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Tema 8 del libro
T1
Dibujo Geométrico
3ºESO-curso 2014-2015
Por Rafael Quintero
Para empezar
El dibujo geométrico
ESTUDIA
LAS PROPIEDADES Y
MEDIDAS
DE LAS FIGURAS
EN EL ESPACIO
APORTA
CLARIDAD Y
PRECISIÓN EN
LAS MEDIDAS Y LAS
FORMAS
ELEMENTOS BÁSICOS
Instrumentos y y materiales
básicos
ESCUADRA Y CARTABÓN
ESTILÓGRAFOS
A
Puntos
B
s
Líneas
r
LÁPICES Y PORTAMINAS
COMPÁS Y ADAPTADOR
PLANTILLAS DE CURVAS
β
α
Planos
Tipos de líneas según la dirección que adopten
QUEBRADAS
RECTAS
t
r
CURVAS
t
s
u
s
ampliación
Tipos de rectas. ¿Cómo las veremos?
verticales
horizontales
ampliación
Tipos de rectas. Otras formas de llamarlas
El ángulo entre dos rectas determina los siguientes tipos:
R.Paralelas
Mismo ángulo
R. Perpendiculares
90 º
R. Oblicuas
Diferente ángulo
ampliación
Trazados geométricos básicos
Rectas paralelas y perpendiculares
Construcción de paralelas 1
Recta paralela a otra por un punto exterior
Método del compás
B
A
s
r
P
Q
Trazados fundamentales en el plano
Mediatriz de un segmento, es lo mismo que
división de un segmento en dos partes iguales
o trazar una perpendicular a un segmento por
su punto medio
Trazado de la Perpendicular a una
semirrecta por su extremo
1. Con centro en el punto A y radio arbitrario se
traza un arco
Trazado de la Mediatriz de un segmento
2. Con centro en el punto B y el mismo radio se
traza un arco
1. Con centro en A y radio arbitrario se trazan dos
arcos de circunferencia.
3. Con centro en el punto C y el mismo radio se
traza un arco
2. Con centro en B y el mismo radio se trazan dos
arcos de circunferencia.
3. La recta s que une los puntos D y E es la
perpendicular al segmento por el punto medio C
4. Con centro en el punto D y el mismo radio se
traza un arco
5. La recta s que une el punto E con el A es la
perpendicular a r
Trazados fundamentales en el plano
Trazado de la perpendicular a una recta
por un punto exterior a ella
1. Con centro en A y radio arbitrario se traza un
arco
2. Con centros en B y C y radio arbitrario se trazan
sendos arcos
3. La recta s que une los puntos D y A es la
perpendicular buscada
Trazados geométricos básicos
Trazados con ángulos
Trazados fundamentales en el plano
•
Ángulos
Suma y diferencia de ángulos
1. Sobre una recta r se toma un punto C
arbitrario
2. Con centros en A, B y C, y radio arbitrario,
se trazan arcos iguales
3. Con centro en H y radio DE se describe un
arco
Suma: Con centro en I y radio FG se describe
otro arco en el mismo sentido
Diferencia: Con centro en I y radio FG se
describe otro arco en sentido contrario al
anterior
La recta s que une los puntos C y J forma
con r el ángulo buscado
ampliación
Trazados fundamentales en el plano
•
Ángulos
Trazado de la bisectriz de un ángulo: Es lo mismo que dividir un ángulo en dos
partes/ángulos iguales
1. Se traza un arco de centro A y radio arbitrario
2. Se trazan dos arcos de igual radio arbitrario
3. La recta que une A y D es la bisectriz del
ángulo
Trazado de la bisectriz de un ángulo con el vértice
fuera del dibujo
1. Se traza una recta arbitraria que corte a r y s
2. Se trazan las bisectrices de los ángulos que se
forman
3. La recta que une C y D es la bisectriz del
ángulo
Trazados fundamentales en el plano
División del ángulo recto en tres partes iguales
1. Con centro el vértice A se traza arco de radio
arbitrario obteniendo los puntos B y C
s
C
D
2. Con el mismo radio se trazan arcos con centros
B y C obteniendo los puntos D y E
E
A
B
r
3. Las rectas AD y AE dividen al ángulo recto en
tres partes iguales
Los polígonos
Definición: figuras geométricas planas, limitadas por lados que se cortan
en los vértices.
partes de un
polígono
clasificación
regulares
irregulares
d
c
c
d
b
a
a
•lados
•vértices
•diagonales
lados y ángulos
iguales
lados y ángulos
diferentes
ampliación
b
Construcción de polígonos regulares
Conocido el lado
Los triángulos 2
C
A
c
Construcción de un triángulo
equilátero conocido el lado
T. Equiláteros: es aquel que tiene sus
tres lados y sus tres ángulos iguales
B
Polígonos
Construcción de un cuadrado
Construir un cuadrado conociendo el
lado
1. Sobre una recta se dibuja el lado
2. Por A se dibuja la perpendicular
3. Con centro en A y radio AB se
dibuja un arco
4. El cuarto vértice se halla trazando
arcos de radio AB
Polígonos
Construcción de un pentágono
Polígono de 5 lados, conociendo el lado
1. Se traza la mediatriz de AB
2. Por B se traza la perpendicular a AB
3. Con centro en B y radio AB se traza
un arco
4. Con centro en F y radio FG se traza
otro arco
5. Con centro en A y radio AH se traza
un tercer arco
6. El vértice E se halla trazando dos
arcos de radio AB
Polígonos
Construcción de un heptágono
Polígono de 7 lados, conociendo el lado
1. Se traza la mediatriz de AB
2. Por B se traza la perpendicular a AB
3. Con vértice en A se construye un
ángulo de 30º
4. Con centro en A y radio AH se traza
un arco
5. Con centro en O y radio OA se dibuja
una circunferencia
Polígonos
Construcción de un octógono
Polígono de 8 lados, conociendo el lado
1. Se traza la mediatriz de AB
2. Con centro en I y diámetro AB se traza
una circunferencia
3. Con centro en J y radio JB se traza
otra circunferencia
4. Con centro en O y radio OA se traza
una tercera circunferencia
5. Los vértices se hallan trazando arcos
de radio AB
Polígonos
Polígonos regulares / polígono de n lados, conociendo el lado
Polígonos de n lados, conociendo el lado (AB)
Dado el segmento AB
1. Con radio AB y centros en A y en B se
trazan dos arcos para hallar el punto O de
la mediatriz
2. O es el centro del hexágono de lado AB
C
3. Localizar el punto C de intersección de
la circunferencia de centro O y radio OB
con la mediatriz de AB
12
11
10
9
8
4. Se divide el radio OC en seis partes
iguales obteniendo los puntos 7,8,... y 12
7
O
5. Estos puntos son los centros de las
circunferencias circunscritas a los
polígonos de 7,8,….11 y 12 lados
A
B
Construcción de polígonos regulares
Conociendo el radio
Polígonos
Polígono de 3, 6 ó 12 lados, conociendo el radio
Hexágono
Con centro en A y G se trazan dos arcos
del mismo radio
Otros polígonos:
Triángulo equilátero
Dodecágono
Polígonos
Polígono de 4, 8 ó 16 lados, conociendo el radio
Cuadrado
Se traza la mediatriz del diámetro AE
Otros polígonos
Octógono
Polígonos
Polígono de 5 ó 10 lados, conociendo el radio
Pentágono
1. Se traza la mediatriz del radio OL
2. Con centro en M y radio MA se traza un
arco. AN es el lado del pentágono
3. Con centro en A y radio AN se traza
otro arco
Otros polígonos
Decágono
Polígonos
Polígono de 7 ó 14 lados, conociendo el radio
Heptágono
Se traza la mediatriz del radio OA
El segmento PS es el lado del heptágono
Otros polígonos
Polígono de catorce lados
Polígonos
Polígonos de n lados, conociendo el radio
1. Se divide el diámetro en n partes
2. Con centro en A y radio AL se traza un arco
3. Con centro en L y radio AL se traza un arco
4. Se une M con el punto número 2
5. AB es el lado del polígono
Construcción de polígonos
Polígonos estrellados
Polígonos
Construcción de un octógono regular estrellado
Polígonos estrellados (I)
1. Se divide la circunferencia en un número
de partes iguales
2. Se unen los vértices de manera no
consecutiva
El número de polígonos estrellados que
hay de un determinado número de vértices
es el siguiente:
El trazado debe comenzar en un vértice
y, recorriendo todos, debe cerrar en el
que se comenzó
Siendo:
v: Número de vértices
p: Número de polígonos estrellados
n: Forma de unir los vértices
Polígonos
Construcción de un eneágono regular estrellado
Polígonos estrellados (II)
Eneágono regular estrellado
Existen dos polígonos regulares estrellados
de nueve vértices:
1. Uniendo los vértices de dos en dos
2. Uniendo los vértices de cuatro en cuatro
curvas
espirales
SON DOS TRAZADOS
QUE NO ESTÁN AQUI
Construye una espiral de dos centros a partir de los puntos dados
Construye una espiral de tres centros a partir de los puntos dados
Construye una espiral de tres centros a partir de los puntos dados
curvas
Óvalos y ovoides
Curvas técnicas
Construcción de un óvalo conociendo el eje mayor
El óvalo es una curva cerrada formada generalmente
por cuatro arcos de circunferencia iguales dos a dos;
tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí
Sea MN el eje mayor del óvalo
1. Se divide MN en tres partes iguales
2. Con centros en O1 y O2 se trazan dos
circunferencias de radio O1M = O2N
3. O3 y O4 son los centros de los otros dos
arcos del óvalo
Curvas técnicas
Construcción de un ovoide conociendo el eje menor
Los ovoides son curvas cerradas de la misma
naturaleza que los óvalos. Por lo tanto tienen también
sus mismas propiedades. Pero hay una diferencia
importante:
- Así como los óvalos son simétricos respecto a sus
dos ejes, los ovoides sólo lo son respecto a su eje
mayor, lo que les confiere su aspecto característico,
parecido a un huevo.
Sea el diámetro ST
1. Se dibuja la circunferencia de diámetro ST
2. Se traza el diámetro perpendicular a ST
3. Los punto O1, O2, O3 y O4 son los centros
de los arcos del ovoide
curvas
tangencias
Tangencias y enlaces
1
Propiedades de las tangencias
Si dos circunferencias son tangentes,
el punto de tangencia está en la recta
O1O2
Si una circunferencia pasa por dos
puntos, el centro está en la
mediatriz
Si una recta es tangente a una
circunferencia el punto de tangencia está
en la perpendicular a r, trazada por O
Si una circunferencia es tangente a dos
rectas el centro está en la bisectriz
Tangencias y enlaces
Rectas tangentes a una circunferencia
El punto está en la circunferencia:
1. Se unen los puntos O y M
2. Con centro en M y radio OM se traza
una circunferencia
También se puede hacer con la
escuadra y el cartabón
3. Con el mismo radio y centro en el último
punto de intersección se trazan dos arcos
4. La recta r que une A y M es la tangente
Dos rectas tangentes a una circunferencia desde un punto
Dada la circunferencia
de centro O y el punto
M:
1 Se dibuja el segmento
OM y se halla el punto
medio A del mismo
mediante el trazado de
la mediatriz.
B
O
A
M
2 Con centro en el punto A y radio AO =
AM se traza la circunferencia que corta
a la dada en los puntos B y C, puntos de
tangencia de las soluciones.
C
3 Se une el punto M con los puntos B y C
mediante las rectas r y s.
Rectas tangentes a dos circunferencias /Tangentes exteriores
Rectas tangentes exteriores:
1. Con centro en O2 se traza la circunferencia de radio r2 – r1
2. Se trazan las rectas m y n tangentes a la circunferencia anterior
3. Se trazan las rectas O2B y O2C
4. Por O1 se trazan las paralelas a los radios anteriores
5. Las rectas r y s son las que unen los puntos de tangencia
Rectas tangentes a dos circunferencias /Tangentes interiores
Rectas tangentes interiores:
1. Con centro en O2 se traza la circunferencia de radio r2 + r1
2. Se trazan las rectas m y n tangentes a la circunferencia anterior
3. Se trazan las rectas O2B y O2C
4. Por O1 se trazan las paralelas a los radios anteriores
5. Las rectas r y s son las que unen los puntos de tangencia
Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan (Rrr)
1. Se trazan las rectas paralelas a r y s, a una distancia R
2. Los puntos O1, O2, O3 y O4 son los centros de las circunferencias
Enlaces
Dibujo Técnico
1º BACHILLERATO
Enlazar puntos no alineados con arcos de circunferencia conociendo uno de los radios
1. Trazamos mediatriz del segmento AB y
un arco de centro el punto A y radio R.
Obtenemos O1 como intersección de las
anteriores. Con centro O1 trazamos arco AB
O5
2. Trazamos mediatriz de BC que corta a la
recta O1B en el punto O2 y se traza arco BC
3. Trazamos mediatriz de CD que corta a la
recta O2C en el punto O3 y se traza arco CD
y así sucesivamente
F
O3
C
D
O2
O4
B
E
O1
A
R
curvas
Curvas cónicas
Curvas cónicas
Circunferencia
Curva de intersección de una
superficie cónica con un plano
perpendicular al eje
Elipse
Curva de intersección de una superficie
cónica con un plano en el que b > a
Curvas cónicas
Parábola
Curva de intersección de una
superficie cónica con un plano en el
que a = b
Hipérbola
Curva de intersección de una superficie
cónica con un plano en el que b < a
Curvas cónicasS
Construcción de la elipse
1. Con centro en S y radio OM se traza un
arco hasta cortar al eje en F1 y F2
2. Se elige un punto A del eje y con radios
AM y AN y centro en F1 y F2 se trazan arcos
que se cortan dos a dos
3. Se eligen otros puntos B, C, etc y se
repite la operación
Curvas cónicas
Construcción de la parábola
1. Se elige un punto A del eje y se traza
la perpendicular al mismo
2. Con radio AM y centro en F se trazan
dos arcos hasta cortar a la
perpendicular en P y P’
3. Se eligen otros puntos B, C, etc y se
repite la operación
Curvas cónicas
Construcción de la hipérbola
1. Se elige un punto A del eje y con
radios AM y AN y centro en F1 y F2 se
trazan arcos que se cortan dos a dos
2. Se eligen otros puntos B, C, etc y se
repite la operación