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Curso: Trigonometría
Audis Quinde
Tema:
Identidades Trigonométricas
para un mismo Arco
- Identidades Fundamentales
- Deducción de Fórmulas
- Ejercicios aplicativos
 Identidades Fundamentales:
Identidades Pitagóricas:
Se denominan de esa manera por que son producto de la aplicación del
Teorema de Pitágoras con las razones trigonométricas
Sen   Cos   1
2
C
A

2
Tg   1  Sec 
2
2
B
A2  B 2  C 2
(Teorema de Pitágoras)
Ctg   1  Csc 
2
2
 Identidades Fundamentales:
Identidades Recíprocas:
Se denominan de esa manera por que son obtenidas al efectuar el producto
entre dos razones recíprocas. Ejm: “Seno y Cosecante”
Sen.Csc  1
C
A

B
No olvides que: Sen 
Cos.Sec  1
Tg .Ctg  1
C.O A
C.O A
C. A B

 ; Cos 

; Tg 
Hip C
Hip C
C. A B
 Identidades Fundamentales:
Identidades por Cociente:
Denominadas así por que cada una de ellas representa la división o cociente
entre otras dos razones trigonométricas.
Sen
Tg 
Cos
C
A

B
Cos
Ctg 
Sen
OK… pero… ¿de donde salen esas fórmulas?
 Deducción de Fórmulas
Veamos este ejemplo:
Hipótesis : Sen 2  Cos 2  1
Como ésta es una “Identidad Pitagórica”, usaremos el “Teorema de Pitágoras” para su
demostración … listos?
Del triángulo trigonométrico sabemos que:
Sen 
C
A
B
y Cos 
C
C
… entonces:
2
 A
B
Sen     y Cos 2   
C 
C 
A
2

A2  B 2
Sen   Cos  
C2
B
2
2
A2  B  C 2
2
(Teorema de Pitágoras)
Por lo tanto:
C2
Sen   Cos   2  1
C
2
2
2
 Deducción de Fórmulas
Una deducción más para que quede clara la idea ok?
Sen
Hipótesis : Tg 
Cos
Como ésta es una “Identidad por Cociente“, vamos a dividir las razones Seno y Coseno
para la deducción.
Del triángulo trigonométrico sabemos que:
A
B
y Cos 
C
C
A
A
Sen C
A
Pero :  Tg
Dividiendo :
 
Cos B B
B
C
Sen 
C
A

B
Por lo tanto:
Tg 
Sen
Cos
 Ejercicios aplicativos
Ahora veamos cómo se resuelven algunos ejercicios:
1. Simplifica:

E  Cosx.Ctgx  Cscx 1  Sen 2 x

Solución: Por lo general, es conveniente convertir todo a Senos y Cosenos. Entonces
i ) Ctgx 
Cosx
...Id . por cociente
Senx
ii ) Cscx 
1
... Id . Recíproca
Senx
iii )1  Sen 2 x  Cos 2 x... Id . Pitagórica
Reemplazando las identidades tenemos:
E  Cosx.
Cosx
1

.Cos 2 x
Senx Senx
Cos 2 x Cos 2 x Cos 2 x  Cos 2 x


Multiplicando y agrupando: E 
Senx
Senx
Senx
Y llegamos a la respuesta:
0
E
0
Senx
 Ejercicios aplicativos
1. Simplifica:
M  1  2Sen .Cos  Sen
Solución: Recordemos que una de las identidades Pitagóricas es
Sen   Cos    1 Reemplazando tenemos:
M  Sen   Cos    2Sen .Cos  Sen
2
2
2
2
¿Esto no es un producto notable?... Sí:
M
Sen  Cos 2  Sen
M  Sen  Cos  Sen
Y llegamos a la respuesta:
M  Cos
 Resumen de Fórmulas
Identidades Fundamentales
Pitagóricas :
Por Cociente :
Recíprocas :
Sen 2 x  Cos 2 x  1
Senx
Tgx 
Cosx
Cosx
Ctgx 
Senx
Senx.Cscx  1
Tg 2 x  1  Sec 2 x
Ctg x  1  Ctg x
2
2
Cosx.Secx  1
Tgx.Ctgx  1
Ahora a seguir practicando …