Download punto lados -aplica -"2 3"

Geometría de
Proporción
Prof. Isaías Correa M.
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar triángulos congruentes y semejantes.
• Resolver ejercicios que involucren congruencia y
semejanza de triángulos.
• Resolver ejercicios que involucren equivalencia de
figuras.
• Resolver ejercicios que involucren segmentos
divididos interior y exteriormente, armónicamente
o en sección áurea.
Contenidos
1. Figuras congruentes
1.1 Definición
1.2 Triángulos Congruentes
2. Figuras Equivalentes
3. Figuras semejantes
3.1 Definición
3.2 Triángulos Semejantes
3.3 Elementos homólogos
3.4 Razón entre áreas y perímetros
3.5 Postulados de semejanza
4. División de un segmento
4.1 División Interior
4.2 División Exterior
4.3 División Armónica
4.4 Sección áurea o Divina
1. Figuras congruentes (
1.1 Definición
)
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma
forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al
colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su
extensión.
Ejemplos:
1.2 Triángulos congruentes
Para determinar si dos triángulos son congruentes,
existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1° Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados
correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
C
F
8
6
A
10
8
6
B
D
10
E
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC
Δ DEF
2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
respectivamente congruentes y el ángulo comprendido
entre ellos congruente.
Ejemplo:
C
F
3
3
a
A
a
5
B
D
5
E
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC
Δ DEF
3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes y el lado comprendido entre
ellos congruente.
Ejemplo:
C
12
F
b
12
a
A
b
a
B
D
E
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC
Δ DEF
2. Figuras Equivalentes
Son aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√p , es “equivalente” al círculo de radio
2 de la figura:
Área = 4p
Área = 4p
3. Figuras semejantes (~)
3.1 Definición
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario
que se cumplan dos condiciones:
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
J
d
D
d
E e
g
b
a
A
C
F
B
e
g
b
a
I
H
G
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices
con ángulos congruentes.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como
también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
D 2
d
C
6
g
4
e
E
b
B
3 a
5
A
J
d
12
F
g
e
6
I
8
b
a
G
Además, están en razón 1:2.
4
10
H
3.2 Triángulos Semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos
correspondientes son congruentes, y sus lados
homólogos proporcionales.
Ejemplo:
F
C
3
b
a
A
b
9
4
g
5
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF
12
g
a
B
D
15
E
Los Lados homólogos están en
razón: 1:3 = k
AB = BC = AC = 1 = k
DE
EF
DF
3
Recuerda que al establecer una
semejanza, el orden no se debe alterar.
3.3 Elementos Homólogos
Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden
a los lados proporcionales.
Además, los elementos que cumplen la misma función en cada
triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales,
también son homólogos y proporcionales.
Ejemplo:
Q
C
4
A
3
5
10
6
B
R
AB = BC = CA = k
PQ QR RP

8
P
5 = 3 = 4 = 1=k
10
6
8
2
2,4
1
Además, hC =
=k
=
hR
4,8
2
Q
C
4
A
hC
5
3
10
6
hR
B
R
Recuerda: Teorema de Euclides
hC =
a·b
c
8
P
3.4 Razón entre Áreas y Perímetros
• La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes,
es igual a la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo:
Q
C
4
A
hC
5
3
10
6
hR
B
R
PABC
PPQR
=
12
24
=
1
2
8
=k
P
• La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es
igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.
Ejemplo:
C
4
A
Q
3
hC
10
6
B
5
hR
R
AB
PQ
AABC
APQR
=
8
5 = 1 =k
10
2
=
6
24
=
1
4
= k2
P
3.5 Postulados de semejanza
1° Postulado AA.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes.
F
C
Ejemplo:
o
55
34o
34o
55o
A
B
Δ ABC ~ Δ DFE por AA
Además
AB = BC = AC = k
DF
FE
DE
D
E
2° Postulado LLL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados
respectivamente proporcionales.
F
C
Ejemplo:
5
4
A
8
12
6
B
D
10
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
AB = BC = AC = 1 = k
FD
DE FE
2
Además BAC=DFE,
CBA=EDF y ACB=FED
E
3° Postulado LAL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido
entre ellos congruente.
F
C
Ejemplo:
4
57
12
5
A
B
57
D
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
AC = BC
ED
FD

4 = 5 = 1 =k
12
15
3
Además BAC=DFE y CBA=FED
15
E
4. División de un segmento
4.1 División interior
Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón
m:n, entonces:
AC = m
n
CB
A
C
B
Ejemplo:
Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5,
y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?
A
Q
B
Solución:
45
27
A
Q
AQ = 3 
QB
5
AQ = 3
45
5
Por lo tanto, AB mide 72
B
 AQ = 3∙45
5
 AQ = 27
4.2 División exterior
Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón
m:n, entonces:
AD = m
n
BD
A
B
D
Ejemplo:
Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón
5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?
20
A
B
D
Solución:
20
A
AD = 5
BD
2

12
B
20 = 5
BD
2
8
 BD =
D
20∙2
5
 BD = 8
4.3 División armónica
Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n,
implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.
Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:
AC = AD = m
n
CB
BD
A
C
B
D
Ejemplo:
Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2,
¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?
12
A
C
B
D
Solución:
12
x
12 - x
A
36
5
AC = 3 
CB
2
C
y
24 B 24 D
5
12- x = 3
2
x
 3x = 2(12 - x)
 3x = 24 - 2x
 5x = 24
 x = 24
5
AD = 3 
BD
2
12+y = 3  24 + 2y = 3y
2
y
 24 = y
4.4 Sección Áurea o Divina
El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”,
si el trazo mayor es media proporcional
geométrica entre el trazo completo y el menor.
A
Si AX > BX, entonces:
Ejemplo:
X
B
AB = AX
AX
BX
ó (AX)2 = AB∙BX
En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”,
con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la
medida de AP, si PB = 5?
5
A
P
B
Solución:
5
A
(AP)2 = AB∙PB
 (AP)2 = (AP + 5)∙5
 (AP)2 = 5∙AP + 25
 (AP)2 - 5∙AP - 25 = 0
P
B