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TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN Y LA
COMUNICACIÓN.
ESTRATEGIAS INNOVADORAS PARA
DOCENTES EMPRENDEDORES
TIC
INSTITUCIÓN EDUCATIVA “PRÓCERES DE LA
INDEPENDENCIA”
MATEMÁTICA DEL CUARTO GRADO.
PRIMER BIMESTRE 2009
Prof. Ricardo Manuel Atúncar Vásquez
Lic. Matemática – Física.
LOGICA PROPOSICIONAL.
Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor
asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Por ejemplo:
 El PERÚ SE ENCUENTRA EN AMERICA DEL NORTE.
4 + 5 = 4 + 7
Alemania se encuentra en el continente europeo.
San Martín el libertador nació en argentina.
La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los dos catetos
al cuadrado.
 La gripe del grupo A H1N1, se inicio en México
!que frió hace!
2x + 5 = 9
Perú Limita por el norte con Venezuela.
La raíz cuadrada de 16 es 8
La raíz cúbica de 27 es 2
LÓGICA PROPOSICIONAL COMPUESTA.
Los conectadores básicos de la lógica preposicional compuesta,( que se dan con dos
proposiciones simples, unidas por conectivos lógicos, llamados conectores) se dan en la
siguiente tabla.
PROPOSICIONES
CONJUNCIÓN
DISYUNCIÓN
IMPLICACIÓN
DOBLEIMPLICACI
ÒN
NEGACIÓN
p
q

V


p
q
v
v
v
v
v
v
f
f
v
f
f
v
f
f
f
v
f
v
f
v
v
f
v
f
f
f
f
f
v
v
v
v
Ejercicios:
1.- En cada una de las siguientes proposiciones, identifique cual
es verdadera y cual es falsa.
a) 9 2 = 64 …….( )
b) El Perú se encuentra en America del norte. ….( )
c) 2 + 6 = 8 – 2 ….( )
d) Uruguay se encuentra en Centro América …( )
2.- Dada las proposiciones:
p : Hay es viernes
q : Mañana es feriado
Expresa en el lenguaje coloquial, las proposiciones que a
continuación se presentan en lenguaje simbólico.
p  - q : (Hoy es viernes y mañana no es feriado) ejemplo.
- p v q : …..
- ( p v q): ……
2.- Evaluar las siguientes proposiciones utilizando tablas y decir
si es tautología, contradicción o contingencia.
- p  (p v q)
FUNCIONES
IMAGINES UNA MÁQUINA DUPLICADORA.
CAPAZ DE DUPLICAR TODO LO QUE INGRESA.
ENTRADA
2
3
4
ENTRADA
1 LAPICERO
3 LIBROS
s/. 8.00
Máquina
procesadora
Duplica y Suma 1
DUPLICA
2X
2 Lapiceros.
6 libros
S/. 16.00
SALIDA
2x+1
2(2) + 1 = 5
2 (3) + 1 = 7
2 (4) + 1= 9
SALIDA
Máquina
procesadora
CONCEPTO DE FUNCIÓN: En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y,
una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática
denotada que cumple con las siguientes dos condiciones: f : X  Y
Función de X en Y: la condición
de existencia asegura que de cada
elemento sale alguna flecha y la
de unicidad que sólo sale una.
•Dominio
•Conjunto de
parida
• preimagen
• Conjunto de
llegada.
•Rango de la
función.
•Imagen
Domf ={1; 2; 3; 4}
Ranf = {b; c; d}
f : A B
A
FUNCIÓN INYECTIVA: Una función de
FUNCIÓN
SURYECTIVA
SOBREYECTIVA.
O
f : A B
A
Una función f : A B es suryectiva, cuando el rango de la
función es igual al conjunto de llegada B
FUNCIÓN BIYECTIVA.
Cuando es inyectiva y suryectiva a la vez
.a
.b
.c
.d
1.
2.
3.
4.
F : A B, es inyectiva cuando a elementos distintos del
dominio se hace corresponder imágenes distintas, es
decir a ninguna imagen le llegan dos flechas.
B
B
1.
2.
3.
4.
5.
.a
.b
.c
f : A B
A
1.
2.
3.
4.
5.
B
.a
.b
.c
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN:
Identifique cual es las relaciones son funciones y cuales no
A
a
b
c
A
B
A
B
1
2
3
1
2
3
4
x
y
z
B
a
b
c
X
Y
Z
Identifica cual de los siguientes gráficos corresponde a una inyectiva.
R1
A
2
4
6
8
B
1
3
5
7
R2
A
B
1
4
5
8
2
3
5
6
R3
A
B
2
3
6
9
1
2
4
5
R4
A
B
2
3
6
8
9
1
2
3
4
7
PROGRESIONES.
PROGRESIÓN
ARITMÉTICA
PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA
SUMA DE
TÉRMINOS
SUMA DE
TÉRMINOS
EJERCICIOS
EVALUACIÓN.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de infinitos números reales a
1, a2, a3, a4, a5,..., an,... Cada uno de los números reales se llama término de la
sucesión.
El conjunto ordenado de números impares 3, 5, 7, 9, 11, 13,... es una sucesión de
números impares donde la d = 5 – 3 = 2; 7 – 5 = 2, que se le llama diferencia común o
la razón.
Generalizando este proceso se obtiene el término general:
an = a1 + (n - 1) d
Ejemplos:
El término 15 de la progresión aritmética 5, 8, 11, 14... es:
an = 5 + (15 - 1) · 3
a15= 5 + 14 . 3
a15= 5 + 42
a15= 47
El término 10 de una progresión aritmética en la que a1 = 13 y d = 2 es:
an = 13 + (10 - 1) · 2
a10 = 13 + 9 . 2
a10= 13 + 18
a10 = 31
FORMULAS DE UNA PROGRESIÓN
ARTIMÉTICA
PARA HALLAR EL
PRIMER TÉRMINO
a1 = a n – ( n – 1).d
Ejemplo:
Si an = 24; d = 2; n =
12
Hallar a1 = ¿?
a1 = 24 – (12 – 1) 2
a 1 = 24 – 11.2
a 1 = 24 – 22
a1=2
PARA HALLAR LA RAZÓN
O DIFERENCIA COMÚN
a n  a1
d
n1
Ejemplo:
Si a n = 24; a1 = 2
n = 12
Hallar d = ¿?
24  2
d
12  1
22
d
11
d2
PARA HALLAR EL
NÚMERO DE TÉRMINOS
n
a n  a1
1
d
Ejemplo:
Si a n = 24; a1 = 2
d=2
Hallar n = ¿?
24  2
n
1
2
22
n
1
2
n  11  1
n  12
SUMA DE TÉRMINOS DE
UNA PROGRESIÓN
ARITMÉTICA:
INTERPOLACIÓN DE MEDIOS
ARITMÉTICO.
a n  a1
d
n1
 a1  a n 
sn  
n
 2 
Hallar la suma de los
20 primeros términos
de una P.A. si se sabe
que: an = 63; a 1= 6
 6  63 
Sn  
.20
 2 
 69 
S n    20
 2 
S n  34,5 * 20
S n  690
Ejemplo: interpolar los 4 medios aritmético entre
los números 3 y 28.
Resolución: a 1= 3; a n = 28
d = 6 (hay que contar los dos términos dados,
que se llaman extremos, y los 4 que piden
intercalar.
28  3
61
25
d
5
5
d
3
8
13
15
23
28
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Una progresión es geométrica si entre cada par de términos consecutivos de ella hay una
razón constante denominada factor o razón geométrica de la progresión. Ejemplo: en la
P.G.:3: 6: 12: 24; la razón constante se encuentra dividiendo el término anterior del
posterior, en nuestro caso es: 6 : 3 = 2; 12 : 6 = 2; 24 : 12 = 2; entonces podemos decir que
la razón r = 2
FORMULA DEL
Ejemplo:
TÉRMINO ENÉSIMO ES :
Hallar el término 24 de la P.G. : 4: 12: 36: …..
a n  a1r n 1
Resolución:
Donde:
a n = 4 . 3 23
a 1 = Primer Término.
r = la razón.
n = Número de Términos.
a n = Término enésimo de la P.G.
a n = 4 . 3 24-1
Ejemplos:1
En una P.G., el término que
ocupa el quinto lugar es 48 y
las razón es 2. hallar el
primer término.
Resolución:
Ejemplo 2:
En una P.G. el término que ocupa el sexto lugar
es 486, y el primer término es 2. hallar la razón
de la progresión.
Resolución:
a 6 = 486; a 1 = 2; hallar r = ¿?
a 5 = 48; r = 2; hallar a 1 = ¿?
a1
a1
a1
a1
an
 n 1
r
48
 5 1
2
48 48
 4 
2
16
3
an
r  n 1
a1
r
6 1
486
2
r  5 243
r3
Ejemplo 3.
Ejemplo 4.
Interpolar
seis
medios
geométricos entre ½ y 64.
Resolución: a
64
1
=½ ; a
n
=
Nota: se utiliza la misma
fórmula para hallar la
razón de una P.G
an
r  n 1
a1
1/2
32
1
64
64
r
8 1 1
2
2
r  128
8
7
r2
4
16
Calcular la suma de los 5 primeros términos de
la P.G. 4 : 12 : 36 : 108 : 324
Resolución:
Sn
Sn
Sn
Sn
Sn
Sn
a1 r n  1

r 1
43 5  1

31
4243  1

2
4242 

2
968


2
 484
Resolución de problemas:
Resuelve problemas problemas de progresión aritmética y
geométrica.
1.- Halla el término de lugar 22 de la P.A. – 31; - 26; - 21; - 16;
…….
2. Interpolar 4 medios aritméticos entre: 1 y 36
3. Hallar el octavo término de la progresión geométrica: 1: 2: 4:
8 : …….
4. Sabiendo que: a 1 = 7 y r = 2. hallar la suma de los nueve
primeros términos de la progresión geométrica.
NOTA: PUEDEN LLEVARSE LA PREGUNTAS Y
RESPONDER EN SUS CASAS, ENTREGARLAS EL DIA DE
MAÑANA, ES SU EVALUACIÓN FINAL.
ÁNGULOS.
Se llama ángulo a la unión de dos rayos que
tienen el mismo punto extremo. A los dos
rayos se le llama lados del ángulo y a su
punto extremo común se le llama vértice.
A
Lado
Elementos de un ángulo:
Vértice.- Es el origen "O" común de los
rayos.
Lados.- Son los rayos que forman el ángulo.
C
Vértice
Notación.- A un ángulo, se le denota con los
siguientes: , , , , cn letras y números.
Bisectriz.- Bisectriz de un ángulo, es un rayo
que partiendo del vértice divide al ángulo en
dos ángulos iguales.
Bisectriz
B
Lado
CLASES DE ÁNGULOS.
Ángulo recto: está formado por el
cruce de dos rectas perpendiculares
que forman la cuarta parte de una
revolución, es decir, 90º.
Ángulo obtuso: un ángulo
obtuso tiene una abertura mayor
a la del ángulo recto, Pero menor
que 180º.
Ángulo agudo: un ángulo agudo tiene
una abertura menor a la del ángulo
recto.
Ángulo llano: es aquel cuya medida es
180ª
Ángulos Complementarios:
Dos ángulos cuyas medidas es 90ª
B
Ángulos Consecutivos:
Cuya suma de sus ángulos es 360º
C
A
B
O
A
O
C
< AOC + < COB = 90º
m < AOB + m < BOC + m < AOC = 360º
Ángulos Suplementarios:
Cuyas medidas es 180º
Cuya suma de sus medidas es 360º
B
C
B
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL
VERTICE.
A
O
A
O
D
m < AOB + m < BOC +
m < COD = 180º
D
C
m < AOB + m < BOC + m < COD + m DOA = 360º
TRIÁNGULOS
B
Es un polígono de tres lados, es
decir, una porción de plano
limitada por tres segmentos
unidos, dos a dos, por sus
extremos. Los tres segmentos que
limitan el triángulo se denominan
lados, y los extremos de los lados,
vértices.
En un triángulo se consideran dos
tipos de ángulos : interior
(formado por dos lados) y exterior
(formado por un lado y la
prolongación de otro).
y
x
A
z
C
ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO
LADOS: AB; BC; AC
VERTICES: A; B; C
ÁNGULOS: A; B; C ( interiores)
Ángulo Exterior: x; y; z
CLASIFICACIÓN DE LOS
TRIÁNGULOS.
Según sus lados
Equiláteros (sus tres lados
iguales)
Isósceles (dos lados iguales y
uno desigual)
Escaleno (tres lados
desiguales)
T. EQUILÁTERO
T. ISÓCELES
T. ESCALENO
Según sus ángulos
Rectángulos (un ángulo recto)
Acutángulos (tres ángulos
agudos)
Obtusángulos (un ángulo
obtuso)
RECTÁNGULO
ACUTÁNGULO
OBTUSÁNGULO
LÍNEAS EN EL
TRIÁNGULO
Alturas:
son
perpendiculares a
que pasan por
opuesto, el punto
cruzan estas tres
llama ortocentro.
segmentos
un lado y
el ángulo
donde se
alturas se
Medianas:
son
los
segmentos que van desde un
vértice a la mitad del lado
opuesto, el punto donde se
cruzan se llama baricentro.
Mediatrices:
Son segmentos
perpendiculares a los lados que se
trazan desde el punto medio, el
punto donde se cruzan se llama
circuncentro, este punto es el
centro de una circunferencia que
se circunscribe al triángulo.
Bisectrices: Las bisectrices de
un triángulo son segmentos que
dividen cada ángulo en dos partes
iguales, las bisectrices se cortan en
un punto llamado incentro, este
punto es el centro de una
circunferencia inscrita.
EVALAUCIÓN: R.D. Identifica las propiedades y resuelve.
1. ¿Cuáles son los elementos del triángulo?
a) La altura, la bisectriz, los lados
b) Los lados, ángulos internos, ángulos
externos, lados y vértices.
4.El punto donde se cruzan las tres
alturas se llama.
a) Ortocentro
b) Baricentro
c) La altura, los lados, las vértices
c) Incentro
2. Los ángulos consecutivos son aquellos
que:
5. El punto donde se cruzan las tres
bisectrices se llama.
a) Miden 180º
a) Circuncentro
b) Suman sus ángulos 90º
b) incentro
c) Suman 360º
c) Ortocentro
3. Los triángulos por sus lados se
clasifican.
6. El punto donde se cruzan las tres
mediatrices se llama.
a) equiláteros, isósceles, escalenos.
a) Baricentro
b) rectángulo, isósceles y escaleno
b) Incentro.
c) Equiláteros, acutángulos y equiláteros
c) Circuncentro
POLÍGONOS
Un polígono es la región
interior de una línea
poligonal cerrada y no
cruzada. Sus elementos
son: los lados, los vértices,
las diagonales, ángulo
interior y ángulo exterior.
A la línea que lo rodea se
la llama contorno del
polígono.
PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
1. La suma de los ángulos
interiores de un polígono de
n lados es 180(n-2).
2. En un polígono convexo la
suma de los ángulos exteriores es
360.
3. Número de diagonales
(segmentos que unen vértices no
consecutivos) de un polígono es
Dn = n (n-3)/2
4. Ángulo interior
El ángulo interior de un polígono regular
de "n" lados se calcula con la fórmula:
(n-2) × 180° / n
Por ejemplo el ángulo interior de un
octágono (8 lados) es:
(8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135°
Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 =
2×180°/4 = 90°
Ángulo exterior
Los ángulos exterior e interior se
miden sobre la misma línea, así
que suman 180°.
Por lo tanto el ángulo exterior es
simplemente 180° - ángulo
interior
El ángulo interior de este
octágono es 135°, así que el
ángulo exterior es 180°-135° = 45°
El ángulo interior de un hexágono
es 120°, así que el ángulo exterior
es 180°-120° = 60°
Número de
lados
Nombre del polígono
3
Triángulo
4
Cuadrilátero
5
Pentágono
6
Hexágono
7
Heptágono
8
Octágono
9
Eneágono o Nonágono
10
Decágono
11
Endecágono
12
Dodecágono
13
Triskaidecágono
14
Tetradecágono
15
Pentadecágono
16
Hexadecágono
17
Heptadecágono
18
Octadecágono
19
Eneadecágono
CUADRILÁTEROS
Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados. Los
cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos tienen
cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la
suma de los ángulos interiores es igual a 360º.
RECTÁNGULO
CUADRADO
RECTÁNGULO
PARALELOGRAMOS
NO RECTÁNGULO
CUADRILÁTEROS
ROMBO
ROMBOIDE
NO
TRAPECIOS
PARALELOGRAMOS TRAPECIOS
TRAPEZOIDE
CUADRILÁTEROS: PROPIEDAD FUNDAMENTAL.Un
cuadrilátero es un polígono de 4 lados, La suma de los
ángulos interiores es 360º
CLASIFICACIÓNDE LOS CUADRILÁTEROS.
PARALELOGRAMAMO. Un paralelogramo es un cuadrilátero que
tiene sus lados paralelos dos a dos.
TRAPECIO. Es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros
dos no.
TRAPEZOIDE. Es un cuadrilátero que no tiene ninguno de sus lados
paralelo a otro.
PARALELOGRAMO
TRAPECIO
TRAPEZOIDE
CLASIFICACIÓN DE LOS PARALELOGRAMOS
EL CUADRADO. Tiene todos los lados iguales y sus vértices forman ángulos rectos (de
90º).
EL RECTÁNGULO. Tiene los lados iguales dos a dos. Sus vértices también forman ángulos
rectos.
EL ROMBO. Tiene todos sus lados iguales pero sus vértices tienen ángulos distintos al
ángulo recto e iguales dos a dos.
EL ROMBOIDE. Tiene los lados iguales dos a dos y sus ángulos iguales dos a dos y distintos
del ángulo recto.
CUADRADO
RECTÁNGULO
ROMBO
ROMBOIDE
CLASES DE TRAPECIOS.
•El trapecio tiene dos de sus cuatro lados paralelos, los otros dos
no.
•El trapecio rectángulo se caracteriza porque uno de los ángulos es
un ángulo recto.
•El trapecio isósceles se caracteriza porque sus dos lados no
paralelos tienen el mismo tamaño.
TRAPECIOS
ISÓSCELES
TRAPECIO
RECTÁNGULO
TRAPECIO
ESCALENO
EJERCICIOS.
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN.
5.- Como se clasifican los trapecios.
1.- la suma de los ángulos interiores de
un polígono es igual a:
a) T. rectángulo, t. isósceles, t.
escaleno
a) 180(n-2).
b) T. escaleno, T. isósceles, T.
equilátero.
B) 180(n-2)/2 c) 120(n-2)
2.- Un decágono tiene:
a) 5 lados
b) 10 lados
c) 11 lados
3.- Como se clasifican los cuadriláteros.
a) Paralelogramo, trapecio, trapezoide
b) Paralelogramo, rectángulo, trapezoide
c) Romboide, rombo, rectángulo
4.- Cual es la clasificación de los
paralelogramos.
a) rectángulo, cuadrado, rombo, romboide
b) Cuadrado, rectángulo, equilátero
c) Rombo, romboide, cuadrado, isósceles
c) T. paralelogramo, T. escaleno, T.
isósceles.
6.- Un polígono de 16 lados se llama.
a) Hexadecágono.
b) Pentadecágono
c) Icoságono.
7 .- Los ángulos internos de un
cuadrilátero suman.
a ) 180º
b) 360 º
c) 270º