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Álgebra y funciones
1.
Polinomios
2.
Identidades notables
3.
Resolución de ecuaciones de primer grado
4.
Ecuaciones de segundo grado
5.
Soluciones de una ecuación de segundo grado. Problemas
6.
Sistemas de ecuaciones
7.
Sucesiones
8.
Progresiones aritméticas y geométricas
9.
Funciones
10. Funciones afines
11. Funciones cuadráticas
12. Tasa de variación media
Índice del libro
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Álgebra y funciones
1. Polinomios
SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Basta con sumar o restar los monomios que sean semejantes, es decir,
que tengan la misma parte literal.
EJEMPLO
Restar
( 5x 2  2x  1 )  ( 3x 2  x  5)
( 5x 2  2x  1 )  ( 3x 2  x  5 )
5x 2  2x  1  3x 2  x  5 )
2x 2  3x  6
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Álgebra y funciones
1. Polinomios
PRODUCTO DE POLINOMIOS
Hay que multiplicar cada monomio del primer polinomio
por todos los monomios del segundo
y luego agrupar todos los términos semejantes.
EJEMPLO
Multiplicar
( 2x  5)  ( 3x 2  x  2)
( 2x  5 )  ( 3x 2  x  2 )
3x 2 x 2
x2x 5
 15x 2 5x  10
6x 3 2x 2  4x
6x 3  13x 2  9x  10
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Álgebra y funciones
1. Polinomios
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Para realizar la división de polinomios utilizaremos la «caja de división»:
primero se colocan los polinomios en orden decreciente según sus grados
y a continuación operamos de la misma manera que si de números se tratase.
EJEMPLO
Dividir
( 4x 4  2x 3  5x 2  3x  1 ) : ( x  1)
4x 4  2x 3  5x 2  3x  1 x  1
4x 4  4x 3 4 x 3  2 x 2  7 x 4
2x 3  5x 2  3x 1
2x 3  2x 2 
7x 2  3x 1
 7x 2  7x
4x 1
4x4
5
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1. Polinomios
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Cuando todos los términos de un polinomio comparten un factor común
podemos expresar dicho polinomio como un producto entre esa parte común
y la suma del resto de los factores.
EJEMPLO
Factorizar
2x 3  5x 2  x
Sacamos factor común
2x 3  5x 2  x
x  ( 2x 2  5x  1 )
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2. Identidades notables
IDENTIDADES NOTABLES
Cuadrado de una suma
(a  b)2  a2  2ab  b2
Cuadrado de una resta
(a  b)2  a2  2ab  b2
Suma por diferencia
(a  b)  (a  b)  a2  b2
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3. Resolución de ecuaciones de primer grado
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Resolver una ecuación es encontrar el valor o valores que,
puestos en el lugar de la incógnita, cumplen lo que expresa la ecuación.
Vamos a aprender a resolver ecuaciones de primer grado,
que tienen un único número como solución.
El método que vamos a usar para resolver ecuaciones es conseguir pasar
de una ecuación complicada a una ecuación equivalente más sencilla.
Para ello utilizaremos las siguientes propiedades:
Regla de la suma
Regla del producto
Si sumamos o restamos
una misma cantidad
a los dos miembros de una ecuación,
obtenemos una ecuación equivalente.
Si multiplicamos o dividimos
ambos miembros de una ecuación
por un mismo número,
obtenemos una ecuación equivalente.
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3. Resolución de ecuaciones de primer grado
PASOS A SEGUIR PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
1.º
Eliminar los paréntesis en ambos miembros y agrupar
términos.
2.º
Eliminar denominadores.
3.º
Agrupar los términos con incógnita a un lado de la ecuación
y los términos sin incógnita al otro.
4.º
Despejar la incógnita dividiendo por el número adecuado.
Al terminar, asegúrate de que no te has equivocado sustituyendo
la solución en la ecuación y comprobando que se cumple la igualdad.
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4. Ecuaciones de segundo grado
ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Grado de una ecuación: mayor número al que aparece elevada la incógnita.
Para resolver una ecuación de segundo grado, lo primero que debemos
conseguir es que tenga la siguiente forma:
ax 2  bx  c  0
a, b y c son números reales
La solución de esta ecuación es:
b  b 2  4  a  c
x
2a
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5. Soluciones de una ecuación de segundo grado. Problemas
SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Ecuaciónax  bx  c  0
2
Discriminante positivo
Discriminante nulo
b  b 2  4  a  c
Soluciónx 
2a
  b2  4  a  c  0
Dos soluciones
  b2  4  a  c  0
Una solución
  b2  4  a  c  0
Discriminante negativo
No existe la raíz cuadrada
La ecuación no tiene solución
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6. Sistemas de ecuaciones
SISTEMAS DE ECUACIONES
Dos ecuaciones en las que aparecen las mismas incógnitas se denominan
sistema de ecuaciones.
Si las ecuaciones que forman el sistema son de primer grado, decimos que es
un sistema de ecuaciones lineales.
Métodos analíticos
Se basan en obtener, mediante transformaciones algebraicas,
una única ecuación para una de las dos incógnitas.
Reducción
Sustitución
Igualación
Método gráfico
Consiste en representar ambas ecuaciones en un mismo sistema de
coordenadas.
Por ser ecuaciones de primer grado, su representación será una línea recta.
La solución al sistema vendrá dada por el punto de corte de ambas rectas.
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7. Sucesiones
SUCESIONES
Una sucesión es un conjunto ordenado de números, cada uno de los cuales
recibe el nombre de término. De forma general, escribimos una sucesión como:
a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,
,an , an  término n-ésimo o término general
Para definir una sucesión se pueden utilizar varios métodos:
Descripción de términos
Ley de recurrencia
Término general
Determinamos una
sucesión mediante una
propiedad que define sus
términos y los listamos.
Construimos cada
término en relación a los
anteriores. Partimos de
un término inicial.
Expresión que relaciona
el valor de cada término
con la posición que
ocupa.
EJEMPLO
EJEMPLO
EJEMPLO
Números naturales pares
2, 4, 6, 8, 10, ...
a1  3
an  2an1
an  n2  1
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8. Progresiones aritméticas y geométricas
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término
se obtiene sumando al anterior un número fijo.
Este número fijo recibe el nombre de diferencia, d
a1  a1
a2  a1  d
a3  a2  d  a1  d  d  a1  2  d
a4  a3  d  a1  2d  d  a1  3  d
an  a1  (n  1 )  d
a1 = primer término
d = diferencia
an = término general
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8. Progresiones aritméticas y geométricas
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término
se obtiene multiplicando el anterior un número fijo.
Este número fijo recibe el nombre de razón, r
a1  a1
a2  a1 r
a3  a2 r  a1 rr  a1 r 2
a4  a3 r  a1 r 2 r  a1 r 3
an  an1 r  a1 r n2 r  a1 r n1
a1 = primer término
r = razón
an = término general
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9. Funciones
FUNCIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Una función es una relación entre dos variables que asigna a cada valor de
una de estas variables un único valor de la otra.
En una representación gráfica de ejes perpendiculares cada punto viene dado
por sus coordenadas.
Ordenadas
Variable dependiente
A( 2 ,4 )
Abscisas
Variable independiente
B( 3 ,2)
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9. Funciones
ALGUNAS FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCIÓN
Enunciado
«El coste de las llamadas es de 20 céntimos el minuto»
Tabla
Fórmula
C = 20∙t
EJEMPLO
C
(céntimos)
Gráfica
t (minutos)
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9. Funciones
ALGUNAS CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES
Dominio
Conjunto de valores que puede adoptar la variable independiente
Crecimiento y decrecimiento
Creciente/Decreciente: la variable dependiente aumenta/disminuye al
aumentar la variable independiente.
Puntos de corte
Puntos en los que la función corta los ejes de coordenadas
Temperatura (°C)
EJEMPLO
Temperatura
en día de invierno
Hora
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10. Funciones afines
FUNCIÓN AFÍN
 La representación gráfica de una función afín es una recta.
 Tiene una expresión algebraica de la forma:
y = m∙x + n
 A m se le denomina pendiente y nos indica la inclinación de la recta.
 A n se le denomina ordenada en el origen y nos da el punto de corte de la
recta con el eje vertical.
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10. Funciones afines
FUNCIÓN LINEAL
Es una línea recta que pasa por el origen
y = m∙x
EJEMPLO
y = m∙x
m=1
y=x
yx
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11. Funciones cuadráticas
FUNCIÓN CUADRÁTICA
 Su forma general es
y = a x2 + b x + c
 Su representación gráfica es una curva que recibe el nombre de parábola.
 Vértice de la parábola
b
b2  4ac 

 
  2a ,
4

a


 Puntos de corte con el eje x, horizontal, y = 0
y = a x2 + b x + c = 0
 Puntos de corte con el eje y, vertical,
y=c
x=0
Punto (0,c)
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12. Tasa de variación media
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
Para estudiar el crecimiento de una función en una determinada región
utilizamos la tasa de variación media, TVM
Se calcula siempre en un intervalo del dominio de la función, que viene
determinado por dos puntos del eje horizontal.
y2  y1
TVM[ x1 ,x2 ] 
x2  x1