAB 2 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto. A C B mAB 2 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC. A C B mABC 2 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. A mACB - mAB 2 C B O + mAB = 180° b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos. B C D A mAB - mCD 2 O c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. B C A mAB - mBC 2 O Problema Nº 01 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x mQRS mPQS 2 Se traza la cuerda SQ Q 70º+x 50° 2X P Reemplazando: mPQS 140º 2x 70º x 2 En el triángulo PQS: R X S X + (X+70) + 50° = 180° Resolviendo la ecuación: 140° X = 30° Problema Nº 02 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR. RESOLUCIÓN PSQ = x En el triángulo rectángulo RHS m S = 70º Por ángulo inscrito Q mQR 70º 2 S 70° 140° 20° R X mQR = 140° Es propiedad, que: P 140° + X = 180° Resolviendo: X = 40° Problema Nº 03 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. RESOLUCIÓN Medida del ángulo interior APD = x A 130 mBC 90 2 B 130° 50° D C mBC = 50° Medida del ángulo exterior x P 130 50 X 2 Resolviendo: X = 40° Problema Nº 04 En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x N Dato: OM(radio) = PM 54° A Luego triángulo PMO es isósceles M o x x B Ángulo central igual al arco x P Medida del ángulo exterior 54 X X 2 Resolviendo: X = 18° Problema Nº 05 En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la mPRQ. RESOLUCIÓN B PRQ = x Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 70° + mPQ = 180° 70° 110° Medida del ángulo inscrito: Q P 110 X 2 x A R mPQ = 110° C Resolviendo: X = 55° Problema Nº 06 Calcule la medida del ángulo “X”. A 70° X B P Resolución RESOLUCIÓN C A 70° 140º X P B Medida del ángulo inscrito: 70º mAB 2 mAB=140º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x” A 130º B X Resolución P A 260º 130º RESOLUCIÓN X C P B Medida del ángulo inscrito: 130º mAB 2 En la circunferencia: 260º + mACB = 360º mAB = 260º mACB = 100º Por la propiedad del ángulo exterior mACB + x = 100º formado por dos tangentes: X = 80º Problema Nº 08 Calcule el perímetro del triángulo ABC. B 2 A C 5 5 Resolución RESOLUCIÓN B a 2 b A 5 5 C Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10 (1) (2) (2p) = 24 Problema Nº 09 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR . PLANTEAMIENTO Q a 80º X P R S a Resolución RESOLUCIÓN Q a 80º P X R En la circunferencia: S a 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: a 80º 140º 80º X 2 2 X = 30º Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Q PLANTEAMIENTO 3 R P 2 Resolución S Q RESOLUCIÓN Dato: a b 3 a + b + c + d = 22cm R P 2 d Teorema de Poncelet: PQR a + b = PR+2(3) PSR c + d = PR+2(2) c S + a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10 PR = 6cm
