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II Unidad: Lenguaje Algebraico Por Paloma Guzmán Término Algebraico Es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Ejemplo: 3b² Para escribir una Término algebraica debes tener en cuenta que el signo “●” puedes suprimirlo: 3 · b² 3b² También que no se suelen escribir ni el factor 1 ni el exponente 1. 1c³ c³ 8g¹ 8g • Término Algebraico Grado Este consta de tres partes: Coeficiente Numérico 3a² 3 -3a² -3 Factor Literal 3ab ab Se determina sumando los exponentes del factor literal. -3ab a³b⁴c ab 3+4+1=8 El grado es 8 Completar la Tabla Término Algebraico Coeficiente numérico Factor literal Grado ab 1 ab 2 x -1 x 1 2x 2 y 5 3 2 3 2x 2 y 5 3 7 Clasificación de Expresiones Algebraicas Monomio • Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural. 5x 2 Binomio • Termino algebraico basado en dos factores numéricos de la forma: x+y. 3x 4 y 3 5 Trinomio • Termino algebraico que tiene tres términos no semejantes de la forma: x+y+z x 3x 5 2 Polinomio • Un polinomio es una expresión algebraica, con mas de tres términos, que se obtiene al expresar cualquier suma de términos no semejantes de la forma: x+y+z+w 2x 2x 4x 1 3 2 Grado de un polinomio • Se calcula el grado de cada término de la expresión y el mayor de ellos es el grado del polinomio. 4xy z ab 8x 3 4xy³z= 1+3+1=5 ab²= 1+2=3 8x⁴= 4 2 Grado 5 4 Completar la tabla Expresión algebraica a ab Clasificación 5 5x 2xyz 4x 3 7xyz 2 Grado Binomio 6 Trinomio 3 Monomio 3 Reducción de términos semejantes Reducir términos semejantes: • Consiste es sumar o restar los coeficientes numéricos que tienen el mismo factor literal 2a 3a a 4a 7 x 3x 2x 8x En este caso también se tomaron los términos semejantes: a con a, b con b 2a 5b 3a 8b a 13b Recuerda tener cuidado con: a 2a 5a a 3a 3 2 2 3 2 Se tomaron los términos que además del factor literal tenían el grado en común. (los a² con los a² y los a ³ con los a ³ Realizar los siguientes ejercicios: Ejercicio Resultado 2a 7a 4a 7 a 2 5a 2 3a 2 5 y 3x 2 y 3x 7y 13b 2 8b 2 4b 2 2a 5b 2a 7b 2 3 x 2b 4b 4 4 4 5a 2 a 4 17b 2 4 12b 2 3x 2b Eliminación de Paréntesis Signo negativo al comenzar el paréntesis • Si hay un signo negativo al comenzar el paréntesis, pero afuera de él todo lo que esta dentro del paréntesis se multiplica por un 1 negativo (-1) y esto cambiaria todos los signos de los números que esta dentro del paréntesis. x (2 x 3 y x) x ( x 3 y) x x 3y 3y Signo positivo al comenzar el paréntesis • Cuando hay un signo positivo delante del paréntesis, todo lo que esta dentro del paréntesis se multiplica por un uno positivo (+1), esto no afecta a los números que estén dentro de él. a (a b) (b a) aabba a 2b Resolvamos los siguientes ejercicios: Ejercicio (-5m 6) (-m 5) - 6 x - (x - y) Resultado 6m 5 y 4m - (2m n - 3) (-4n - 2m 1) 5n 4 (-x y) - 4x 2y (-x - y - x y) 3y 7x Hagamos un recordatorio: • Como se ve aquí se va realizando la operación de adentro hacia fuera tomando como prioridad las operaciones del interior de cada signo matemático. a [b {2a b}] a [b 2a b] a [ 2b 2a ] a 2b 2a 2b a Realicemos un poco más de ejercicios: Ejercicios Resultados 2a 3b a a 3b 5x y x 2x 2 y 4x 2 y 6a 5 a 3 (2a 3) x 2 y 2x 3 y (3x y) y 5x 5a 5 11x 2 y Objetivos Traducir al lenguaje algebraico relaciones cuantitativas en las que utilizan letras como incógnita. Utilizar letras para representar números. Evalúan expresiones algebraicas. Lenguaje Algebraico Frase La suma de 2 y un número 3 más que un número La diferencia entre un número y 5 Expresión algebraica 2 + d (la "d" representa la cantidad desconocida) x+ 3 a -5 4 menos que n 4- n Un número disminuido en 10 z - 10 Dos veces la suma de dos números 2 ( a + b) Cinco veces un número 5x Un número aumentado en 1 El producto de dos números Dos veces un número sumado a otro k+1 a •b 2a + b Ene veces (desconocida) un número conocido n multiplicado por el número conocido El cociente de dos números a b La suma de dos números x+ y 10 más que n n + 10 Un número aumentado en 3 a+3 Un número disminuido en 2 a –2 El producto de p y q p•q Uno restado a un número n–1 El antecesor de un número cualquiera x– 1 El sucesor de un número cualquiera x+1 3 veces la diferencia de dos números 3(a – b) 10 más que 3 veces un número 10 + 3b La diferencia de dos números a –b La suma de 24 y 19 24 + 19 = 43 19 más que 33 33 + 19 = 52 Dos veces la diferencia de 9 y 4 2(9 – 4) = 18 – 8 = 10 El producto de 6 y 16 6 • 16 = 96 3 veces la diferencia de 27 y 21 3(27 – 21) = 81 – 63 = 18 La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado 92 – 42 = 81 – 16 = 65 El cociente de 3 al cubo y 9 33 / 9 = 27 / 9 = 3 12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12 122 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1,5 Ejercicios : • ACTIVIDAD Valorización de Expresiones Algebraicas Cuando se le asigna un valor numérico o literal a cada variable de una expresión algebraica y se resuelven las operaciones indicadas en la expresión, para obtener un resultado o un valor final, se está valorizando una expresión algebraica. Calculemos el valor numérico de la expresión algebraica 5 a2 __ b 3, considerando que: a = b = __ 2 1 Como se hace 2) Si x = 4, y = -2 y z = 5, determinar el valor de: a) 2x + y + z b) x y x z c) x2 – 1 d) 1 1 x y e) x 2 y 4 z 5 Pasos: Reemplazar cada variable, en este caso las letras a y b, por el valor numérico asignado, __ 2 y 1 respectivamente, en la expresión algebraica. 5 a2 __ 5 · (__ 2)2 b3 __ (1)3 Resolver las potencias 5·4 __ 1 Realizar las multiplicaciones y/o divisiones, siempre de izquierda a derecha 20 __ 1 Realizar las sumas y/o restas, siempre de izquierda a derecha. 20 + __ 1 19 Recuerda que cuando se anota 2a, significa que hay una operación de multiplicación entre ellos, es decir, 2 a = 2 · a Otro ejemplo: a = 1; b = 3; c =4 Reemplazamos los valores en la expresión algebraica: = Para sumar y restar estas fracciones se debe encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m.); en este caso el m.c.m. es 12. A continuación se reemplaza este número en el denominador de cada fracción y se amplifica el numerador por e número correspondiente de acuerdo al número de veces que esté contenido. m.c.m : 12 Ejercicios: • Guía Ecuaciones Objetivos: • Entender la importancia que tienen las ecuaciones • Conocer la historia de las ecuaciones y su evolución en el tiempo. • • Resolver ecuaciones lineales con coeficientes enteros Ecuaciones de una sola variable: Segundo miembro Primer miembros Resolver una ecuación: • Significa encontrar el valor de la incógnita para que la igualdad sea verdadera. • Para resolver una ecuación debemos tener presente las siguientes propiedades de la igualdad. 1. Al sumar o restar la misma cantidad de ambos miembros de una igualdad, la igualdad persiste (inverso aditivo). 2. Al multiplicar o dividir por una misma cantidad distinta de cero en ambos miembros de la igualdad, la incógnita persiste (inverso multiplicativo). Ejemplo Ejemplo 2: 2 x 3 x 3 2 x 8 /se reducen te rminos semejantes 5 x 3 2 x 8 /inv erso aditivo de (3) el cual es (3) 5 x 3 3 2 x 8 3 /se reducen te rminos 5 x 2 x 11 /inverso aditivo de (-2x) el cual es (2x) 5 x 2 x 2 x 2 x 11 / se reducen te rminos semejantes 7 x 11 1 /i nverso multiplica tivo de 7, el cual es 7 1 1 11 7 7 7 x 11 7 7 11 x 7 7x /s e reduce la expresión /simp lifica el numerador con el denominado r Ejercicios Pínchame Ecuaciones lineales con coeficientes racionales Objetivos: • Conocer ecuaciones lineales con coeficiente racional y su resolución. Ecuaciones en Q • Para resolver una ecuación en el conjunto de los Números Racionales (Q) debes tener presente que los números que se usarán serán fracciones positivas o negativas o bien números decimales. También pueden participar Números Enteros que, tal como saben, se pueden transformar en fracciones simplemente dividiéndolas por 1, es decir: 3 3 1 • La idea de resolver una ecuación, tal como se ha dicho en las clases anteriores, es encontrar el valor de la incógnita “x” para que la igualdad sea verdadera. Deben tener presente que si los denominadores son diferentes deben igualarse, tal como se hace cuando se suman o restan fracciones, sacando el Mínimo Común Múltiplo. • Ejemplo: 3 5 8 x 4 2 3 3 3 x 12 5 6 8 4 4 3 1 12 26 3 4 9 12 x 30 32 12 12 12 12 9 12 x 30 32 12 12 32 9 12 x 30 12 12 12 12 9 12 x 30 32 MCM. 12 / 12 / 9 12 x 30 32 9 / 30 12 x 32 9 30 / : 12 12 x 71 12 12 71 x 12 Trabajo en Clases • Realiza la pagina 112 de tu libro y resuelve los ejercicios: 3y 4 3y 4