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Geometría de Proporción
Recopilación: Ing. Juan Carlos Armas , MCP
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Identificar triángulos congruentes y semejantes.
• Resolver ejercicios que involucren congruencia y
semejanza de triángulos.
• Resolver ejercicios que involucren equivalencia de
figuras.
• Resolver ejercicios que involucren segmentos
divididos interior y exteriormente, armónicamente
o en sección áurea.
Contenidos
1. Figuras congruentes
1.1 Definición
1.2 Triángulos Congruentes
2. Figuras Equivalentes
3. Figuras semejantes
3.1 Definición
3.2 Triángulos Semejantes
3.3 Elementos homólogos
3.4 Razón entre áreas y perímetros
3.5 Postulados de semejanza
4. División de un segmento
4.1 División Interior
4.2 División Exterior
4.3 División Armónica
4.4 Sección áurea o Divina
1. Figuras congruentes (
1.1 Definición
)
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma
forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al
colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su
extensión.
Ejemplos:
1.2 Triángulos congruentes
Para determinar si dos triángulos son congruentes,
existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1° Lado, lado, lado (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados
correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
C
F
8
6
A
10
8
6
B
D
10
E
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC
Δ DEF
2° Lado, ángulo, lado (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
respectivamente congruentes y el ángulo comprendido
entre ellos congruente.
Ejemplo:
C
F
3
3
a
A
a
5
B
D
5
E
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC
Δ DEF
3° Ángulo, lado, ángulo (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes y el lado comprendido entre
ellos congruente.
Ejemplo:
C
12
F
b
12
a
A
b
a
B
D
E
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC
Δ DEF
2. Figuras Equivalentes
Son aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√p , es “equivalente” al círculo de radio
2 de la figura:
Área = 4p
Área = 4p
3. Figuras semejantes (~)
3.1 Definición
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario
que se cumplan dos condiciones:
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
J
d
D
d
E e
g
b
a
A
C
F
B
e
g
b
a
I
H
G
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices
con ángulos congruentes.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como
también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
D 2
d
C
6
g
4
e
E
b
B
3 a
5
A
J
d
12
F
g
e
6
I
8
b
a
G
Además, están en razón 1:2.
4
10
H
3.2 Triángulos Semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos
correspondientes son congruentes, y sus lados
homólogos proporcionales.
Ejemplo:
F
C
3
b
a
A
b
9
4
g
5
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF
12
g
a
B
D
15
E
Los Lados homólogos están en
razón: 1:3 = k
AB = BC = AC = 1 = k
DE
EF
DF
3
Recuerda que al establecer una
semejanza, el orden no se debe alterar.
3.3 Elementos Homólogos
Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden
a aquellos lados que son respectivamente proporcionales.
Además, también los elementos que cumplen la misma función
en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales,
bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales).
Ejemplo:
Q
C
4
A
3
5
10
6
B
R
AB = BC = CA = k
PQ QR RP

8
P
5 = 3 = 4 = 1=k
10
6
8
2
2,4
1
Además, hC =
=k
=
hR
4,8
2
Q
C
4
A
hC
5
3
10
6
hR
B
R
Recuerda: Teorema de Euclides
hC =
a·b
c
8
P
3.4 Razón entre Áreas y Perímetros
• Entre los Perímetros: La razón entre los perímetros de dos
triángulos semejantes,
es igual a la razón entre sus
elementos homólogos.
Ejemplo:
Q
C
4
A
hC
5
3
10
6
hR
B
R
PABC
PPQR
=
12
24
=
1
2
8
=k
P
• Entre las Áreas: La razón entre las áreas de dos triángulos
semejantes, es
igual al cuadrado de la razón entre sus
elementos homólogos.
Ejemplo:
C
4
A
Q
3
hC
10
6
B
5
hR
R
AB
PQ
AABC
APQR
=
8
5 = 1 =k
10
2
=
6
24
=
1
4
= k2
P
3.5 Postulados de semejanza
1° Postulado AA.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes.
F
C
Ejemplo:
o
55
34o
34o
55o
A
B
Δ ABC ~ Δ DFE por AA
Además
AB = BC = AC = k
DF
FE
DE
D
E
2° Postulado LLL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados
respectivamente proporcionales.
F
C
Ejemplo:
5
4
A
8
12
6
B
D
10
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
AB = BC = AC = 1 = k
FD
DE FE
2
Además BAC=DFE,
CBA=EDF y ACB=FED
E
3° Postulado LAL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido
entre ellos congruente.
F
C
Ejemplo:
4
57°
12
5
A
B
57°
D
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
AC = BC
ED
FD

4 = 5 = 1 =k
12
15
3
Además BAC=DFE y CBA=FED
15
E
Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
R
C
g
b
4
a
10
g
A
b
a
B
P
6
Q
Solución:
Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene
que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:
AB = CB = AC = k
PR
QR PQ
Es decir:
Con k razón de semejanza
AB = 10 = 4  10 = 4  60 = 4∙QR  15 = QR
PR
QR 6
QR
6
4º Postulado: LLA>
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales, y
el ángulo opuesto al mayor de esos lados, congruente.
F
Ejemplo:
C
8
A
16
14
B
D
Δ ABC ~ Δ DEF por LLA>
Razón de semejanza: 1 : 2
28
E
4. División de un segmento
4.1 División interior
Si el punto C divide “interiormente” al segmento AB en razón
m:n, entonces:
AC = m
n
CB
A
C
B
Ejemplo:
Si Q divide “interiormente” al segmento AB en la razón 3:5,
y QB= 45, entonces, ¿cuánto mide AB?
A
Q
B
Solución:
45
27
A
Q
AQ = 3 
QB
5
AQ = 3
45
5
Por lo tanto, AB mide 72
B
 AQ = 3∙45
5
 AQ = 27
4.2 División exterior
Si el punto D divide “exteriormente” al segmento AB en razón
m:n, entonces:
AD = m
n
BD
A
B
D
Ejemplo:
Si D divide “exteriormente” al segmento AB en la razón
5:2, y AD = 20, entonces, ¿cuánto mide BD?
20
A
B
D
Solución:
20
A
AD = 5
BD
2

12
B
20 = 5
BD
2
8
 BD =
D
20∙2
5
 BD = 8
4.3 División armónica
Dividir el segmento AB “armónicamente” en razón m:n,
implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón.
Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:
AC = AD = m
n
CB
BD
A
C
B
D
Ejemplo:
Al dividir “armónicamente” el segmento AB en la razón 3:2,
¿cuánto mide BD y CB, si AB = 12?
12
A
C
B
D
4.4 Sección Áurea o Divina
El punto X divide el trazo AB en “sección áurea”, si el trazo mayor es
media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor.
X
A
Si AX > BX, entonces:
B
AB = AX
AX
BX
ó (AX)2 = AB∙BX
OBS: En una sección Áurea, siempre está involucrado el “número de oro”: Φ
Ejemplo:
En la figura, P divide al segmento AB en “sección áurea”,
con AP > PB. ¿Cuál es la ecuación que permite calcular la
medida de AP, si PB = 5?
5
A
P
B
Solución:
5
A
(AP)2 = AB∙PB
 (AP)2 = (AP + 5)∙5
 (AP)2 = 5∙AP + 25
 (AP)2 - 5∙AP - 25 = 0
P
B
Geometría de Proporción
II
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Conocer el teorema de Apolonio.
• Conocer las diferentes presentaciones del
teorema de Thales y Euclides.
• Aplicar los teoremas de Thales y Euclides en
la resolución de ejercicios.
Contenidos
Segmentos proporcionales
1. Teorema de Apolonio
2. Teorema de Euclides
3. Teorema de Thales
Segmentos proporcionales
1. Teorema de Apolonio (de la bisectriz)
En el triángulo de la figura, CD es bisectriz, entonces se
cumple la siguiente proporción:
b
u
b
=
a
v
a
u
D
v
Este teorema es válido para cualquier triángulo.
Ejemplo:
En la figura, determinar el valor de AD.
9
10
D
5
Solución:
Como el trazo CD es bisectriz, entonces, aplicando el teorema de
Apolonio, se tiene:
9
AD
=
10
5
 AD = 9
2
2. Teorema de Euclides
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la
altura sobre la hipotenusa, entonces:
hc2 = p∙q
T. De la Bendición
a2 = c ∙ q
T. De la Derecha
b2 = c ∙p
T. De la Izquierda
Además, se cumple que:
hc = a·b
c
T. De la Altura
Ejemplo:
De acuerdo a la figura, los segmentos CD y AC miden:
Aplicando Teorema de Euclides:(Bendición)
CD2 = AD∙ DB
(Reemplazando)
CD2 = 4∙3
(Aplicando raíz)
CD =
4 ∙3
CD =
2 3
Además, por Euclides (T. de la Izquierda) se cumple que:
AC2 = AB ∙ AD
(Reemplazando)
AC2 = 7∙ 4
(Aplicando raíz)
AC = 2 7
2 7
2 3
3. Teorema de Thales
Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos
transversales, los segmentos determinados por las
paralelas son proporcionales. Este teorema tiene tres
formas de presentarse:
a) Forma de Escalera:
Sean L1 // L2 // L3, entonces:
L1 A
L2
D
E
B
L3 C
AB = DE
BC
EF
F
BC = EF
AC
DF
AB = DE
AC
DF
b) Forma de «A» o Teorema Particular de Thales:
Sean L1 // L2, entonces:
O
L1
L2
A
C
B
OA = OC
AB
CD
OA = OB
AC
BD
D
OA = OC
OB
OD
AB = CD
OB
OD
OC = OD
AC
BD
c) Forma de Reloj de Arena:
Sean L1 // L2, entonces:
L1
A
B
O
L2
AO = BO
OD OC
C
D
AB = AO
CD
OD
AB = BO
CD
OC
Ejemplos:
1. En la figura, L1 // L2. Determinar el valor del trazo AC.
O
5
A
L1
C
7
L2
B
D
36
Solución:
Aplicando el Teorema particular de Thales o «A»:
OA = OB  5 = 12
AC
BD
AC
36

AC = 15
2. En la figura, L1 // L2. Determinar el trazo OD en
función de x e y.
L1
x+y
A
B
2y
O
C
L2
D
2x
Solución:
Aplicando la «forma de reloj de arena» del Teorema de
Thales:
AB = AO
CD
OD

x+y = 2y
2x
OD

OD = 4xy
x+y