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Alec J. Jeffreys
Hypervariable 'minisatellite' regions in
human DNA. Jeffreys, A.J., Wilson, V.
and Thein, S.L. Nature, 314, 67-73
(1985).
Un joven de Ghana, que deseaba reunirse con su madre en el Reino
Unido, vio rechazado el derecho de entrada por los servicios británicos
de inmigración. Los “exámenes habituales” no permitieron determinar
si el chico era el hijo o el sobrino de la mujer que pretendía ser su
madre. Sólo el análisis directo de la información genética contenida en
la molécula de ADN, de uno y otra, permite establecer la filiación sin
ambigüedad. La autorización de inmigración fue concedida.
Los marcadores genéticos y el teorema de
Bayes: el problema de paternidad
•La falacia del interrogador
•La potencia de la prueba
Eliseo Martínez H
Hector Varela V.
Depto. Matemáticas
Universidad de Antofagasta
Thomas BAYES (1702 - 1761)
La versión más sencilla del Teorema de
Bayes es como sigue:
C
?
A
P(C / A)
P(A)
Ocurre C
C
P(C / A) P(A)
P(A / C) = ?
P(C)
C
P(C / A )
C
P(A )
C
A
C
P(C) = P(C / A) P(A) + P(C / A ) P(A )
El caso de identificación de paternidad mediante el ADN
Existe cierta región en el ADN de alta variabilidad. Es
decir, en un determinado locus (lugar geométrico en el
cromosoma donde se ubica un gen) hay opción para varios
alelos existente en la población. Un alelo es una
manifestación del gen en ese locus.
En los esquemas que vienen a continuación
supondremos que estaremos trabajando en un locus de
alta variabilidad
Frecuencia del alelo
es p
p + p + ... + p + ... + p = 1
1
n
2
p
1
p
2
Locus





p
p
n
p es la
i
frecuencia
con que se
presenta el
alelo en una
determinada
población
Gen Z
Alelos para el gen
El caso de identificación de paternidad mediante el ADN
“constelación” madre - hijo
presunto padre acusado
Gen
“faltante”
madre
hijo
El padre
acusado lo
tiene
Definamos por F el suceso “el genotipo de la persona
acusada es compatible con la constelación madre-hijo”.
Sea H el suceso que que el padre acusado “es el verdadero
padre”
H
P(F / H)
P(H)
F
C
P(F / H )
C
P(H )
H
Estas también ... 1/2
C
Estas probabilidades la determina el SML
H
P(F / H)
P(H)
F
C
P(F / H )
C
P(H )
H
C
P(F / H) P(H)
P(H / F) =
C
C
P(F / H) P(H) + P(F / H ) P(H )
Explicación de las probabilidades involucradas
Probabilidad de ser el
Probabilidad
de ser
padre
dado que tiene
el el
verdadero
padre con
genotipo
F compatible
el sistema madre-hijo
Probabilidad de no
ser el verdadero
padre
P(F / H ) P(H)
P(H /F)
=
C
C
P(F / H ) P(H ) + P(F / H ) P(H )
Probabilidad de tener el
genotipo F dado que es el
verdadero padre
Probabilidad de tener el
genotipo F dado que no es el
verdadero padre
P(F / H ) P(H)
P(H /F)
=
C
C
P(F / H ) P(H ) + P(F / H ) P(H )
P(F / H )
P(H)
C
P(F / H )
P(H /F)
=
P(F / H )
C
P(H ) + P(H )
C
P(F / H )
P(F / H )
L=
C
P(F / H )
p = P (H)
Índice de paternidad
Lp
P(H / F) =
L p + (1-p)
si p = 1/2
P(H / F) =
L
L+1
Cálculo de P(F / H )
Bajo H el padre presunto está obligado a dar el gen faltante ...
por lo tanto, el otro gen (
) se rige por las leyes del azar...
Gen
“faltante”
madre
hijo
El padre
acusado
lo tiene
padre acusado
Cálculo de P(F / H )
Frecuencia del alelo
.
es p
P(F / H ) = p
. .
p + p + ... + p + ... + p = 1
1
n
2
p
1
p
2
Locus





p
p
n
p es la
i
frecuencia
con que se
presenta el
alelo en una
determinada
población
Gen Z
Alelos para el gen
Cálculo de P(F / H )
C
Bajo H el hombre acusado no está obligado a dar el gen faltante
por lo tanto, ambos alelos se rigen por las leyes del azar...
C
Gen
“faltante”
madre
hijo
Cálculo de P(F / H )
C
ambos
genes
c, ...
que
forman
elno
se rigena por
leyes
del azar
...
entonces
de modo
que,
tener
elgenotipo
mismo
genotipo
del las
padre
acusado
...
Bajo
H
no
serpara
el padre,
está obligado
dar
el
gen
faltante...
C
P(F / H ) = 2pq
p + p + ... + p + ... + q = 1
1
2
p
1
alelos del padre
acusado
p
2
Locus





p
q
...
Gen Z
Alelos para el gen
P(F / H )
L=
= p / 2pq = 1 / 2q
C
P(F / H )
donde q es la frecuencia poblacional del “alelo faltante”
Por ejemplo supongamos que el alelo faltante es el 14 del
marcador VWA, cuya frecuencia en la población chilena es de q
= 0.063. Se tiene que L = 7.93650, lo que para una probabilidad
a priori, P(H), de 1/2 nos entrega una probabilidad a posteriori
de P(H / F) = 0.888099
Este cálculo se repite de manera análoga en todos los
marcadores considerados. Se puede verificar que existen tres
formas de valores para el índice de paternidad. A saber:
L = 1/2q; L = 1/q; L = 1
Este análisis estadístico y molecular se realiza en un
determinado loci de alta variabilidad. Y se verifica, en virtud
de la independencia de los locus de este loci, que la
probabilidad de ser el verdadero padre, dado que el genotipo
del padre no es excluyente de la constelación madre - hijo, es
p
W  PrH / F  S  
p  (1  p)
Esta simbología significa que el hombre acusado tiene
el fenotipo compatible con la constelación madre-hijo
n
   Li
i 1
El producto de todos los índices de
paternidad en cada locus
Para un índice de paternidad conjunto de 450, y probabilidades a
priori de 0.3, 0.5 y 0.7 se tienen los valores de 0.994841, 0.997782 y
0.999048, respectivamente
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
Resolución 1.450 exenta: (Consideraciones estadísticas)
El laboratorio que realice análisis de paternidad por medio del
DNA deberá poseer un número de marcadores/loci con un Poder
de Exclusión a Priori en su conjunto de al menos 0.999. Si el
sistema no alcanza este valor, deberá considerarse el uso de otros
marcadores/loci que aseguren el mínimo indicado. En caso de
inclusión de paternidad de un porcentaje inferior a 99.9%,
deberán analizarse otros marcadores, hasta llegar a ese porcentaje
de inclusión o bien, excluir la paternidad.
Para determinar una exclusión de paternidad, ésta debe
necesariamente demostrarse en a lo menos dos marcadores
genéticos
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
El Poder de Exclusión A Priori en un conjunto de
marcadores genéticos es "la probabilidad de que en al
menos un marcador, una persona que no sea el padre
verdadero, sea excluído como tal ". En un conjunto de
marcadores se define como la probabilidad de excluir en
"al menos uno", lo cual se exige internacionalmente que
alcance probabilidades iguales o superiores al 99,9 %
(Dra. Lucía Cifuentes)
“Para determinar una exclusión de paternidad, ésta debe
necesariamente demostrarse en a lo menos dos marcadores
genéticos”. (Resolución del SML)
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
... en la práctica se excluye realmente con al menos tres
loci que demuestren incompatibilidad entre el padre
presunto y el hijo, (por el riesgo de las mutaciones) por
lo tanto lo que habitualmente se llama "Poder de
exclusión a priori" no corresponde en rigor a la
probabilidad de excluir con al menos tres loci (sino con
al menos uno), habría que corregir el cálculo
probabilístico para ser consecuentes y rigurosos, sin
embargo en todo el mundo se sigue utilizando como
medida de eficiencia del sistema al poder de exclusión
en al menos uno, cómputo que no contempla la
ocurrencia de mutaciones. (Dra. Lucía Cifuentes)
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
El algoritmo para determinar el poder de exclusión sigue los
siguientes pasos:
Determinar la probabilidad, de que una persona
cualquiera sea tenga un genotipo concomitante con la
constelación madre - hijo en el locus i
Para cada locus i la combinación madre - hijo es
necesariamente una y solo una de las siguientes formas
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
El sistema de alelos que necesariamente debió aportar el padre es
Por lo tanto la probabilidad de que una persona, que no sea el
verdadero padre, no sea excluido en el locus i, es
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
incluyente
1er locus
excluyente
2º locus
6º locus
P(0)
P(1)
P(2)
P(3)
P(4)
P(5)
P(6)
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
Por lo tanto la probabilidad de que una persona no sea excluyente
en ningún locus es
De manera que sea excluyente en algún locus es
El poder de exclusión a priori: la potencia de la prueba
Luego, según la normativa chilena, de que la exclusión ocurra en
al menos dos locus se tiene que la probabilidad de exclusión es
La probabilidad de exclusión en a lo menos tres marcadores es
Conclusiones
Modificaciones en la normativa sobre pruebas biológicas de
paternidad
a) la probabilidad a priori, p, debe ser determinada por el poder
judicial (puede asumirse que es 1/2).
b) Se debe crear una base de datos sobre las frecuencias alelícas
de alta variabilidad en la población chilena. (Por lo menos hasta
el año 2002 no existía)
c) El cálculo de la probabilidad de exclusión a priori se debe
realizar conforme a lo expuesto aquí. De otra forma, el poder de
exclusión a priori es la probabilidad de que se excluya a una
persona que no sea el padre en a lo menos dos marcadores.