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Problema Nº 01
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
RESOLUCIÓN
Por ángulo semi-inscrito PQS
PSQ = x
mQRS
mPQS 
2
Se traza la cuerda SQ
Q
70º+x
50°
2X
P
Reemplazando:
mPQS 
140º 2x
 70º  x
2
En el triángulo PQS:
R
X
X + (X+70) + 50° = 180°
Resolviendo la ecuación:
S
140°
X = 30°
Problema Nº 02
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.
RESOLUCIÓN
PSQ = x
En el triángulo rectángulo RHS
m  S = 70º
Por ángulo inscrito
Q
mQR
70º 
2
S
70°
140°
20°
R
X
mQR = 140°
Es propiedad, que:
P
140° + X = 180°
Resolviendo:
X = 40°
Problema Nº 03
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
RESOLUCIÓN
Medida del ángulo interior
APD = x
A
130  mBC
 90
2
B
130°
50°
D
C
mBC = 50°
Medida del ángulo exterior
x
P
130  50
x
2
Resolviendo:
X = 40°
Problema Nº 04
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo
secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al
radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN.
RESOLUCIÓN
Se traza el radio OM:
APN = x
N
Dato: OM(radio) = PM
54°
A
Luego triángulo PMO es isósceles
M
o
x
x
B
Ángulo central igual al arco
x
P Medida del ángulo exterior
54  X
X
2
Resolviendo:
X = 18°
Problema Nº 05
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,
“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide
70º. Calcule la mPRQ.
RESOLUCIÓN
B
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
70° + mPQ = 180°
70°
110°
Medida del ángulo inscrito:
Q
P
110
X
2
x
A
R
mPQ = 110°
C
Resolviendo:
X = 55°
Problema Nº 06
Calcule la medida del ángulo “X”.
A
70°
X
B
P
Resolución
RESOLUCIÓN
C
A
70°
140º
X
P
B
Medida del ángulo inscrito: 70º 
mAB
2
mAB=140º
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
140º + x = 180º
Resolviendo:
X = 40º
Problema Nº 07
Calcular la medida del ángulo “x”
A
130º
B
X
Resolución
P
A
260º
130º
RESOLUCIÓN
X
C
P
B
mAB
Medida del ángulo inscrito: 70º 
2
mAB = 260º
En la circunferencia: 260º + mACB = 360º
mACB = 100º
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
mACB + x = 100º
X = 80º
Problema Nº 08
Calcule el perímetro del triángulo ABC.
B
2
A
C
5
5
Resolución
RESOLUCIÓN
B
a
2
b
A
5
5
C
Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
a + b = 14
Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
Reemplazando (1) en (2)
(2p) = 14 + 10
(1)
(2)
(2p) = 24
Problema Nº 09
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia
se trazan la tangente PQ y la secante PRS de
modo que los arcos SQ y SR sean congruentes.
Si el arco QR mide 80º, calcular mQPR .
PLANTEAMIENTO
Q
a
80º
X
P
R
S
a
Resolución
RESOLUCIÓN
Q
a
80º
P
X
R
En la circunferencia:
S
a
2a + 80º = 360º
a = 140º
Medida del ángulo exterior:
a  80º 140º 80º
X

2
2
X = 30º
Problema Nº 10
En un cuadrilátero ABCD mQ = mS = 90º se traza
la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y
PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el
perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la
longitud de PR
Q
PLANTEAMIENTO
3
R
P
2
Resolución
S
Q
RESOLUCIÓN
Dato:
a
b
3
a + b + c + d = 22cm
R
P
2
d
Teorema de Poncelet:
PQR  a + b = PR+2(3)
PSR  c + d = PR+2(2)
c
S
+
a +b + c + d = 2PR + 10
22 = 2PR + 10
PR = 6cm