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Curso: Trigonometría Audis Quinde Tema: Identidades Trigonométricas para un mismo Arco - Identidades Fundamentales - Deducción de Fórmulas - Ejercicios aplicativos Identidades Fundamentales: Identidades Pitagóricas: Se denominan de esa manera por que son producto de la aplicación del Teorema de Pitágoras con las razones trigonométricas Sen Cos 1 2 C A 2 Tg 1 Sec 2 2 B A2 B 2 C 2 (Teorema de Pitágoras) Ctg 1 Csc 2 2 Identidades Fundamentales: Identidades Recíprocas: Se denominan de esa manera por que son obtenidas al efectuar el producto entre dos razones recíprocas. Ejm: “Seno y Cosecante” Sen.Csc 1 C A B No olvides que: Sen Cos.Sec 1 Tg .Ctg 1 C.O A C.O A C. A B ; Cos ; Tg Hip C Hip C C. A B Identidades Fundamentales: Identidades por Cociente: Denominadas así por que cada una de ellas representa la división o cociente entre otras dos razones trigonométricas. Sen Tg Cos C A B Cos Ctg Sen OK… pero… ¿de donde salen esas fórmulas? Deducción de Fórmulas Veamos este ejemplo: Hipótesis : Sen 2 Cos 2 1 Como ésta es una “Identidad Pitagórica”, usaremos el “Teorema de Pitágoras” para su demostración … listos? Del triángulo trigonométrico sabemos que: Sen C A B y Cos C C … entonces: 2 A B Sen y Cos 2 C C A 2 A2 B 2 Sen Cos C2 B 2 2 A2 B C 2 2 (Teorema de Pitágoras) Por lo tanto: C2 Sen Cos 2 1 C 2 2 2 Deducción de Fórmulas Una deducción más para que quede clara la idea ok? Sen Hipótesis : Tg Cos Como ésta es una “Identidad por Cociente“, vamos a dividir las razones Seno y Coseno para la deducción. Del triángulo trigonométrico sabemos que: A B y Cos C C A A Sen C A Pero : Tg Dividiendo : Cos B B B C Sen C A B Por lo tanto: Tg Sen Cos Ejercicios aplicativos Ahora veamos cómo se resuelven algunos ejercicios: 1. Simplifica: E Cosx.Ctgx Cscx 1 Sen 2 x Solución: Por lo general, es conveniente convertir todo a Senos y Cosenos. Entonces i ) Ctgx Cosx ...Id . por cociente Senx ii ) Cscx 1 ... Id . Recíproca Senx iii )1 Sen 2 x Cos 2 x... Id . Pitagórica Reemplazando las identidades tenemos: E Cosx. Cosx 1 .Cos 2 x Senx Senx Cos 2 x Cos 2 x Cos 2 x Cos 2 x Multiplicando y agrupando: E Senx Senx Senx Y llegamos a la respuesta: 0 E 0 Senx Ejercicios aplicativos 1. Simplifica: M 1 2Sen .Cos Sen Solución: Recordemos que una de las identidades Pitagóricas es Sen Cos 1 Reemplazando tenemos: M Sen Cos 2Sen .Cos Sen 2 2 2 2 ¿Esto no es un producto notable?... Sí: M Sen Cos 2 Sen M Sen Cos Sen Y llegamos a la respuesta: M Cos Resumen de Fórmulas Identidades Fundamentales Pitagóricas : Por Cociente : Recíprocas : Sen 2 x Cos 2 x 1 Senx Tgx Cosx Cosx Ctgx Senx Senx.Cscx 1 Tg 2 x 1 Sec 2 x Ctg x 1 Ctg x 2 2 Cosx.Secx 1 Tgx.Ctgx 1 Ahora a seguir practicando …