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Producto Escalar
Vectores
CAPÍTULO 8 GEOMETRÍA VECTORIAL. VECTORES, PRODUCTO
ESCALAR, PRODUCTO VECTORIAL. RECTAS Y PLANOS
Lección 8.2.
2
3
Representación de las operaciones en R y R . Dirección de los vectores
Definición 1: La dirección de un vector u = ( a, b ) es el ángulo medido en radianes que
forma el vector con el eje positivo de las x
El ángulo se puede medir haciendo tan θ = ba ; pero es importante localizar el vector puesto que
−1
θ = tan ba da valores entre − π2 y π2 mientras que el ángulo buscado estará entre 0 y 2π
Ejemplo 1: Encontrar la dirección del vector ( −
tan θ = −
1
3
= −
π
6
3, 1 )
; sinembargo el vector está en el segundo cuadrante; por lo
tanto el ángulo θ será de π −
π
6
=
5π
6
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO POR ESCALAR.
La multiplicación de un vector por un escalar ku
Ver la animación.
Ver la animación.
Ver la animación.
Si k > 0 el vector conserva su dirección; si k < 0 el vector obtenido tiene la dirección contraria.
ku
=
k( a, b )
=
( ka, kb )
=
2
2 2
k a2 + k b
=
k
a2 + b
2
= k
u
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REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA Y LA RESTA DE VECTORES.
Para vectores posición la suma u + v es el vector representado por la diagonal principal del
paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores u y v . La resta u − v o v − u es el
vector representado por la otra diagonal ( al hacer v − u el punto final del vector es v y el inicial u,
por eso la flecha, si fuera u − v el punto final sería el de u y el vector tendría la dirección opuesta )
Ver la animación.
Ver la animación.
Definición 2 : Sean α , β, γ los ángulos que forma el vector u = ( a, b, c ) con los ejes
positivos x, y, z respectivamente.Estos son los ángulos directores del vector u.
a
b
c
Como cos α =
cos β =
cos γ =
2
2
a2 + b + c 2
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ =
2
a 2 + b + c2
2
a 2 + b + c2
2
a 2 + b + c2
a 2 + b + c2
= 1; cos α , cos β, cos γ son los cosenos directores.
Ejemplo 2: Encontrar el vector de magnitud 3 cuyos ángulos directores son π4 , π3 ,
cos ( ) =
con lo que
( )=
cos ( ) + cos ( ) + cos ( ) = +
π
4
cos
2
el vector
π
3
2
2
π
4
(
2
2
2
, 12 ,
1
2
1
2
π
3
)
2
π
3
1
2
1
4
+
(
2
2
Ejemplo 3: Encontrar el vector cuyos àngulos directores sean π6 ,
vector
( ) + cos ( ) + cos ( ) =
π
6
1
4
= 1
es un vector unitario con la dirección descrita.Como se quiere
que el vector tenga magnitud 3 el vector será 3
Como cos 2
π
3
2
4π
3
2
π
4
, 12 ,
1
2
)
4π π
,
3 4
3
4
+
1
4
+
1
2
≠ 1 no existe ningún
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que tenga esa dirección.
3
2
Respecto a la suma y resta de vectores en R los vectores resultantes son igual que para R la
diagonal
principal del paralelogramo para la suma y la otra diagonal con las mismas observaciones para la
resta
Producto Escalar
Vectores