Download Frecuencia y probabilidad.

U.D. 15 * 2º ESO
PROBABILIDAD
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
1
U.D. 15.2 * 2º ESO
FRECUENCIAS RELATIVAS
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
2
Frecuencias
•
Experimento 1: Lanzamos una
moneda al aire 100 veces.
La frecuencia absoluta es el número
de veces que se repite dicho suceso:
f(Cara)=f(C)= 65
f(Cruz)=f(X)= 35
vi
fi
hi
hi
Cara
65
65/100
0,65
•
Cruz
35
35/100
0,35
•
•
100
100/100
1
•
•
•
•
@ Angel Prieto Benito
La frecuencia relativa es el cociente
entre la frecuencia absoluta y el
número de veces que se repite el
experimento:
h(Cara)=h(C)= f(C)/N =65/100 = 0,65
h(Cruz)=h(X)= f(X)/N = 35/100 =0,35
Es muy conveniente expresar la
frecuencia relativa en forma decimal.
Apuntes Matemáticas 2º ESO
3
Frecuencias
vi
fi
hi
hi
Cara
475
475
-----1000
0,475
Cruz
525
525
-----1000
0,525
1000
1000
------1000
1
@ Angel Prieto Benito
•
Experimento 2 : Continuamos tirando
una moneda al aire hasta 1000 veces.
•
Las frecuencias absolutas de los
sucesos “Obtener cara” y “Obtener
cruz” resultan:
f(Cara)=f(C)= 475
f(Cruz)=f(X)= 525
•
•
•
•
•
•
•
•
Las frecuencias relativas de ambos
sucesos son:
h(Cara)=h(C)= f(C)/N = 475/1000 =
= 0,475
h(Cruz)=h(X)= f(X)/N =525/1000 =
= 0,525
Observar que las frecuencias
relativas tienden a igualarse.
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4
Frecuencias
vi
fi
hi
Cara
498 321
0,498321
Cruz
501 679
0,501679
1 000 000
1
•
Experimento 3: Continuamos
tirando una moneda al aire hasta
un millón de veces.
•
Las frecuencias absolutas de los
sucesos “Obtener cara” y
“Obtener cruz” resultan:
f(Cara)=f(C)=498 321
f(Cruz)=f(X)= 501 679
•
•
•
•
•
•
@ Angel Prieto Benito
Las frecuencias relativas de
ambos sucesos son:
h(Cara)=h(C)= 0,498321
h(Cruz)=h(X)= 0,501679
Observar que las frecuencias
relativas son casi iguales.
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5
Ley del azar
•
•
•
La Ley de los grandes números o Ley del azar dice: La frecuencia relativa
de un suceso tiende a estabilizarse en un número cuando el número de
repeticiones es suficientemente grande.
Ese número recibe el nombre de PROBABILIDAD DE DICHO SUCESO.
Y se denota por P(A)
•
•
•
•
En el ejemplo de la moneda:
p(Cara)=p(C )=0,5 = 1 / 2
p(Cruz)=p(X )=0,5 = 1 / 2
En otras palabras: Aunque no sepamos el resultado de una tirada concreta,
si repetimos un número de veces muy elevado, el número de caras y el de
cruces resultará prácticamente el mismo.
•
La probabilidad de un suceso, p(A), es siempre un número comprendido
entre 0 y 1.
La probabilidad del suceso seguro es siempre 1.
La probabilidad del suceso imposible es siempre 0.
•
•
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
6
La chincheta
•
•
vi
fi
hi
Pincho
29
0,2900
Cabeza
71
0,7100
100
1
vi
Fi
hi
Pincho
397
0,3970
Cabeza
603
0,6030
•
1000
1
•
vi
fi
hi
Pincho
329 658
0,3297
Cabeza
670 342
0,6703
1 000 000
1
@ Angel Prieto Benito
•
•
•
•
Experimento 4
Tiramos al aire una chincheta 100,
1000, 1000000 de veces y anotamos si
cae de pincho o de cabeza.
Lo mismo daría lanzar al aire una sola
vez 100, 1000 ó 1000000 chinchetas.
Confeccionamos en ambos casos las
tablas de frecuencias.
Observamos la evolución de las
frecuencias relativas, hi.
El valor de la frecuencia relativa tiende
a estabilizarse. Y ese valor será la
probabilidad de que la chincheta caiga
de pincho o de cabeza.
P(Caer de pincho) = hi (Pincho) = 1/3
P(Caer de cabeza) = hi (Cabeza)= 2/3
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7
Frecuencias
xi
•
Experimento 5 : Lanzamos un dado
al aire 100 veces.
La frecuencia absoluta es el número
de veces que se repite dicho suceso:
f(5)= 23
f(6)= 12
fi
hi
hi
1
5
5/100
0,05
•
2
10
10/100
0,10
•
•
3
35
35/100
0,35
4
15
15/100
0,15
5
20
23/100
0,23
6
15
12/100
0,12
100
100/100
1
@ Angel Prieto Benito
•
•
•
•
La frecuencia relativa es el cociente
entre la frecuencia absoluta y el
número de veces que se repite el
experimento:
h(5)= f(5)/N =23/100 = 0,23
h(6)= f(6)/N = 12/100 =0,12
Observar que las frecuencias del “5”
son casi el doble que del “6”.
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8
Frecuencias
xi
fi
hi
1
147
0,147
2
130
0,130
3
350
0,350
4
150
0,150
5
103
0,103
6
120
0,120
1000
1
@ Angel Prieto Benito
•
Experimento 6 : Seguimos lanzando
el mismo dado hasta 1000 veces.
•
•
•
Las frecuencias absolutas de los
sucesos “Obtener un 5” y “Obtener un
6” resultan:
f(5)= 103
f(6)= 120
•
•
•
Las frecuencias relativas valdrán:
h(5)= f(5)/N = 103/1000 = 0,103
h(6)= f(6)/N = 120/1000 = 0,120
•
Observar que las frecuencias del “5”
son ahora mayores que las del “6”.
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9
Frecuencias
xi
•
Experimento 7 : Continuamos
tirando un dado al aire hasta un
millón de veces.
•
Las frecuencias absolutas de los
sucesos “Obtener 5” y “Obtener 6”
resultan:
f(5) = 168 498
f(6) = 165 679
fi
hi
1
171 638
0,171638
2
166 679
0,166679
3
167 501
0,167501
4
160 005
0,160005
•
•
5
168 498
0,168498
•
6
165 679
0,165679
1 000 000
1
•
•
•
@ Angel Prieto Benito
Las frecuencias relativas de
ambos sucesos son:
h(5) = 0,168498
h(6) = 0,165679
Observar que las frecuencias
relativas son casi iguales.
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10
Ley del azar
•
•
•
La Ley de los grandes números o Ley del azar dice: La frecuencia relativa
de un suceso tiende a estabilizarse en un número cuando el número de
repeticiones es suficientemente grande.
Ese número recibe el nombre de PROBABILIDAD DE DICHO SUCESO.
Y se denota por p(A)
•
En el ejemplo del dado:
•
•
•
•
•
•
p(1) = 0,166666 = 1 / 6
p(2) = 0,166666 = 1 / 6
p(3) = 0,166666 = 1 / 6
p(4) = 0,166666 = 1 / 6
p(5) = 0,166666 = 1 / 6
p(6) = 0,166666 = 1 / 6
•
En otras palabras: Aunque no sepamos el resultado de una tirada concreta,
si repetimos un número de veces muy elevado, el número de unos, doses,
treses, cuatros, cincos y seises resultará prácticamente el mismo.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
11
Problemas propuestos
•
Experimento 8
•
Un grupo de 10 amigos acuerdan salir •
todos los días, pero cada día su
número es muy variado.
Hacer una simulación del número de
amigos que se reune al cabo de 100 •
días.
Lo mismo al cabo de 300 días.
•
Igualmente al cabo de 500 días.
•
•
•
•
•
•
•
•
Según esa simulación:
¿Qué probabilidad hay de que un día
cualquiera se reunan 5 amigos?.
•
¿Qué probabilidad hay de que un día
cualquiera se reunan 8 amigos?.
¿Qué probabilidad hay de que un día
cualquiera se reunan 9 ó 10 amigos?.
@ Angel Prieto Benito
Experimento 9
Arrojamos 100 barras de
plástico o madera (o una sola
barra 100 veces), de 12 cm de
longitud, al suelo.
El suelo se compone de
baldosas cuadradas de 12 cm
de lado.
¿Qué probabilidad hay de que
una barra cualquiera quede
dentro del entorno de una
baldosa, sin sobresalir por
ningún lado de la misma?.
Nota: Suponemos para el
experimento que el ancho de la
barra arrojada es muy pequeño,
despreciable.
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12