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Tema 8 del libro T1 Dibujo Geométrico 3ºESO-curso 2014-2015 Por Rafael Quintero Para empezar El dibujo geométrico ESTUDIA LAS PROPIEDADES Y MEDIDAS DE LAS FIGURAS EN EL ESPACIO APORTA CLARIDAD Y PRECISIÓN EN LAS MEDIDAS Y LAS FORMAS ELEMENTOS BÁSICOS Instrumentos y y materiales básicos ESCUADRA Y CARTABÓN ESTILÓGRAFOS A Puntos B s Líneas r LÁPICES Y PORTAMINAS COMPÁS Y ADAPTADOR PLANTILLAS DE CURVAS β α Planos Tipos de líneas según la dirección que adopten QUEBRADAS RECTAS t r CURVAS t s u s ampliación Tipos de rectas. ¿Cómo las veremos? verticales horizontales ampliación Tipos de rectas. Otras formas de llamarlas El ángulo entre dos rectas determina los siguientes tipos: R.Paralelas Mismo ángulo R. Perpendiculares 90 º R. Oblicuas Diferente ángulo ampliación Trazados geométricos básicos Rectas paralelas y perpendiculares Construcción de paralelas 1 Recta paralela a otra por un punto exterior Método del compás B A s r P Q Trazados fundamentales en el plano Mediatriz de un segmento, es lo mismo que división de un segmento en dos partes iguales o trazar una perpendicular a un segmento por su punto medio Trazado de la Perpendicular a una semirrecta por su extremo 1. Con centro en el punto A y radio arbitrario se traza un arco Trazado de la Mediatriz de un segmento 2. Con centro en el punto B y el mismo radio se traza un arco 1. Con centro en A y radio arbitrario se trazan dos arcos de circunferencia. 3. Con centro en el punto C y el mismo radio se traza un arco 2. Con centro en B y el mismo radio se trazan dos arcos de circunferencia. 3. La recta s que une los puntos D y E es la perpendicular al segmento por el punto medio C 4. Con centro en el punto D y el mismo radio se traza un arco 5. La recta s que une el punto E con el A es la perpendicular a r Trazados fundamentales en el plano Trazado de la perpendicular a una recta por un punto exterior a ella 1. Con centro en A y radio arbitrario se traza un arco 2. Con centros en B y C y radio arbitrario se trazan sendos arcos 3. La recta s que une los puntos D y A es la perpendicular buscada Trazados geométricos básicos Trazados con ángulos Trazados fundamentales en el plano • Ángulos Suma y diferencia de ángulos 1. Sobre una recta r se toma un punto C arbitrario 2. Con centros en A, B y C, y radio arbitrario, se trazan arcos iguales 3. Con centro en H y radio DE se describe un arco Suma: Con centro en I y radio FG se describe otro arco en el mismo sentido Diferencia: Con centro en I y radio FG se describe otro arco en sentido contrario al anterior La recta s que une los puntos C y J forma con r el ángulo buscado ampliación Trazados fundamentales en el plano • Ángulos Trazado de la bisectriz de un ángulo: Es lo mismo que dividir un ángulo en dos partes/ángulos iguales 1. Se traza un arco de centro A y radio arbitrario 2. Se trazan dos arcos de igual radio arbitrario 3. La recta que une A y D es la bisectriz del ángulo Trazado de la bisectriz de un ángulo con el vértice fuera del dibujo 1. Se traza una recta arbitraria que corte a r y s 2. Se trazan las bisectrices de los ángulos que se forman 3. La recta que une C y D es la bisectriz del ángulo Trazados fundamentales en el plano División del ángulo recto en tres partes iguales 1. Con centro el vértice A se traza arco de radio arbitrario obteniendo los puntos B y C s C D 2. Con el mismo radio se trazan arcos con centros B y C obteniendo los puntos D y E E A B r 3. Las rectas AD y AE dividen al ángulo recto en tres partes iguales Los polígonos Definición: figuras geométricas planas, limitadas por lados que se cortan en los vértices. partes de un polígono clasificación regulares irregulares d c c d b a a •lados •vértices •diagonales lados y ángulos iguales lados y ángulos diferentes ampliación b Construcción de polígonos regulares Conocido el lado Los triángulos 2 C A c Construcción de un triángulo equilátero conocido el lado T. Equiláteros: es aquel que tiene sus tres lados y sus tres ángulos iguales B Polígonos Construcción de un cuadrado Construir un cuadrado conociendo el lado 1. Sobre una recta se dibuja el lado 2. Por A se dibuja la perpendicular 3. Con centro en A y radio AB se dibuja un arco 4. El cuarto vértice se halla trazando arcos de radio AB Polígonos Construcción de un pentágono Polígono de 5 lados, conociendo el lado 1. Se traza la mediatriz de AB 2. Por B se traza la perpendicular a AB 3. Con centro en B y radio AB se traza un arco 4. Con centro en F y radio FG se traza otro arco 5. Con centro en A y radio AH se traza un tercer arco 6. El vértice E se halla trazando dos arcos de radio AB Polígonos Construcción de un heptágono Polígono de 7 lados, conociendo el lado 1. Se traza la mediatriz de AB 2. Por B se traza la perpendicular a AB 3. Con vértice en A se construye un ángulo de 30º 4. Con centro en A y radio AH se traza un arco 5. Con centro en O y radio OA se dibuja una circunferencia Polígonos Construcción de un octógono Polígono de 8 lados, conociendo el lado 1. Se traza la mediatriz de AB 2. Con centro en I y diámetro AB se traza una circunferencia 3. Con centro en J y radio JB se traza otra circunferencia 4. Con centro en O y radio OA se traza una tercera circunferencia 5. Los vértices se hallan trazando arcos de radio AB Polígonos Polígonos regulares / polígono de n lados, conociendo el lado Polígonos de n lados, conociendo el lado (AB) Dado el segmento AB 1. Con radio AB y centros en A y en B se trazan dos arcos para hallar el punto O de la mediatriz 2. O es el centro del hexágono de lado AB C 3. Localizar el punto C de intersección de la circunferencia de centro O y radio OB con la mediatriz de AB 12 11 10 9 8 4. Se divide el radio OC en seis partes iguales obteniendo los puntos 7,8,... y 12 7 O 5. Estos puntos son los centros de las circunferencias circunscritas a los polígonos de 7,8,….11 y 12 lados A B Construcción de polígonos regulares Conociendo el radio Polígonos Polígono de 3, 6 ó 12 lados, conociendo el radio Hexágono Con centro en A y G se trazan dos arcos del mismo radio Otros polígonos: Triángulo equilátero Dodecágono Polígonos Polígono de 4, 8 ó 16 lados, conociendo el radio Cuadrado Se traza la mediatriz del diámetro AE Otros polígonos Octógono Polígonos Polígono de 5 ó 10 lados, conociendo el radio Pentágono 1. Se traza la mediatriz del radio OL 2. Con centro en M y radio MA se traza un arco. AN es el lado del pentágono 3. Con centro en A y radio AN se traza otro arco Otros polígonos Decágono Polígonos Polígono de 7 ó 14 lados, conociendo el radio Heptágono Se traza la mediatriz del radio OA El segmento PS es el lado del heptágono Otros polígonos Polígono de catorce lados Polígonos Polígonos de n lados, conociendo el radio 1. Se divide el diámetro en n partes 2. Con centro en A y radio AL se traza un arco 3. Con centro en L y radio AL se traza un arco 4. Se une M con el punto número 2 5. AB es el lado del polígono Construcción de polígonos Polígonos estrellados Polígonos Construcción de un octógono regular estrellado Polígonos estrellados (I) 1. Se divide la circunferencia en un número de partes iguales 2. Se unen los vértices de manera no consecutiva El número de polígonos estrellados que hay de un determinado número de vértices es el siguiente: El trazado debe comenzar en un vértice y, recorriendo todos, debe cerrar en el que se comenzó Siendo: v: Número de vértices p: Número de polígonos estrellados n: Forma de unir los vértices Polígonos Construcción de un eneágono regular estrellado Polígonos estrellados (II) Eneágono regular estrellado Existen dos polígonos regulares estrellados de nueve vértices: 1. Uniendo los vértices de dos en dos 2. Uniendo los vértices de cuatro en cuatro curvas espirales SON DOS TRAZADOS QUE NO ESTÁN AQUI Construye una espiral de dos centros a partir de los puntos dados Construye una espiral de tres centros a partir de los puntos dados Construye una espiral de tres centros a partir de los puntos dados curvas Óvalos y ovoides Curvas técnicas Construcción de un óvalo conociendo el eje mayor El óvalo es una curva cerrada formada generalmente por cuatro arcos de circunferencia iguales dos a dos; tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí Sea MN el eje mayor del óvalo 1. Se divide MN en tres partes iguales 2. Con centros en O1 y O2 se trazan dos circunferencias de radio O1M = O2N 3. O3 y O4 son los centros de los otros dos arcos del óvalo Curvas técnicas Construcción de un ovoide conociendo el eje menor Los ovoides son curvas cerradas de la misma naturaleza que los óvalos. Por lo tanto tienen también sus mismas propiedades. Pero hay una diferencia importante: - Así como los óvalos son simétricos respecto a sus dos ejes, los ovoides sólo lo son respecto a su eje mayor, lo que les confiere su aspecto característico, parecido a un huevo. Sea el diámetro ST 1. Se dibuja la circunferencia de diámetro ST 2. Se traza el diámetro perpendicular a ST 3. Los punto O1, O2, O3 y O4 son los centros de los arcos del ovoide curvas tangencias Tangencias y enlaces 1 Propiedades de las tangencias Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta O1O2 Si una circunferencia pasa por dos puntos, el centro está en la mediatriz Si una recta es tangente a una circunferencia el punto de tangencia está en la perpendicular a r, trazada por O Si una circunferencia es tangente a dos rectas el centro está en la bisectriz Tangencias y enlaces Rectas tangentes a una circunferencia El punto está en la circunferencia: 1. Se unen los puntos O y M 2. Con centro en M y radio OM se traza una circunferencia También se puede hacer con la escuadra y el cartabón 3. Con el mismo radio y centro en el último punto de intersección se trazan dos arcos 4. La recta r que une A y M es la tangente Dos rectas tangentes a una circunferencia desde un punto Dada la circunferencia de centro O y el punto M: 1 Se dibuja el segmento OM y se halla el punto medio A del mismo mediante el trazado de la mediatriz. B O A M 2 Con centro en el punto A y radio AO = AM se traza la circunferencia que corta a la dada en los puntos B y C, puntos de tangencia de las soluciones. C 3 Se une el punto M con los puntos B y C mediante las rectas r y s. Rectas tangentes a dos circunferencias /Tangentes exteriores Rectas tangentes exteriores: 1. Con centro en O2 se traza la circunferencia de radio r2 – r1 2. Se trazan las rectas m y n tangentes a la circunferencia anterior 3. Se trazan las rectas O2B y O2C 4. Por O1 se trazan las paralelas a los radios anteriores 5. Las rectas r y s son las que unen los puntos de tangencia Rectas tangentes a dos circunferencias /Tangentes interiores Rectas tangentes interiores: 1. Con centro en O2 se traza la circunferencia de radio r2 + r1 2. Se trazan las rectas m y n tangentes a la circunferencia anterior 3. Se trazan las rectas O2B y O2C 4. Por O1 se trazan las paralelas a los radios anteriores 5. Las rectas r y s son las que unen los puntos de tangencia Circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan (Rrr) 1. Se trazan las rectas paralelas a r y s, a una distancia R 2. Los puntos O1, O2, O3 y O4 son los centros de las circunferencias Enlaces Dibujo Técnico 1º BACHILLERATO Enlazar puntos no alineados con arcos de circunferencia conociendo uno de los radios 1. Trazamos mediatriz del segmento AB y un arco de centro el punto A y radio R. Obtenemos O1 como intersección de las anteriores. Con centro O1 trazamos arco AB O5 2. Trazamos mediatriz de BC que corta a la recta O1B en el punto O2 y se traza arco BC 3. Trazamos mediatriz de CD que corta a la recta O2C en el punto O3 y se traza arco CD y así sucesivamente F O3 C D O2 O4 B E O1 A R curvas Curvas cónicas Curvas cónicas Circunferencia Curva de intersección de una superficie cónica con un plano perpendicular al eje Elipse Curva de intersección de una superficie cónica con un plano en el que b > a Curvas cónicas Parábola Curva de intersección de una superficie cónica con un plano en el que a = b Hipérbola Curva de intersección de una superficie cónica con un plano en el que b < a Curvas cónicasS Construcción de la elipse 1. Con centro en S y radio OM se traza un arco hasta cortar al eje en F1 y F2 2. Se elige un punto A del eje y con radios AM y AN y centro en F1 y F2 se trazan arcos que se cortan dos a dos 3. Se eligen otros puntos B, C, etc y se repite la operación Curvas cónicas Construcción de la parábola 1. Se elige un punto A del eje y se traza la perpendicular al mismo 2. Con radio AM y centro en F se trazan dos arcos hasta cortar a la perpendicular en P y P’ 3. Se eligen otros puntos B, C, etc y se repite la operación Curvas cónicas Construcción de la hipérbola 1. Se elige un punto A del eje y con radios AM y AN y centro en F1 y F2 se trazan arcos que se cortan dos a dos 2. Se eligen otros puntos B, C, etc y se repite la operación