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GUIAS PARA ESTUDIANTES ASIGNATURA GEOMETRÍA DOCENTE: DIANA PATRICIA CARDENAS CUESTÁ 2013 ANEXO 1 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO PRIMERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Conoce los colores, y compara el tamaño de los objetos. GUIA N° 1: Características de los objetos. Hola: Bienvenido a esta unidad de geometría donde aprenderás las formas de las líneas, clasificación. las Para figuras ello y vamos su a empezar recordando los colores y los tamaños, que has visto en el jardín. 1. Colorea este dibujo y escribe en las líneas los colores que utilizaste. 2. Los cuerpos tienen tamaño, algunos son grandes, otros son medianos y otros pequeños. Completa la siguiente tabla dibujando el objeto del tamaño que falta y colorea de amarillo el grande, de azul el mediano, y de rojo el pequeño. Grande Mediano Pequeño 3. Colorea de color naranja la estrella de tamaño mediano. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO PRIMERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Reconocer las características de los objetos grueso - delgado, alto - bajo, GUIA N° 2: Grueso – delgado, alto - bajo. Observa la siguiente imagen El lápiz de corbatín es grueso Y el otro lápiz es delgado. 1. Recorta y pega en tu cuaderno varios muestra en la siguiente figura: objetos, gruesos y delgados, como se 2. Marina debe colocar en la caja azul las letras más gruesas y en la caja amarilla las más delgadas, ayúdala a realizar esta tarea uniendo con una línea las letras con la caja del color que corresponda. 3. Colorea de color rojo el pez grueso y de verde el pez delgado. Observa la siguiente imagen: El niño de camisa verde es más alto que el niño de camisa roja. El niño de camisa roja es más bajo que el niño de camisa verde. 4. En las siguientes imágenes encierra con color rojo lo que es más alto. 5. Colorea el árbol que es más bajo 6. En la siguiente imagen colorea de rojo la camiseta del jugador más alto y de verde la del jugador más bajo. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO PRIMERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Reconocer las posiciones de los objetos adelante – atrás, y características como largo – corto. GUIA N° 3: Adelante – atrás, largo – corto. Observa las siguientes situaciones: La silla está adelante de la mesa. El niño está adelante del señor La silla está atrás de la mesa El niño está atrás del señor 1. Colorea la carreta que está adelante de la vaca. 2. Colorea la cerca que está adelante de los caballos 3. Completa con las palabras adelante o atrás: La niña está corriendo _______________ del autobús. La niña está ________________ del colegio. _______________ del colegio está el autobús. Observa la siguiente imagen: 4. Encierra el lápiz más largo 5. Colorea la espada más corta 6. Dibuja en tu cuaderno otros objetos largos y objetos cortos COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO PRIMERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Identifica características entre objetos como arriba – abajo, dentro – fuera. GUIA N° 4: Arriba – abajo, dentro - fuera. Observa las siguientes situaciones El gato está arriba en la rama del árbol. El perro está abajo de la rama del árbol. 1. Colorea los niños y los animales que estén arriba en cada situación. 2. Con base a la dibujo responde las Siguientes preguntas ¿Cuántos pajaros están arriba en el árbol? ____________ ¿Cuántos niños hay abajo del árbol? ____________ 3. Encierra con color rojo los aviones que están abajo. Observa la siguiente situación: El pajarito está dentro de la jaula. El pajarito está fuera de la jaula 4. En la siguiente figura colorea los niños que están fuera del agua 5. Colorea las frutas que están dentro del frutero 6. Contesta las siguientes preguntas con base a la siguiente imagen: ¿Cuántos niños están dentro de la casa? ___________ ¿Cuántos niños están fuera de la casa? ___________ COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO PRIMERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Reconocer y diferenciar las líneas rectas de las líneas curvas. GUIA N° 5: Líneas curvas y líneas rectas. Juan está en su casa y debe recorrer dos caminos; si quiere ir al colegio debe tomar el camino n° 1 caminar en línea recta. Pero si quiere ir al parque debe tomar el camino n°2 caminar en línea curva. ¿Cuál es el camino que debe recorrer Juan para ir al colegio? N° 1 N° 2 Recuerda: Una línea es una secuencia infinita de puntos. Las líneas pueden ser rectas o curvas Observa algunos ejemplos: Líneas rectas Líneas curvas Actividad: 1. Repisa de color azul las líneas rectas y con rojo las líneas curvas. 2. Repisa los bordes curvos de color verde y los bordes rectos de color amarillo. 3. Algunas letras también tienen líneas curvas o líneas rectas. Escribe al frente las líneas que forma las siguientes letras: A M I G O 4. Continúa la secuencia de las siguientes líneas y escribe si son rectas o curvas 5. Elabora un dibujo usando solo líneas rectas 6. Elabora un dibujo usando solo líneas curvas COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO PRIMERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Reconocer las líneas abiertas y las líneas cerradas. GUIA N° 6: Líneas abiertas y líneas cerradas Ten en cuenta que: Las líneas además de ser curvas o rectas, pueden ser abiertas o cerradas Observa algunos ejemplos: Líneas abiertas Líneas cerradas 1. Usa una línea abierta para guiar al ciclista a la meta. META a 2. Encierra con color rojo las letras y los números que tiene líneas cerradas, y de color verde los que tienen líneas abiertas. 3. Repasa las líneas abiertas de color azul y de color negro las líneas cerradas. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO PRIMERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Conocer y clasificar las figuras planas según su forma. GUIA N°7: Figuras geométricas planas Ahora vamos a aprender cuales son las figuras geométricas Triángulo Circulo c Cuadrado Rectángulo 1. Escribe el número de veces que aparece cada figura geométrica en el dibujo. __________ Triángulos __________ Rectángulos __________ Cuadrados __________ Círculos 2. Colorea las siguientes figuras geométricas, rojo el triángulo, verde el círculo, azul el cuadrado y amarillo el rectángulo Las figuras y sus lados: lados lado lado lado lado 3. Cuenta y escribe el número de lados que tiene cada figura geométrica. _______ lados _______ lados _______ lados _______ lados _______ lados _______ lados ANEXO 2 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEGUNDO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Diferenciar las líneas horizontales de las verticales y las líneas paralelas de las perpendiculares. GUIA N° 1: Líneas verticales y horizontales. Las líneas dependiendo su dirección pueden ser horizontales y verticales. Las líneas horizontales son las que van de derecha a izquierda o de izquierda a derecha., como se muestra en la figura. Las líneas verticales son las que van de arriba hacia abajo, como se muestra en la figura. 1. Repisa de color azul las líneas horizontales para ver las letras que se forman: 2. Encierra con color rojo la blusa y el vestido que tiene líneas verticales 3. Escribe la palabra horizontal o vertical según la posición de los objetos. Lee con mucha atención: Las siguientes rectas son perpendiculares. Las rectas siguientes rectas son paralelas. 4. Une con una línea los dibujos de las rectas con sus nombres según corresponda. Rectas paralelas Rectas perpendiculares 5. Con base a las explicaciones dadas traza una línea paralela a las rectas dadas. 6. Traza una recta perpendicular a la recta dada. 7. Repisa con color rojo las rectas paralelas horizontales en cada figura: 8. Repisa con color verde las rectas perpendiculares en cada figura COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEGUNDO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Identificar polígonos de acuerdo a su número de lados. GUIA N°2: Los lados de las figuras 1. Une cada figura con su nombre y escribe el número de lados que tiene cada una. _______ lados _______ lados Triángulo _______ lados _______ lados Cuadrado _______ lados _______ lados _______ lados Rectángulo 2. Con base a la actividad anterior completa las siguientes frases: Los triángulos tienen ______ lados. Los cuadrados tienen ______ lados. Los rectángulos tienen ______ lados. 3. Juega con un compañero al sudoku geométrico. Completa todas las casillas que están vacías teniendo en cuenta que no pueden coincidir dos figuras iguales en la misma fila y en la misma columna. Solo puedes usar las figuras que se muestran a continuación. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEGUNDO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Conocer los sólidos geométricos y relacionarlos con objetos de su entorno. GUIA N°3: Cuerpos geométricos Hoy aprenderás los cuerpos geométricos. Los principales son: Cubo Esfera Cono Pirámide Cilindro Prisma recto Algunos cuerpos geométricos tienes caras como se muestra a continuación. Cara Prisma recto Cara Cara Cara 1. Une con una línea los dibujos que tienen la misma forma de las figuras 2. Cuenta el número de caras que tiene cada figura: La pirámide tiene ________caras. El prisma recto tiene ________ caras. El cubo tiene ________ caras. 3. Elabora clase. en tu cuaderno un dibujo utilizando los cuerpos geométricos vistos en ANEXO 3 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO TERCERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Reconocer la diferencia entre segmentos, semirrectas y rectas. GUIA N° 1: Segmentos, rectas y semirrectas. Camilo debe realizar un dibujo para la clase de arte usando únicamente segmentos, rectas y semirrectas. Pero él no sabe la diferencia que hay con cada uno de ellos. Aprende con Camilo que son las rectas, segmentos y semirrectas y ayúdalo luego a realizar el dibujo para su clase de arte. La siguiente figura es una recta. Se representa como recta AB La siguiente figura representa una semirrecta. Se representa como semirrecta CD La siguiente figura representa un segmento. Se representa como segmento HI 1. Completa las frases con base a los siguientes gráficos: a. La recta no tiene _____________ ni fin. b. El __________ J divide la recta en dos partes. Cada una de estás partes es una _______________. c. La parte de la recta comprendida entre, los puntos P y Q es un ________________ y se representa como PQ . d. El símbolo PQ representa la _______________ PQ . 2. Identifica en las siguientes líneas, los segmentos, las rectas y las semirrectas, colocando el nombre encima de cada una de ellas. 3. Dibuja la recta, semirrecta o segmento según la notación dada. a. Segmento CB b. Recta MN c. Semirrecta BD 4. Sigue las instrucciones, dibuja y completa las frases, como en el ejemplo: a. Inicia en el punto C y termina en el punto B. Es el segmento CB b. Inicia en el punto A y termina en el punto D. Es ________________ c. Inicia en el punto A y contiene el punto B. Es __________________ d. Contiene a los puntos B y C. Es ___________________ e. Inicia en el punto C y contiene el punto D. Es ________________ f. Contiene a los puntos B y D. Es _______________ 5. Ahora con base a lo que has aprendido ayuda a Camilo a realizar el dibujo para su clase de arte usando únicamente segmentos, rectas y semirrectas. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO TERCERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Conocer, medir y dibujar ángulos. GUIA N° 2: Ángulos y su medida. Esteban debe levantarse para ir al colegio y cuando observo el reloj señalaba las 7 de la mañana, y se hizo una pregunta: ¿La abertura que tiene las manecillas del reloj permanece siempre igual? Te invitamos a resolver está pregunta al final de está guía. Un ángulo es la abertura que se forma entre dos semirrectas que tiene el mismo punto de inicio llamado vértice. Para medir la abertura que hay entre el lado inicial y el lado final de un ángulo se usa el transportador, y nos da la medida en grados. Ubica el punto central del transportador en el vértice del ángulo y la parte horizontal con el lado inicial. La medida del ángulo son los grados que señale el lado final en el transportador Este ángulo mide 50° 1. Observa las siguientes figuras, encierra con color rojo los ángulos que se forman cada una de ellas y escribe cuantos son: 2. Utiliza el transportador para medir los ángulos que se forman entre las semirrectas. 3. En cada una de las horas que se muestran en los relojes mide los ángulos que se forman entre las manecillas, como se muestra en el ejemplo. a. Son las 2:00 el ángulo que se forma entre las Manecillas es de 60°. b. Son las 6:00 el ángulo que se forma entre las Manecillas es de ________. c. Son las 3:00 el ángulo que se forma entre las Manecillas es de ________. d. Es la 1:00 el ángulo que se forma entre las Manecillas es de ________. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO TERCERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Clasificar los ángulos según su amplitud. GUIA N° 3: Clasificación de los ángulos. Observa la siguiente imagen y resalta con color rojo dos ángulos que tengan diferente medida. Los ángulos se clasifican según su medida en: ÁNGULO RECTO: Es el que mide 90°. ÁNGULOS AGUDOS: Son los que miden menos de 90°. ÁNGULO OBTUSO: Son los que miden más de 90° y menos de 180°. ÁNGULO LLANO O LINEAL: Es el que mide exactamente 180°. 1. Dibuja a partir de la semirrecta dada un ángulo que tenga la medida indicada. a. Agudo de 90° b. Ángulo de 30° c. Ángulo de 70° d. Ángulo de 120° d. Ángulo de 160° 2. Escribe al frente de cada ángulo el valor de su amplitud y su nombre según su medida, como se muestra en el ejemplo: Mide: 50° Ángulo: agudo Mide: ______ Ángulo: _________ Mide: ______ Mide: ______ Ángulo: _________ Ángulo: _________ Mide: ______ Ángulo: _________ Mide: ______ Ángulo: _________ 3. Observa la medida que tienen los ángulos señalados con color rojo en la ventana y responde: ¿Qué medida tiene los ángulos de la ventana? ¿Qué clase de ángulos son? 4. En las siguientes figuras mide y clasifica los ángulos que se forman en los rayos de las semirrectas. a. b. c. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO TERCERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Reconocer las características de los polígonos y clasificarlos según su número de lados. GUIA N° 4: Polígonos. En exposición de arte en el colegio Juan observo un dibujo, que estaba formada por diferentes figuras geométricas. ¿Cuáles son las figuras que conforman este dibujo? Las figuras planas son cerradas y están limitadas por líneas rectas o líneas curvas. Un polígono es una figura plana cerrada, limitada por segmentos de recta que no se cruzan. Cada segmento de recta es un lado y los puntos donde se unen los lados son los vértices. Lado Vértice Todos los polígonos reciben nombres diferentes según el número de lados que tienen. Algunos de ellos son: TRÍÁNGULO: Tiene tres segmentos de recta y tres vértices. CUADRILÁTERO: Tiene cuatro segmentos de recta y cuatro vértices. PENTÁGONO: Tiene cinco segmentos de recta y cinco vértices. HEXÁGONO: Tiene seis segmentos de recta y seis vértices. HETPÁGONO: Tiene siete segmentos de recta y siete vértices. OCTÁGONO: Tiene ocho segmentos de recta y ocho vértices. 1. Colorea las figuras que son polígonos. 2. Con base a lo anterior escribe el nombre de los siguientes polígonos 3. Juan ha hecho la siguiente figura con el tangram. Ayúdale a contar y a clasificar las figuras que utilizo. Escríbelas en tu cuaderno. 4. Escribe Verdadero (V) o Falso (F) y justifica tu respuestá: a. El rectángulo es un polígono. ______ b. El hexágono tiene cinco vértices.______ c. El rombo es un cuadrilátero.______ d. El trapecio tiene cuatro ángulos.______ 5. Elabora un dibujo donde utilices diferentes polígonos. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO TERCERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Clasificar los triángulos según la medida de sus lados. GUIA N° 5: Triángulos. Mafalda está observando la figura y se hace la siguiente pregunta. ¿Todos los triángulos que hay son iguales? ¿Cuántos hay en total? Los triángulos reciben nombres especiales según la medida de sus lados. 1. Con ayuda de la regla mide cada uno de los lados de los triángulos y completa las frases. TRIÁNGULO EQUILÁTERO TRIÁNGULO ISÓSCELES Dos de sus lados Todos sus lados miden________ y el miden__________. otro___________ TRIÁNGULO ESCALENO Sus tres lados miden __________ 2. Observa los siguientes triángulos y colorea de amarillo los que tiene sus 3 lados iguales, de naranja los que tiene 2 lados iguales y uno desigual y de rojo que tienen todos sus lados de diferente medida. Puedes utilizar la regla. 3. Los triángulos según la medida de sus lados se clasifican en equilátero, isósceles o escaleno. Escribe a cada uno el nombre que corresponda. 4. Soluciona el siguiente crucigrama con base a los temas vistos en está guía. 1. Polígono de tres lados. 2. Triángulo que tiene todos sus lados iguales. 3. Triángulo que tiene todos sus lados desiguales. 4. Triángulo que tiene dos lados iguales y uno desigual. 1 3 2 4 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO TERCERO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Reconocer cuando dos figuras son congruentes. GUIA N° 6: Congruencia. Laura observa los gatos que se muestran en la primera imagen exactamente iguales, pero los aviones de la segunda imagen y dice que son no porque tienen diferente color. Tomas dice que no es así, que los gatos no son iguales porque tienen diferente tamaño, mientras que los aviones si son iguales a pesar que tienen diferente color. ¿Qué opinas tú? ¿Quién crees que tiene la razón? 2 1 Observa las siguientes imágenes: Giro 90° Volteo Deslizo Deslizo y roto 90° Después de estos movimientos (girar, voltear, deslizar) las figuras siguen teniendo el mismo tamaño, la misma área, los mismos ángulos y longitudes de líneas iguales, se dice que son CONGRUENTES. 1. Escribe debajo de cada una de las imágenes si son congruentes o no. a. 2. ¿Son congruentes las figuras? Escribe sí o no, puedes calcarlas o medirlas con una regla para determinarlo. a. b. c. d. 3. Escribe si las siguientes figuras se han deslizado, girado o volteado. a. b. c. d. 4. Con base a lo visto en clase y a lo trabajado en está guía te invitamos a responder las siguientes preguntas: a. ¿Pueden ser congruentes un triángulo y un cuadrado? b. ¿Son congruentes todos los rectángulos? c. ¿Las siguientes figuras son congruentes? ¿Por qué? ANEXO 4 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO CUARTO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Ubica puntos según las coordenadas dadas en el plano cartesiano. GUIA N° 1: Plano cartesiano. Un pirata quiere encontrar el tesoro, ¿Cuáles son las coordenadas que tiene el tesoro para que el pirata lo pueda encontrar? El plano cartesiano es un grafico formado por dos rectas perpendiculares llamadas ejes y por puntos llamados coordenadas. El eje horizontal es llamado X o eje de las abscisas y el eje vertical es llamado Y o eje de las ordenadas. El punto donde se cortan los dos ejes es el cero, en el eje X hacia la derecha del cero se ubican los valores positivos, y hacia la izquierda los valores negativos. En el eje Y, hacia arriba están ubicados los valores positivos y hacia abajo los valores negativos. En el plano cartesiano se ubican puntos que se representan con letras mayúsculas. Cada punto tiene una abscisa y una ordenada P(x,y), el primer número indica la ubicación en el eje horizontal, el segundo numero indica la ubicación en el eje vertical. Observa el siguiente ejemplo: Ubicar en el plano cartesiano el punto A (2,5), y el punto B (4,3). 1. Ubica en un plano cartesiano los siguientes puntos: C (1,2); D (5,4); E (3,4). Une los puntos y responde que figura se formo 2. Escribe las coordenadas en que se encuentran cada uno de los animalitos. (2,7) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 3. Ubica en el plano cartesiano los puntos dados. Luego une los puntos y escribe el nombre del polígono que se forma. a. A (2,2) B (1,4) C (3,5) D (5,4) E (4,2) b. A (0,0) B (2,3) C (4,1) c. L (1,2) M (1,5) N (5,5) O (5,2) d. P (1,1) Q (3,3) R (6,3) S (4,1) 4. Completa las coordenadas de los puntos que faltan para obtener la figura que se muestra en el plano. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO CUARTO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Reconoce los movimientos de traslación y rotación de figuras planas GUIA N° 2: Traslación y rotación. 1. Felipe observa que la ruta del colegio se mueve en forma de línea recta cuando va de un paradero a otro. Pero cuando está en el parque y se sube a la rueda chicago esta se mueve en forma circular. ¿Cómo se puede llamar a cada uno de estos movimientos? El movimiento que Felipe observa cuando la ruta se mueve de un paradero a otro se llama traslación. La traslación es un movimiento que se hace en forma de línea recta, puede realizarse en dirección horizontal o vertical. Observa la siguiente figura: Tomando como unidad un cuadro, el auto se ha trasladado 7 unidades a la derecha. 7 unidades a la derecha La ranita se ha trasladado 3 unidades hacia arriba 3 unidades hacia arriba En la siguiente imagen la letra ha girado un cuarto de vuelta a la derecha. ¿Cuál es su nueva posición? Dibújalo en el cuadro en blanco Posición inicial Giro de un cuarto de vuelta a la derecha La rotación consiste en hacer un giro sobre un punto fijo. El giro o rotación de una figura puede expresarse en grados. Observa el siguiente ejemplo: Figura Figura inicial. El punto H será el punto de rotación La figura inicial gira 45° a la derecha La figura inicial ha girado 90° a la izquierda. 1. Observa donde está ubicado cada animal y traslada a cada uno siguiendo la instrucción Traslada el pato 3 unidades arriba y 4 unidades a la derecha. ¿Cuáles son las coordenadas después de la traslación?___________ Traslada el oso panda 1 unidad abajo y cuatro unidades a la izquierda. 2. Gira el triángulo 180° a la izquierda sobre el punto O. 3. Describe la ruta que sigue el conejo para llegar a la zanahoria. 4. Cada objeto ha rotado respecto a un punto. Completa las frases según la figura que cumple la rotación. Figura A Figura B Figura C a. La figura _____ roto 90° a la izquierda. b. La figura _____ roto 180° a la derecha. c. La figura _____ roto 90° a la derecha. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO CUARTO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Identifica figuras simétricas GUIA N° 3: Simetría. Julián está jugando al concéntrese de las figuras que son simétricas, y debe unir cada figura con su otra mitad. ¿Cuáles de las siguientes imágenes no tienen su otra mitad simétrica? ____________ 3 2 1 6 7 4 8 5 9 10 Una figura es simétrica cuando su otra mitad es exactamente igual o al doblarla por la mitad sus partes son congruentes. La línea que divide una figura en dos mitades congruentes se llama eje de simetría. Observa el siguiente ejemplo: 1. Colorea de amarillo las letras que son simétricas con respecto al eje de simetría: 2. Completa las figuras para obtener figuras simétricas: 3. Encierra con color rojo las figuras que no son simétricas. Explica porque. 4. Dibuja un elemento u objeto de la naturaleza que sea simétrico. ANEXO 5 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO QUINTO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Determina si dos figuras son semejantes GUIA N° 1: Congruencia y semejanza de figuras. Ana María debe preparar una exposición para su clase de geografía, y necesita hacer el mapa de Colombia en un pliego de cartulina. El mapa que encontró es tamaño carta. ¿Que podrá hacer Ana María para poder dibujarlo en la cartulina, si su tamaño es mucho más grande y tienen que tener la misma forma? Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño, y sus lados correspondientes son proporcionales. Observa las siguientes figuras, son semejantes porque tiene la misma forma pero su tamaño es diferente. Dos figuras son congruentes si tienen el mismo tamaño y la misma forma. Observa las siguientes flechas, son congruentes pues tiene la misma forma y el mismo tamaño, a pesar que su posición sea diferente. 1. Observa la figura y responde las siguientes preguntas justificando la respuesta: a. ¿Los triángulos ABC y DEC tienen la misma forma? b. ¿Los triángulos ABC y DEC son congruentes? c. ¿Los triángulos ABC y DEC son semejantes? 2. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano y luego únelos con segmentos rectos hasta formar una figura cerrada. Luego realiza la transformación indicada y escribe las nuevas coordenadas de cada punto. Ubícalos en el mismo plano y une nuevamente los puntos para obtener la figura dada. Coordenadas iniciales: A (2,1), B (5,1), C (4,3), D (3,3). Transformaciones: a. En el punto A multiplica la primera y segunda coordenada por 3. b. En el punto B multiplica la primera coordenada del por 2 y la segunda coordenada por 3. c. En el punto C suma 5 a la primera coordenada y suma 3 a la segunda coordenada. d. En el punto D suma 4 a la primera coordenada y multiplica por 2 a la segunda coordenada. e. Compara las figuras obtenidas y escribe aquí tus conclusiones. 3. Une con una línea de color rojo las figuras que son semejantes 4. Tomando como referencia la cuadricula, determina si en cada caso las figuras son o no congruentes. 5. Elige en cada caso la figura que no sea semejante. 6. Construye una figura que sea semejante y otra que sea congruente a la figura dada. Puedes hacerlo usando la cuadricula. 7. Responde verdadero (V) o falso (F) según el caso y justifica tu respuesta. Las figuras congruentes son semejantes. _________ Todas las figuras semejantes son congruentes._________ Para que dos figuras sean congruentes deben estar en la misma posición. _________ Para que dos figuras sean semejantes deben estar en la misma posición. _________ 8. En los siguientes dibujos se muestran distintas maneras de dividir un cuadrado, en cuatro partes iguales. a. ¿Las partes en las que ha sido dividida cada cuadrado son congruentes? ¿Por qué? b. ¿Las partes en que se divide cada cuadrado son semejantes? ¿Por qué? c. ¿Qué otra forma puedes encontrar para dividir un cuadrado en cuatro partes iguales? 9. Con base a lo aprendido en esta sesión, elabora un dibujo con objetos que sean semejantes y congruentes. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO QUINTO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Realizar movimientos de traslación de figuras y señalar las coordenadas de la figura después de la traslación. GUIA N° 2: Traslación de figuras Un barco ha salido desde el puerto y debe llegar a la isla que se muestra en el plano. Pero solo puede moverse bajo las siguientes condiciones: tres unidades en posición vertical y dos en posición vertical. ¿Cuántas translaciones hará como mínimo el barco para poder llegar a la isla? ¿Cuáles son las coordenadas de la isla? TRASLACIÓN: Es un movimiento en el plano que consiste en desplazar una figura a lo largo de una línea recta, a una distancia determinada. La figura o el objeto trasladado mantiene su forma y su tamaño originales. Para realizar una traslación debes indicar la dirección, el sentido y la magnitud. Dirección: Puede ser horizontal o vertical. Sentido: Puede ser positivo o negativo. Magnitud: Es el número de unidades que se mueve la figura. Observa el siguiente ejemplo: Tomando como unidad un cuadro, en la siguiente figura traslada el siguiente polígono ABCDE , 5 unidades a la derecha. PASO 1: Dibuja un polígono sobre una cuadricula y nombra cada uno de sus vértices. PASO 2: Traslada cada vértice del polígono 5 unidades en dirección horizontal a la derecha. PASO 3: Une los vértices para formar el polígono, que se ha trasladado 5 unidades a la derecha. 1. Traslada el polígono 4 unidades en dirección vertical hacia abajo. 2. Traslada el triángulo 6 unidades hacia la izquierda en dirección horizontal 3. Describe con tus palabras la traslación, que ha sufrido el polígono ABCD. ¿Cuáles son las nuevas coordenadas del polígono después de la traslación? 4. Escribe verdadero (V) o falso (F) al frente de cada afirmación. a. Al trasladar una figura cualquiera, la figura de la imagen es congruente a la original. _______ b. Puedo trasladar dos o más veces una figura sin que se altere su forma y su tamaño._______ c. Una traslación es un movimiento que se puede realizar en cualquier dirección. _______ 5. Dibuja en el plano cartesiano una figura, realiza dos traslaciones con ella. Luego describe en clase a tus compañeros las traslaciones que realizaste. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO QUINTO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Realiza rotaciones de figuras con base a un punto o centro de rotación. GUIA N° 3: Rotación de figuras Observa la secuencia de la figura. ¿Cuál es la figura que debe seguir en el último cuadro? ¿Qué movimiento esta describiendo esta figura? ? ROTACIÓN: Una rotación es un giro de una figura o un objeto sobre un punto. Para hacer una rotación se debe tener en cuenta el ángulo de giro y el punto de rotación. El ángulo de giro se mide en grados; hay que tener en cuenta que para realizar la rotación de debe girar cada punto de la figura según el ángulo dado en sentido positivo o negativo. El ángulo es positivo, cuando abre en sentido contrario a las manecillas del reloj. El ángulo es negativo, cuando abre en el sentido horario a las manecillas del reloj. Observa el siguiente ejemplo con ayuda de tu profesor: Girar el polígono ABCD 90° en sentido positivo sobre el punto O. PASO 1: Dibujar un polígono sobre una cuadricula y nombra cada uno de sus vértices. PASO 2: Luego se trazan líneas rectas desde el centro de rotación O a cada uno de los vértices de la figura. PASO 3: Se coloca el transportador en el segmento OA y se mide 90°. Se repite el mismo procedimiento con los segmentos OB y OC. PASO 4: Con ayuda del compás mides la amplitud de cada lado del polígono y los marcas en las líneas resultantes del paso anterior. PASO 5: Unes los puntos con una regla para obtener la figura rotada OA’B’C’. 1. Escribe las nuevas coordenadas del polígono ABCD que ha sido rotada 90° con respecto al punto C, en sentido negativo. 2. Gira el triángulo 90° a la derecha sobre el punto B y escribe las coordenadas de la nueva posición . 3. Gira el siguiente rectángulo 60° a la izquierda sobre el punto C 4. Escribe verdadero (V) o falso (F) al frente de cada afirmación. a. Una rotación es una traslación en sentido vertical. ________ b. En una rotación se debe tener en cuenta el sentido de giro y el ángulo de rotación._________ c. Si giramos cualquier figura, esta mantiene su forma y su tamaño.________ 5. Dibuja en el plano cartesiano una figura, realiza una rotación con ella. Luego describe la rotación que realizaste. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO QUINTO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Comprender el concepto de reflexión de una figura. GUIA N° 4: Reflexión de una figura. Camila en su clase de geometría le pregunta a su profesora: ¿Porque cuando se mira en el espejo se ve igual y cada vez que se acerca o se aleja de él la imagen del espejo hace lo mismo? REFLEXIÓN: La reflexión es un movimiento en el plano que consiste en copiar todos los puntos de una figura a la misma distancia de una recta llamada eje de reflexión. La figura y su reflejo, tiene la misma forma y el mismo tamaño. ¡Solo cambia su posición! Para reflejar una figura es importante que tengas en cuenta los siguientes pasos observa el siguiente ejemplo con mucha atención: PASO 1: Se dibuja una figura y se traza una línea que será el eje de reflexión. PASO 2: Después desde cada uno de los vértices al eje de reflexión se trazaran líneas como se muestra en la figura. Puedes utilizar la escuadra en este caso. PASO 3: Con el compas se toma la distancia del vértice A al eje de reflexión y con esta misma distancia se ubica la imagen de A ' al otro lado del eje. Se repite el mismo procedimiento con los otros vértices de la figura. PASO 4: Se unen los puntos para obtener la imagen reflejada de la figura. 1. Dibuja en cada ejercicio el eje de reflexión de cada figura. a. b. c. 2. Realiza la reflexión de las siguientes figuras: a. b. c. 3. Colorea la figura que corresponde a la reflexión correcta. a. b. c. 4. Dibuja otros objetos reflejados que se encuentren en la naturaleza. ANEXO 6 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEXTO. NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Clasificar y medir ángulos. GUIA N° 1: Ángulos y su bisectriz. Carlos observa un vehículo que está subiendo por una montaña y se hace la siguiente pregunta: ¿Por qué es tan difícil acelerar cuando se está subiendo por una montaña? ¿Sería más fácil si aumenta o disminuye el ángulo con respecto al suelo? Antes de empezar es importante que tengas en cuenta estos conceptos: Ángulo: Es el espacio comprendido entre dos semirrectas que parten de un mismo punto llamado origen. Los elementos que forman un ángulo son: -Lado: cada una de las dos semirrectas. -Vértice: punto en el que coinciden las dos semirrectas. -Amplitud: Es la abertura que hay entre los lados. Los ángulos se pueden nombrar de diferentes maneras: 1. Usando tres letras mayúsculas y colocando en medio la letra que corresponde al vértice. 2. Usando una letra griega escrita en el vértice. 3. Usando la letra mayúscula que esta en el vértice. 1. Averigua como se clasifican los ángulos según su medida, su posición y su suma. Bisectriz de un ángulo: La bisectriz es la semirrecta que tiene su origen en el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos congruentes. La bisectriz de un ángulo se puede construir siguiendo los siguientes pasos: 1. Se traza el ángulo ABC. 2. Desde el vértice se trazan dos arcos en cada uno de los lados del ángulo llamados M y N, como se muestra en la figura . 3. Con la abertura del compás mayor que los arcos hechos antes, ahora con centro en M y en N traza dos arcos que se corten en un punto llamado P. 4. Se traza una semirrecta que parta del punto B y pase por P Esta semirrecta divide al ABC en ABP y PBC, que son congruentes. 2. Dibuja la bisectriz de los siguientes ángulos: a. b. c. 3. En tu cuaderno dibuja otros ángulos con sus bisectrices COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEXTO. NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Aprender a usar el programa geogebra para construir ángulos. GUIA N° 2: Construcción de ángulos con geogebra. Esta es una guía paso a paso para utilizar las herramientas del programa geogebra en la construcción de ángulos y triángulos. Anímate y sigue las instrucciones para que aprendas a utilizar este programa: 1. Una vez descargado el programa en tu computador geogebra haz clic en el icono de y obtendrás el siguiente pantallazo. En la parte superior de la pantalla podrás ver el menú principal. En la segunda línea puedes visualizar la barra de herramientas, en las cuales se desprenden funciones que se pueden realizar con el programa. 2. En el menú principal escoge la opción de geometría. Allí realizaremos algunas construcciones de ángulos entre dos rectas. 3. En la barra de las herramientas, haz clic en el botón y selecciona la opción de semirrecta que pasa por dos puntos Dibuja dos rectas que se corten en el punto A como se muestra en la figura. 4. En la herramienta de números y ángulos en la opción tres puntos ángulo entre rectas y que sirve para conocer el ángulo que se forma entre tres puntos y dos rectas. Luego haz clic en los puntos BAC, que forman el ángulo entre estas rectas para conocer su amplitud, como lo muestra la figura. Debes tener en cuenta que la forma para conocer la abertura de los ángulos siempre es en sentido contrario de las manecillas del reloj o en sentido anti horario. Puedes mover cualquiera de los puntos y te darás cuenta como varía la medida del ángulo. Otra forma para dibujar los ángulos es haciendo clic en la opción que es para dibujar ángulos dando la amplitud que se quiere dibujar. ACTIVIDAD: 1. Dibuja los siguientes ángulos en geogebra. a. 30° d. 180° b. 60° e. 250° c. 100° f.300° 2. Con la opción de rectas y sus herramientas haz clic en la opción de la bisectriz de los ángulos anteriores. y dibuja COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEXTO. NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Aprender a usar el programa geogebra para construir triángulos. GUIA N° 3: Construcción de triángulos con geogebra En esta sesión te vamos a enseñar a construir triángulos con el programa geogebra. Observa con mucha atención el siguiente ejemplo: EJEMPLO: Construir los siguientes triángulos en geogebra. a. AB 4, A 60, B 70 b. a b c 5 Para construir el primer triángulo en geogebra, es necesario realizar los siguientes pasos: 1. Al entrar al programa, debes ir a las herramientas de segmentos y escoger la opción segmento dado dos puntos y longitud para dibujar el segmento AB 4 como lo muestra la figura 2. Después en las herramientas de ángulos seleccionamos la opción y hacemos clic en el vértice A de la figura. A continuación sale un recuadro donde se escribe el valor de la amplitud del ángulo que es 60° damos ok y a continuación aparece el ángulo como lo muestra la figura. 3. En las herramientas de segmentos hacemos clic en la opción los punto A y B’ de la figura. y dando clic en 4. Repetimos el mismo procedimiento de los numerales 2 y 3 para el ángulo B que mide 70° hasta obtener la figura que se muestra en la siguiente imagen. 5. Con el mouse hacemos clic izquierdo en el punto A’ y le damos la opción de ocultar objeto, ocultar rotulo, de la misma manera para B´ y el l punto donde se cortan las dos rectas será el tercer vértice del triángulo. Para ello, en las herramientas de puntos hacemos clic en el icono que es intersección de dos objetos y hacemos clic en la intersección de las dos rectas como lo muestra la figura. 6. En la herramienta de polígonos hacemos clic en la opción y lo dibujamos sobre los mismos vértices de las rectas en el orden ABC. Para cerrar el polígono es necesario regresar al punto A. Una vez este dibujando el triángulo haces clic con el botón izquierdo en una de las rectas y das la opción ocultar objeto e igualmente con la otra para que no se vean y solo quede el triángulo en la figura. Para construir el segundo triángulo que todos con todos sus lados iguales realiza los siguientes pasos: 1. Abre una nueva ventana para construir esta figura. Haciendo clic en la herramienta de números y ángulos selecciona la opción deslizador y escribe como valor mínimo 0 y valor máximo 10. Repite el mismo procedimiento para crear otro deslizador con las mismas características y ubícalo en la pantalla donde lo puedas visualizar. Luego crea un segmento con la opción para y en longitud escribe 5 y luego ok. 2. Después en las herramientas de cónicas selecciona la opción de circunferencia dados su centro y su radio haz clic en el punto A yen la opción de radio escribe a que es la opción del deslizador. Luego repite el mismo procedimiento, haciendo centro en el punto B y colocando como radio el nombre del deslizador b, así obtendrás dos circunferencias como se muestra en la siguiente imagen. Puedes mover los deslizadores para que observes como varía el radio en cada uno de las circunferencias, y deja cada circunferencia de radio 5 como se muestra en la figura. 3. Haz clic en la herramienta intersección de dos objetos y señala el punto superior donde se encuentran las dos circunferencias. Este será el tercer vértice del triángulo en construcción. Después con las herramientas de polígono, opción se hace clic en cada uno de los puntos de la figura para construir el triángulo ABC, como se muestra en la figura. 4. Luego con la herramienta de ángulos tres puntos puedes hallar el valor de cada ángulo interior del triángulo, y haciendo clic izquierdo con el mouse dando la opción de mostrar rótulo y mostrar valor para que aparezca las medidas de cada lado. Por último puedes hacer clic izquierdo en cada una de las circunferencias y dar la opción de muestra objeto se oculten las circunferencias y solo se vea la imagen del triángulo, como se muestra en la figura. ACTIVIDAD: 1. Dibuja otros triángulos en geogebra de diferentes medidas a las dadas en el ejemplo. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEXTO. NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Aprender a usar el programa geogebra para realizar traslaciones. GUIA N° 4: Traslaciones de polígonos con geogebra En esta sesión aprenderás como se hace traslaciones de figuras planas en el programa geogebra. Para ello realiza la siguiente traslación paso a paso y luego realiza los ejercicios que se proponen al final de esta guía. EJEMPLO: Dibujar el polígono con vértices Trasladarlo A(2,3), B(4,4), C(3,2), D(4,2), E(3,1). 5 unidades a la derecha y tres unidades hacia arriba, escribe las coordenadas del polígono resultante. 1. Dibuja un polígono haciendo clic en el icono D(4,2), E(3,1). con vértices A(2,3), B(4,4), C(3,2), En la barra de herramientas haz clic en la opción de transformaciones geométricas selecciona la opción traslada objeto por un vector, haz clic en la imagen y luego dibuja el vector 5 unidades a la derecha. 3. Luego aparece el polígono trasladado 5 unidades a la derecha. 4. Repite el mismo procedimiento pero ahora trasladando el polígono resultante 3 unidades hacia arriba. Las coordenadas del polígono resultante son A’’ (7,6), B’’ (9,7), C’’ (11,5), D’’ (9,5), E’’ (8,4). La traslación es el movimiento de una figura a lo largo de una línea recta, sin ningún giro, con una distancia, una dirección y un sentido determinado. ACTIVIDAD: 1. Dibuja en el plano cartesiano el cuadrilátero ABCD cuyos vértices son A(-5,6), B (-7,3), C (-2,3), D (0,6). a. Traslade el cuadrilátero 9 unidades a la derecha. b. Traslade el cuadrilátero obtenido en el punto anterior 7 unidades abajo. e. Escribe las coordenadas del polígono resultante. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEXTO. NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Aprender a usar el programa geogebra para realizar rotaciones de figuras geométricas. GUIA N° 5: Rotaciones de polígonos con geogebra En esta sesión aprenderás como se hacen rotaciones de figuras en geogebra. Para ello realiza la siguiente rotación paso a paso y luego realiza los ejercicios que se proponen al final de esta guía. EJEMPLO: Dibujar el polígono con vértices A(3,4), B(4,7), C(7,5), D(4,3). Rotarlo 50° en sentido positivo tomando como centro de rotación el punto O (0,0). 1. Dibujamos con la herramienta de polígonos haciendo clic en la opción con vértices A(3,4), B(4,7), C(7,5), D(4,3). Luego con la opción de herramientas de puntos haz clic en la opción dibujamos el punto de rotación O (0,0). 2. En la barra de herramientas haz clic en la opción de transformaciones geométricas selecciona la opción rota un objeto en torno a un punto haz clic primero en la imagen y luego en el punto O que es el centro de rotación de la figura. Aparecerá en la pantalla un cuadro para colocar el ángulo de rotación y el sentido de la rotación. Se escribe 50° y luego se hace clic en ok. 3. Luego aparece el nuevo polígono rotado, como se muestra a continuación. La rotación es un movimiento que realiza una figura alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación. La rotación se mide en grados. ACTIVIDAD: 1. Dibuja en el plano cartesiano el triángulo ABC cuyos vértices son A (-6,2), B (-8,-1), C (-4-2). a. Con centro de rotación el punto (0,0), rotar el triángulo 120° en sentido negativo. b. Con centro de rotación el punto (2,-2), rotar el triángulo 90° en sentido positivo. 2. Dibuja en el plano cartesiano el polígono DEFG cuyos vértices son D (3,2), E (7,2), F(8,4), G(4,4), y rotarlo 130° en sentido negativo con respecto al origen. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEXTO. NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Aprender a usar el programa geogebra para realizar reflexiones sobre una recta de figuras geométricas. GUIA N° 5: Reflexiones de polígonos con geogebra. En esta sesión aprenderás como se hacen reflexiones de figuras en geogebra. Para ello realiza la siguiente reflexión paso a paso y luego realiza los ejercicios que se proponen al final de esta guía. EJEMPLO: Dibujar el polígono con vértices A(6,2), B(2,2), C(4,5), D(4,3), reflejarlo con respecto a un eje de reflexión paralelo al eje Y. 1. Dibujamos con la herramienta de polígonos haciendo clic en la opción vértices A(6,2), B(2,2), C(4,5), D(4,3). con 2. Luego con la opción de herramientas de segmentos y haz clic en la opción dibujamos el eje de reflexión del polígono, que sea paralelo al eje Y, como se muestra en la figura. 3. En la barra de herramientas haz clic en la opción de transformaciones geométricas selecciona la opción refleja objeto en recta haz clic primero en la imagen y luego en el eje de reflexión. Aparecerá en la pantalla la imagen reflejada después del eje de reflexión como se muestra en la siguiente figura. Una reflexión respecto a una recta l, llamada eje de reflexión es el movimiento que cada punto A del plano le asigna a otro punto A’ del mismo plano tal que el segmento AA’ es perpendicular a la recta l y A’ esta a la misma distancia de la recta l como lo está el punto A. ACTIVIDAD: 1. 1. Dibuja en el plano cartesiano el triángulo ABC cuyos vértices son A (2,4), B (6,4), C (4,7). a. Reflejar la figura con respecto a un eje de reflexión ubicado dos unidades abajo de la figura, paralelo al eje X. b. Reflejarlo con respecto al eje Y. 2. Dibuja en el plano cartesiano el polígono HIJKL cuyos vértices son H (1,-4), I(5,-4), J(6,-1), K(3,-3), L(2,-1) y refléjalo tomando como eje de reflexión al eje X. ANEXO 7 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEPTIMO. NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Construir triángulos con la medida de sus ángulos internos en el programa geogebra. GUIA N° 1: Construcción de triángulos y sus ángulos internos en geogebra. Esta es una guía paso a paso de cómo utilizar las herramientas del programa geogebra para la construcción de triángulos congruentes. Anímate y sigue las instrucciones para que aprendas a utilizar este programa: 1. Una vez descargado el programa en tu computador haz clic en el icono de geogebra y obtendrás el siguiente pantallazo. 2. En el menú principal de la barra en disposiciones escoge la opción de geometría básica. 3. Luego haz clic en el botón y dibuja un triángulo como se muestra en la figura. 4. Ahora vas a saber cuál es la medida de cada uno de los ángulos en el triángulo dibujado el triángulo haciendo clic en el botón Luego para hallar la medida del ángulo A, con el mouse señalas en el mismo orden los puntos CAB, ya que el vértice del ángulo esta en este punto. Así obtendrás la amplitud del ángulo A. 5. Repites el mismo procedimiento con los vértices B y C del triángulo. Una vez obtengas las medidas suma las tres amplitudes ¿Cuánto da la suma de los tres ángulos interiores del triángulo que dibujaste? 6. Con base a la siguiente figura describe las otras propiedades de los triángulos vistas en clase. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEPTIMO. NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Construcción de líneas y puntos notables del triángulo en el programa geogebra. GUIA N° 2: Líneas y puntos interiores de los triángulos. Para este taller interactivo, es necesario que recuerdes que la mediatriz es la recta perpendicular trazada por el punto medio de un lado del triángulo. Todo triángulo tiene tres mediatrices. Una vez recordado esto, dibujaremos las tres mediatrices de un triángulo en geogebra. Para ello es importante que realices los siguientes pasos: 1. Entra al programa y en el menú principal en disposiciones y escoge la opción de algebra y gráficos. 2. Con la opción dibuja un triángulo, como se muestra en la figura. 3. En la opción de recta perpendicular haz clic y escoge la opción mediatriz como lo muestra la figura. 4. Haz clic en el vértice A y luego en el vértice B del triángulo y obtendrás la mediatriz del lado AB como lo muestra la figura. 5. Repite el mismo procedimiento para encontrar las mediatrices de los lados BC y AC del triángulo, como se muestra en la figura. 6. Como puedes ver las tres mediatrices se cortan en un mismo punto. Ahora ve a la opción herramienta de puntos haz clic en la opción intersección de dos objetos y luego marca con el cursor la intersección de las rectas. En la opción de herramientas de cónicas busca el clic el icono circunferencia dados su centro y un punto dando clic en el centro de la figura y en uno de los vértices del triángulo como se muestra en la figura. ¿Cómo se llama este punto? 7. Con ayuda de este programa encuentra las otras líneas y puntos notables de los triángulos. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEPTIMO. NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Establecer cuando dos polígonos son congruentes GUIA N° 3: Polígonos congruentes Observa la siguiente imagen y responde la siguiente les pregunta ¿Todos los polígonos son iguales? ¿Por qué? Es importante que tengas en cuenta que dos figuras geométricas son congruentes cuando tienen el mismo tamaño y la misma forma. Polígonos congruentes: Dos polígonos son congruentes si existe una correspondencia entre los vértices de ellos tal que los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son congruentes, o al superponer una figura sobre otra estas coinciden exactamente. El símbolo para denotar la congruencia es ≅. Observa los siguientes polígonos: Para establecer si los dos polígonos son congruentes se establecen las correspondencias entre los vértices, los lados, y los ángulos de los dos polígonos de la siguiente manera: A F AB FG A F B G BC GH B G CH CD HI C H DI DA IF D I Como los lados y las medidas de los ángulos que corresponden miden lo mismo, se dice que son congruentes y se simboliza . De esta manera: A E AB FG A E BG BC GH B G CH CD HI C H DI DA IF D I Por lo tanto los polígonos ABCD y FGHI son congruentes y se simboliza ABDC FGHI . Por lo tanto podemos afirmar que dos polígonos son congruentes si y sólo si los lados y los ángulos correspondientes son congruentes. ACTIVIDAD: 1. Explica porque las siguientes afirmaciones son verdaderas: a. Dos polígonos con diferente número de vértices no pueden ser ni congruentes ni semejantes. b. Todo polígono es congruente a sí mismo. c. Si dos polígonos son congruentes entonces son semejantes. d. Dos polígonos son congruentes si tienen la misma forma. 2. Dibuja en el interior del hexágono tres segmentos del mismo tamaño para dividirlo en tres regiones congruentes. 3. Identifica cuales de las siguientes figuras son congruentes. Nómbralas de acuerdo con la correspondencia adecuada. 4. Los dos triángulos que se muestran en la siguiente figura son congruentes. Completa la siguiente información: a. MNO b. M c. MO , QO d. O es el punto medio de ______________ porque ____________________ 5. De acuerdo con la información en cada ilustración halla los valores que faltan: a. ABC KLM b. FPK RGK 6. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano y dibuja el ABC y el DEF . ¿Estos triángulos son semejantes? a. A(-1,2) ; B(4,2); C(2,4); D(5,-1); E (7,1); F(10,-1). b. A(-3,1); B(2,1): C(2,3); D(4,3); E(6,3); .F(6,8) COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO SEPTIMO. NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Establecer cuando dos polígonos son semejantes GUIA N° 4: Polígonos semejantes. Si cada dimensión de un rectángulo se aumenta en un 40%, ¿Cómo son las dimensiones del nuevo rectángulo? ¿Este rectángulo es semejante o congruente al original? Dos polígonos son semejantes cuando tienen exactamente la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Dos polígonos son semejantes si existe una correspondencia entre los vértices tal que los ángulos correspondientes son congruentes y las medidas de los lados correspondientes son proporcionales. El símbolo de la semejanza es . Observa los siguientes polígonos. Para comprobar que son semejantes se establece correspondientes de la siguiente manera: que los ángulos son A E, B F , C G, D H . Además las medidas de los lados del polígono ABCD miden el doble del polígono EFGH . Por lo tanto ABCD EFGH significa que ABCD es semejante a EFGH . Es importante tener en cuenta la correspondencia entre los vértices para determinar que dos polígonos son semejantes. ACTIVIDAD: 1. Construir un polígono semejante al polígono dado que cumpla la condición mencionada: a. El lado de menor longitud tenga 6 cm. b. Los lados que forman el ángulo de 90° midan el triple de los lados dados. 2. Escribe al frente de cada afirmación V o F. Justifica tu respuesta. a. Dos polígonos son semejantes si tiene exactamente la misma forma pero diferente tamaño. b. Todos los triángulos rectángulos son semejantes. c. Dos polígonos semejantes también son congruentes. d. Todos los triángulos cuyos ángulos miden 30°, 60° y 90° son semejantes. 3. Con base a la siguiente figura completa la siguiente información: a. PO OT PS d. O b. TV RQ PQ e. SRQ c. OT RQ TV f. T 4. Establece las medidas de los lados que faltan teniendo en cuenta que ABC DEF a. b. 5. Soluciona los siguientes problemas: a. La base de un triángulo isósceles mide 4 cm y uno de sus lados iguales mide 10 cm. ¿Cuál es la longitud de los lados de un triángulo semejante cuyo lado menor mide 6 cm? b. Carolina tiene que aumentar las dimensiones de una maqueta que tiene 15 cm de largo y 40 cm de ancho, a una maqueta que tenga el triple de largo de la maqueta anterior. ¿Cuáles son las dimensiones de la nueva maqueta? ANEXO 8 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO OCTAVO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Conocer y aplicar los criterios de congruencia de triángulos. GUIA N° 1: Congruencia de triángulos. Observa la siguiente figura ¿Crees que todos triángulos son iguales? Explica tu respuesta TRIÁNGULOS CONGRUENTES: Dos triángulos son congruentes si existe una correspondencia entre sus vértices tal que los lados y ángulos correspondientes son congruentes, como se muestra a continuación: A D; B F ; C E; AB DF ; BC FE; AC DE Para denotar la congruencia nombramos los vértices correspondientes en el mismo orden así: ABC DFE ABC DFE GIH JLK . CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: Para determinar si dos triángulos son congruentes se debe tener en cuenta los siguientes criterios: Criterio lado, lado, lado (LLL): Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. GI JL, JK GH , KL HI . Por lo tanto GIH JLK . Criterio lado, ángulo, lado (LAL): Si los dos lados de un triángulo y el ángulo formado por estos son congruentes con dos lados de otro triángulo y el ángulo formado por estos respectivamente, entonces los dos triángulos son congruentes. GH JK , HL KL, y H K . Criterio ángulo, lado, ángulo (ALA): Si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido entre ellos, son congruentes con dos ángulos de otro triángulo y el lado comprendido entre ellos entonces los triángulos son congruentes. ABC DFE B E, A D y AB DE ACTIVIDAD: 1. Se sabe que ABC EDF. Encuentra en cada caso las medidas pedidas. a. b. c. 2. Si se sabe que MNP RST . Encuentra las medidas pedidas en cada caso. a. ST RT b. SR R 3. Dado: ABC con A C , justifica que AB CB 4. Dos triángulos rectángulos tienen respectivamente congruentes las hipotenusas. ¿Son congruentes los dos triángulos? ¿Por qué? 5. Encuentra el valor de x en cada caso, si los triángulos son isósceles: a. b. 6. En la figura AB ED, AB ED, BF CD. Demuestra que ABC EDF. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO OCTAVO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Reconocer los criterios de la semejanza de triángulos para calcular longitudes y ángulos. GUIA N° 2: Triángulos semejantes. ¿Cómo podrías calcular la altura tiene un templo si su sombra mide 6 metros, si la altura de un árbol cercano es de 3 metros y la distancia desde la copa del árbol hasta donde termina su sombra es de 5 metros? 5m 3m 6m Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes: Primer criterio ángulo - ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales. Del criterio ángulo - ángulo se puede concluir que dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente, pues el ángulo restante es necesariamente congruente. Segundo criterio lado- ángulo –lado (LAL): Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que forman. Tercer criterio lado – lado – lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales. Es importante que tengas en cuenta que la congruencia de triángulos es un caso especial de semejanza, en el cual las razones entre los lados correspondientes son iguales y su valores la unidad, debe mantenerse que los ángulos de los triángulos sean congruentes. EJEMPLO: Determina si los siguientes triángulos son semejantes: Para este par de triángulos podemos aplicar el criterio LAL, pues los ángulos formados por los lados correspondientes en los triángulos son congruentes. Por lo tanto verificamos que los lados son proporcionales de la siguiente manera: A´B´ B´C´ AB BC 15 12 10 8 3 3 2 2 Estableciendo la razón entre los lados del triángulo Simplificando tenemos: Por lo tanto la igualdad se cumple esto quiere decir que los lados del Triángulo son proporcionales. ACTIVIDAD: 1. Determina en cada caso si los triángulos son semejantes y explica cual criterio se cumple en cada uno de ellos. a. b. 2. Completa los datos de los siguientes triángulos para que sean semejantes si tienen sus tres lados proporcionales. 3. Los lados de un triángulo miden 36 cm, 42 cm y 54 cm. Si en un triángulo semejante a este el lado homologo del primero mide 24 cm. Halla la medida de los otros dos lados de ese triángulo. 4. Completa los datos de los siguientes triángulos para que sean semejantes que tienen un ángulo igual comprendido por lados proporcionales. 5. En la figura BC DE . Halla la longitud DE 6. Explica porque la división de un triángulo rectángulo por una de sus diagonales produce dos triángulos semejantes. Si se corta el rectángulo en cuatro triángulos por medio de las dos diagonales ¿Se obtienen necesariamente cuatro triángulos semejantes entre sí? COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO OCTAVO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Conocer el teorema de Pitágoras y aplicarlo a la solución de problemas.. GUIA N° 3: Teorema de Pitágoras. Camila necesita ir a la casa de su amiga Laura y para ello tiene dos opciones, la primera es caminar 4 metros al oriente y luego 3 metros al norte. La segunda es ir en diagonal pasando por el parque 5 metros. ¿Cuál sería la mejor opción que debe tomar Camila para ir a la casa de su amiga Laura? ¿Que figura se forma en este recorrido? Un triángulo rectángulo es el que tiene uno de sus ángulos recto, los dos lados del triángulo que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se conoce como hipotenusa. Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa elevada al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. h2 a 2 b2 Si deseas conocer el valor de la longitud de un cateto, conociendo el valor de la hipotenusa y el otro cateto, se debe restar a la hipotenusa al cuadrado la longitud del otro cateto al cuadrado. a 2 h2 b2 a 2 h2 b2 EJEMPLO: Hallar la longitud de la diagonal de una cancha de futbol olímpica que es un rectángulo de 100 m de largo y 70 m de ancho. 70 m 100 m Para conocer el valor de la diagonal utilizamos el teorema de Pitágoras, donde un cateto vale 100m y el otro cateto 70 m. Reemplazando en la expresión tenemos: h2 a 2 b2 h2 m2 (70m)2 Se eleva cada término al cuadrado h 2 14900m 2 h 2 14900m 2 Se saca raíz cuadrada a ambos lados para despejar h h 122.06m El valor de la diagonal de la cancha de futbol es de 122,06 m. ACTIVIDAD: 1. Calcula el valor de la hipotenusa en los siguientes triángulos: a. a = 3 b=4 b. a = 30 b = 16 c. a = 12 b=5 2. Encuentra el valor del cateto faltante en los triángulos de hipotenusa y cateto dado. a. h = 9 b=4 b. h = 8 a=7 c. h = 250 b = 88 d. h = 650 b = 408 3. Resuelve los siguientes problemas: a. Hallar la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si las longitudes de los catetos son 36 cm y 27 cm. b. Si un bambú de 32 m de altura se dobla por la acción del viento de tal manera que su extremo superior queda apoyado en el suelo a una distancia de 16 m de su base, ¿A qué altura del suelo se doblo? c. Un niño quería construir un corral rectangular para su conejo. Cuando termina midió las dimensiones del corral y se dio cuenta que formaba un triángulo rectángulo cuya base es de 54 pulgadas, y 30 pulgadas de largo. Si quiere encerrarlo con3 vueltas de alambre, ¿cuantos metros de alambre necesita para poder hacer la cerca? d. En un parque hay un jardín con forma de cuadrado y un lago en forma de triángulo equilátero como se muestra en la figura. a. ¿Cuánto tiene de lado el cuadrado? b. ¿Cuál es el área del jardín? c. ¿Cuál es el área del lago? ANEXO 9 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO NOVENO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Aplica el teorema fundamental de la proporcionalidad. GUIA N° 1: Razones y proporciones Dos ángulos complementarios están en la razón de 4 a 5. Hallar la medida de cada ángulo. Antes de iniciar es importante que recuerdes con ayuda de tu profesor los siguientes conceptos y propiedades de las proporciones : RAZÓN: Una razón es el cociente indicado entre dos cantidades p y q. p r q PROPORCIÓN: Una proporción es una igualdad entre dos razones p s q t donde p y t representan los extremos y q y s son los medios. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES: 1. Propiedad fundamental de las proporciones: En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios. p s q t entonces p t q s 2. Si se invierten los términos de cada razón se obtiene otra proporción. p s q t entonces q t p s 3. La suma o resta de los términos de la primera razón es a su consecuente, como la suma o resta de los términos de la segunda razón es a su consecuente. p s pq st entonces q t q t ACTIVIDAD: 1. Expresar en forma de razón las siguientes expresiones: a. Un equipo de futbol gano 14 partidos, empato 6 y perdió 8. Establece la razón entre partidos ganados y empatados, ganados y perdidos, empatados y perdidos. b. Hay alrededor de 28 toneladas de silicio por cada 100 toneladas de corteza terrestre ¿Cuál es la razón de silicio al peso de la corteza? c. En el estado de Texas, de cada 1000 personas ,122 morirán de cáncer .Obtenga la razón de aquellos que morirán de cáncer a cada mil personas de ese estado. d. Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años. 2. Determina si las razones dadas forman una proporción: a. 4 12 y 5 15 b. 24 36 y 30 45 c. 55 121 y 60 132 d. 11 5 y 12 6 3. Determina el termino desconocido en cada proporción: a. 24 4 x 3 b. 12 9 72 x c. 25 x 40 64 d. 2 11 3 x3 e. x 2 si x y 28 y 5 f. x 15 si x y 8 y 11 4. Resolver los siguientes problemas: a. Un lápiz de 25 centímetros proyecta una sombra de 4 centímetros. ¿Cuánto mide un árbol que proyecta una sombra de 1.20 metros? b. Dos números están a razón 3/7. Si el menor de ellos es 189 ¿Cuál es el otro? c. Una inversión de $5500 produjo un rendimiento de $385 en un año, otra inversión produjo $560 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo. ¿Cuál era el valor de la segunda inversión? d. Dos obreros trabajan en un fábrica empacando calcetines, pero mientras uno empaca 3 cajas, el otro empaca 7 cajas. Si el más hábil ha empacado 91 cajas, ¿cuántas habrá empacado el otro? e. La suma de dos números es 2920 y se encuentra en razón 5/3. ¿Cuáles son los números? f. Dos ángulos suplementarios están a razón de 2 a 7. Encontrar sus medidas. COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO NOVENO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Una hora de clase Objetivo: Establece razones entre segmentos. GUIA N° 2: Razón de dos segmentos. La razón entre las longitudes de dos trozos de cuerda es de 4 a 5. Si el trozo mayor mide 40 cm, ¿Cuánto mide el otro trozo? La razón de dos segmentos es el cociente entre sus medidas. AB CD SEGMENTOS PROPORCIONALES: Dos segmentos AB y EF son proporcionales a los segmentos BC y FG si: AB BC EF FG EJEMPLO: Dados los siguientes polígonos halle la razón entre las longitudes de sus lados y determine si son proporcionales. HG FG LK JK Se plantea la proporción entre los lados de los rectángulos 4cm 3cm Se reemplazan las medidas 6cm 4,5cm 4 4,5 3 6 18 18 Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones Se cumple la igualdad por lo tanto los segmentos son proporcionales. ACTIVIDAD: 1. Si AB 6cm y AC 2cm , encontrar el valor de cada razón. a. AB a AC c. AC a AB b. AB a CB d. CB a AC 2. La razón entre las longitudes de dos segmentos es de 3 a 5. Si uno de ellos mide 30 cm, ¿Cuánto puede medir el otro? 3. Un segmento se divide en dos segmentos cuya razón es 5:3. Si la diferencia de las longitudes de los segmentos que resultan es 4 cm, encontrar la medida de cada uno. 4. Se corto un cable en dos partes tales que guardan la proporción 2 5 = entre ellos. Si 3 2 el cable mide en total 200 m ¿Cuál es la medida de cada parte del cable? 5. En el siguiente dibujo la razón entre la medida de total del segmento AC y el segmento AB es de 5 . ¿Cuál es la medida BC ? 2 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO NOVENO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Comprende y aplica el teorema de Thales en la solución de problemas. GUIA N° 3: Teorema de Thales. Teorema de Thales: Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas secantes entonces los segmentos determinados sobre los segmentos determinados sobre las secantes son proporcionales. AA ' BB ' CC ' l y s son secantes Se construye un segmento CA ' . a A' Z c A' Z en el CA ' C ', por teorema de rectas paralelas y b CZ d CZ AB A ' B ' división proporcional. Igualando las expresiones tenemos: . BC A ' C ' En el ACA ', I Del teorema de Thales se obtienen aplicaciones importantes: Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo y corta a los otros dos lados, entonces divide a estos dos lados en segmentos proporcionales. Si unja recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, entonces esa recta es paralela al tercer lado. La bisectriz de un ángulo interno de un triángulo divide al lado sobre el que se traza en segmentos proporcionales a los otros dos lados. EJEMPLO: Encuentra la longitud de los segmentos si en la figura AD BE CF . Si AB 14cm , BC 28cm y EF 32cm , hallar DE . Por el teorema de Thales tenemos: AB DE BC EF 14cm DE 28cm 32cm 14 32 28 DE DE Reemplazando los valores tenemos: Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones 448 Despejando DE tenemos 28 DE 16cm ACTIVIDAD: 1. Encontrar la longitud de los segmentos en cada caso: a. MO 42dm MO 42dm MN 22dm MN 22dm QR 20dm QR 20dm PQ ? PQ ? b. FJ 40m GK 50m IK 20m HJ ? JL ? 2. Una paralela a uno de los lados del triángulo determina en uno de los dos lados dos segmentos de 35 cm y 15 cm. ¿Cuál es la medida de los segmentos determinados en el otro lado si su medida es 60 cm? 3. Los lados de un triángulo miden 36 cm, 42 cm y 54 cm. En un triángulo semejante a este, el lado homologo del primero mide 24 cm, halla la medida de los otros dos lados de ese triángulo. 4. Los siguientes triángulos MNO y PQR son semejantes: Encuentra la medida de los lados PQ, QR y del ángulo 5. O. En la siguiente figura BD CA. Dado que AE 12, EB 28, CE 15, AC 18. Determina el valor de ED y BD 6. Hay dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 3 cm x 4 cm que luego es ampliada a 6 cm x 8 cm. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo. Si se ampliara solo el alto de la foto, es decir sus dimensiones fueran 3 cm x 8 cm ¿Cómo cambiaria el aspecto de la foto?. Si en la foto inicial se maneja una escala 1:20, y en la realidad la cabeza de la persona mide 25 cm. ¿Cuánto mide en la foto? 7. Demuestra el siguiente enunciado si ABC AC y DF respectivamente, entonces DEF , G y H son puntos medios de BG AB . EH DE 8. Realiza la siguiente demostración si DE AC entonces. BD BE . BA BC COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO NOVENO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Demuestra cuando dos polígonos son semejantes GUIA N° 4: Polígonos semejantes. Los lados de un polígono miden 4 cm, 6 cm, 8 cm, 10 cm y 12 cm respectivamente. ¿Cuáles serian las medidas de un polígono semejante si su lado mayor mide 20 cm? ¿Cuál sería la constante de proporcionalidad entre los lados de los dos polígonos? Dos polígonos son semejantes si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. La razón constante entre un lado del primer polígono y su lado correspondiente en el segundo polígono se denomina razón de semejanza. A A´, B B´, C C´, D D´. AB BC CD DE Estos lados reciben el nombre de lados homólogos. A´B´ B´C´ C´D´ D´E´ ACTIVIDAD: 1. Determinar si cada par de figuras son congruentes: a. b. 2. Escribe verdadero o falso según corresponda. Justifica tu respuesta. a. Dos rectángulos de cualquier tamaño siempre son semejantes.______ b. Dos cuadrados sin importar su tamaño siempre son semejantes.______ c. Dos triángulos isósceles siempre son semejantes.______ d. Un paralelogramo y un trapecio son semejantes.______ 3. Los lados de un paralelogramo mides 3 cm y 5 cm. Escribir las medidas de los lados de tres paralelogramos semejantes a él y las medidas de los ángulos que se forman en su interior. 4. Los polígonos ABCDE y A’B’C’D’E’ de la figura son semejantes. Si la razón de semejanza es 1 y AB 4cm, ¿Cuál es la medida de A ' B ' ? 2 5. Dados los rectángulos ABDC Y EFGH que son semejantes a. Escribir la razón entre sus lados. b. Escribir la razón entre sus perímetros. c. Hallar la razón entre sus áreas. 6. Un rectángulo MNPQ tiene 20 cm de base y 15 cm de altura. Calcular la base y la altura de otro rectángulo M’N’P’Q’ semejante al primero, si se sabe que la razón de semejanza es 5 . 3 COLEGIO SAN AGUSTIN I.E.D ASIGNATURA: GEOMETRÍA PROFESOR: DIANA CARDENAS GRADO NOVENO NOMBRE: __________________________ FECHA: _______________ Tiempo estimado: Dos horas de clase Objetivo: Conoce y aplica los criterios de semejanza de triángulos en la solución de problemas. GUIA N° 5: Semejanza de triángulos Un hombre de 1,75 m de altura proyecta una sombra de 2,5 m sobre el suelo, cuando se encuentra a 7m del pie de un poste. ¿Cuál es la altura del poste? TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA SEMEJANZA DE TRIANGULOS: Toda paralela trazada a un lado de un triángulo forma, con los otros dos lados, un triangulo semejante al primero. Hipotesis: ABC; DE AB Tesis: DEC ABC Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes: Primer criterio ángulo - ángulo (AAA): Si dos triángulos tienen los tres ángulos de uno respectivamente congruentes con los tres ángulos del otro, entonces los triángulos son semejantes. Por ejemplo para ABC y PQR se cumple que: A P B Q C R Luego, ABC PQR De este caso se puede concluir: Dos triángulos rectángulos son semejantes si tiene un ángulo agudo congruente. Dos triángulos isósceles son semejantes si tienen congruentes el ángulo del vértice o uno de los ángulos adyacentes de la base. Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados respectivamente paralelos o perpendiculares. Segundo criterio lado- ángulo –lado (LAL): Si dos triángulos tienen dos pares de lados correspondientes proporcionales y los ángulos formados por esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes. Para los triángulos FGH y OPQ se cumple: FG FH OP OQ F O Luego, FGH OPQ De este caso se puede concluir que dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen sus catetos proporcionales. Tercer criterio lado – lado – lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales. Por ejemplo, para los triángulos DEF y PQR se cumple que: PQ PR QR DE DF EF Luego, DEF PQR ACTIVIDAD: 1. Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta. a. Cualquier par de triángulos equiláteros son semejantes.________ b. Si dos triángulos tienen un ángulo interior igual a 120°, entonces son semejantes.______ c. Si los lados de dos triángulos son paralelos entonces son semejantes.______ 2. Determina si los siguientes pares de triángulos son semejantes aplicando los criterios de semejanza de triángulos. a. b. c. d. 3. En cada figura los triángulos son semejantes. Hallar el valor de los elementos indicados. a. x? y? b. BCA ? DCE ? DC ? 4. En una carretera se observa una señal de transito que indica que la vía tiene una pendiente de 15%, es decir, que cada 100 m medidos en la horizontal la carretera se eleva 15m. a. Determinar la elevación de la carretera si se miden 350 m de la horizontal. b. Determinar la elevación de la carretera si se miden 1,5 Km en la horizontal. 5. Construye una figura semejante a la dada: a. Un triangulo isósceles semejante a otro cuya base mide 4 cm y los ángulos de la base tienen 40°. b. Triangulo equilátero semejante a otro de 7 cm de lado. 6. Demuestra los criterios de semejanza de triángulos.
