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GEOMETRÍA PLANA
APUNTES REALIZADOS POR ANTONIO CUESTA
DEFINICIÓN : Es la ciencia que estudia las propiedades, extensión y medidas de las superficies.
P
PUNTO : Es la intersección de dos líneas.
LÍNEA RECTA : Es la sucesión de puntos en una misma dirección.
SEMIRRECTA : Es parte de la recta limitada en un extremo.
SEGMENTO : Es la parte de la recta limitada en sus extremos.
.
B
C
.
A.
A
A
.B
LÍNEA CURVA : Es la sucesión de puntos que no están en una misma dirección.
DESIGNACIÓN : PUNTO = A,B,C, (MAYÚSCULAS)
RECTA = a,b,c, ( MINÚSCULAS)
PLANOS Y ÁNGULOS = LETRAS GRIEGAS
SIGNOS GEOMETRICOS
TRIÁNGULO
CUADRADO
DIÁMETRO
ÁNGULO
ARCO
AB
MENOR QUE
CARTABÓN
ESCUADRA
MAYOR QUE
IGUAL QUE
PARALELO
60º
45º
PERPENDICULAR
LONGITUD
RADIO
L
r
SEGMENTO
AB
ÁNGULO DE 90º
.
90º
45º
30º
90º
UTILIZACIÓN DE LA ESCUADRA Y EL CARTABÓN MÁS SENCILLAS :
RECTAS HORIZONTALES
RECTAS VERTICALES
RECTAS OBLICUAS
MEDIATRIZ : Es la recta que divide a un segmento en dos partes iguales.
También sirve para trazar una perpendicular.
.
r
.
A
.
B
.
A
.
C
r
.
B
A
r
.
C
.
B
.
.
r
A
Por A arco mayor que la
mitad del segmento
.
B
.
D
Dada el segmento A - B.
r
D
Por B igual y donde corte
obtenemos C y D.
Se une C y D que será la
recta buscada.
RECTA PERPENDICULAR : Es la recta que se cruza o se corta con otra formando un ángulo de 90º.
RECTA PERPENDICULAR A OTRA DESDE UN PUNTO DADO
.
.
P
P
.
m
.
m
A
.
.
.
.
P
r
B
r
Dada la recta m y el punto P
m
A
r
r=r
Por P arco cualquiera y nos
da A y B.
.
.
.
.
P
r
B
C
r=r=r
Por A y B arco igual. Nos da C.
m
A
r
r
B
r
r
C
Unir C con P. Recta buscada.
RECTA PERPENDICULAR A UNA SEMIRRECTA
.
D
. .
. .
B
m
.
r
r
m
P
Dada la recta m y el punto P.
Por P arco cualquiera.
A
. .
. .
r
r
P
Por A se repite dos veces el
mismo arco y nos da B y C.
D
A
r
r
P
Por B y C se repite el mismo
arco y da D.
r
B
C
r
m
. .
. .
r
B
C
.
r
m
A
C
r
P
Unir P con D. Recta buscada.
RECTAS PARALELAS : Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta.
RECTA PARALELA A UN SEGMENTO
.
.
C
.
A
.
B
Dado el segmento A -B.
.
.
A
.
.
B
Perpendicular por A y B.
r
A
.
.
D
r
B
Radio iguales desde A y B.
Y da los puntos C y D.
.
.
C
r
A
.
.
D
r
B
Por C y D unir y nos da la
recta buscada.
RECTA PARALELA A UNA RECTA.
.
.
.
P
.
r
m
A
B
.
.
r
P
.
r
m
A
.
.
C
m
.
.
P
r
B
r=r
Por A arco igual al de P y
nos da B.
Dada la recta m y el punto P.
Por P arco cualquiera y nos da A.
.
.
P
r
C
r
A
r
m
B
r=r
Por A y B arco igual a la
distancia B - P.
A
Unir P con C, recta buscada.
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES ( TEOREMA DE TALES ).
r
4
4
3
r
2
2
1
A
B
A
B
r
3
(=)
1
A
B
A
B
(=) = PARALELAS
Dado el segmento A - B.
Á
N
Por A semirrecta r con
cualquier inclinación.
Se divide la semirrecta r en
tantas partes iguales como
quieras dividir el segmento.
G
U
L
Se une el 4 con el B.Se trazán
paralelas al seg. 4B, quedando
dividido el seg. A - B en cuatro
partes iguales.
O
S
DEFINICIÓN: Apertura de dos líneas que se cortan en un punto llamado vértice.
TIPOS DE ÁNGULOS:
.
A
A = 90º
A
A
90º
A = 180º
.
90º
A
Ángulo RECTO
A
Ángulo LLANO
Ángulo OBTUSO
Ángulo AGUDO
BISECTRiZ : Es la línea que divide al ángulo en dos partes iguales.
CASO GENERAL
.
. .
A
V
B
Dado un ángulo V cualquiera.
Su arco nos da el punto A y B.
.
. .
A
r
V
B
Por A arco mayor que la
mitad de la distancia A - B.
..
. .
A
r
C
V
B
r
Se repite lo de A en B y nos
da el punto C.
..
. .
A
r
V
B
C
r
Unir V con C. Bisectriz del
ángulo.
BISECTRÍZ CUYO VÉRTICE NO APARECE EN EL DIBUJO
.
.
s
m
.
. .
.
s
A
D
m
Recta cualquiera que corta a
m y s. Nos da el punto A y B.
B
s
A
D
C
B
Dado las rectas m y s.
.
. .
.
s
A
C
m
m
B
Por A y B bisectrices de los
ángulos formados y nos da C y D.
Unir C con D, recta buscada.
BISECTRÍZ CUYO VÉRTICE NO APARECE EN EL DIBUJO (POR RECTAS PARALELAS)
m
m
(=)
m1
.
. .
(=)
m1
s1
s
m
(=)
m1
..
. .
s1
(=)
r
B
A
r
A
B
r
s1
(=)
s
(=)
m1
..
. .
r
A
(=)
m
s1
(=)
s
s
(=) = PARALELAS
Dadas las rectas m y s. Se
trazan rectas paralelas y a la
misma distancia m1 y s1.
Donde corte m1 y s1. Nos da
el punto A.
Por A se halla la bisectriz y
nos da el punto B.
RESTA DE ÁNGULOS
V
SUMA DE ÁNGULOS
. ..
A
.
V
B
V
V1
Unir A con B y será la bisectriz
del ángulo formado por las
rectas m y s.
. ..
.
. ..
A
.
V
..
.
A
V1
. .
V1
B
B
Por A arco AB en V.
Se hace la misma operación
en V1.
En V1 se va a restar V.
Por V1 arco igual que V.
V1
.
A
V1
Por A arco AB en V.
Se hace la misma operación
en V1.
En V1 se vá a sumar V.
Por V1 arco igual que V.
.
B
B
B
.
(+)
V1
(-)
Se une V1 con B, el ángulo
que queda es la resta de V.
Se une V1 con B, el ángulo que
queda es la suma de los dos.
DIFERENTES CASOS DE ÁNGULOS
DIVIDIR UN ÁNGULO DE 90º EN TRES PARTES IGUALES
m
m
m
.
m
. .
.
. .
D
A
.
.
s
V
Dada las rectas m y s
perpendiculares entre sí y
que se cortan en V.
r
Desde V arco cualquiera (r)
y nos da A y B.
r
.
s
V
r
C
.
V
s
B
Desde A y B arco igual al
anterior (r).
s
Donde corta obtenemos C y D.
Unir C y D con V. Habiendo
dividido el ángulo en tres
partes iguales.
DIVIDIR UN ÁNGULO LLANO EN TRES PARTES IGUALES
. .
. . . . . . . . .
C
r
.
m
V
Dada la recta m y el punto V.
A
r
V
B
Por V arco cualquiera y nos
da A y B.
A
D
r
V
B
A
Por A y B arco de radio AV y BV.
V
B
Y nos dan los puntos C y D,
unir con V.
Queda el ángulo dividido en
3 partes iguales.
CONSTRUCCIÓN DE UN ÁNGULO DE 45º
.
m
m
A
.
V
CONSTRUCCIÓN DE UN ÁNGULO DE 60º
A
.
.
s
B
Dada las rectas m y s
perpendiculares entre sí y
que se cortan en V.
Desde V arco cualquiera y
nos da A y B.
.
V
.
45º
.
.
.
C
s
B
Se une A con B y el ángulo
que forma es de 45º.
.
A
r
C
.
s
B
Dada la recta s se toma un
punto cualquiera (A)
contenido en la recta y desde
A se traza un arco cualquiera
y nos da B lo mismo se hace
desde B.
.
A
60º
.
B
En la intersección nos da C.
Se une A con C y nos da el
ángulo buscado.
T
R
I
Á
N
G
U
L
O
S
DEFINICIÓN: Son superficies que poseen tres lados y tres ángulos.
CLASIFICACIÓN:
C
C
C
a=b=c
c
a
A) SEGÚN SUS LADOS:
a
A
a=b=c
a=b=c
B
b
A
EQUILÁTERO
A
B
b
ESCALENO
C
C
c
A) SEGÚN SUS ÁNGULOS:
a
a
A
.
B
b
A
c
c
a
B
b
A
B
b
A = 90º
A
RECTÁNGULO
B
b
ISÓSCELES
C
c
a
c
ACUTÁNGULO
90º
OBTUSÁNGULO
PUNTOS Y LÍNEAS NOTABLES:
ALTURAS
MEDIANAS
A
.
.. .
Son las distancias de cada
vértice (A,B,C) lado opuesto.
El punto común de las tres
alturas se llama
ORTOCENTRO (Oc).
MEDIATRICES
A
A
. . .
.
1/2
1/2
Bc.
Oc.
B
BISECTRIZ
C B
1/2
Son las distancias de cada
vértice (A,B,C) al punto medio
del lado opuesto. El punto
común de las tres medianas se
llama BARICENTRO (Bc); que
resulta ser el centro de
gravedad del triángulo.
Ic.
C B
A
.
.
1/2
C B
Son las bisectrices de cada
ángulo del triángulo. las
bisectrices se cortan en un
mismo punto llamado
INCENTRO (Ic); que resulta ser
el centro de la circunferencia
inscrita al triángulo.
.
1/2
.
1/2
Cc.
.
Son las mediatrices de cada
uno de los lados del triángulo.
las tres rectas se cortan en un
mismo punto llamado
CIRCUNCENTRO (Cc); que
resulta ser el centro de la
circunferencia circunscrita al
triángulo.
C
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CONOCIDO LOS 3 LADOS
.
C
a
b
b
c
.
c
A
Dado los segmentos a-b-c
.
B
a
Base del triángulo el lado a = AB
Con centro en A arco = b
Con centro en B arco = c
c
b
.
A
.
B
a
Donde se cruzan los arcos punto C
Unir A - B y C
.
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CONOCIDO 2 LADOS Y UN ÁNGULO
C
a
b
da
er
cu
X
.
Dado los segmentos a-b y el ángulo X
.
.
X
A
da
er
cu
b
Base del triángulo el lado a = AB
En A ángulo X
Con centro en B arco b
.
X
A
B
a
b
B
a
Donde se cruzan el arco con la cuerda
del ángulo se obtiene el punto C
Unir A - B y C
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO CONOCIDO 1 LADOS Y 2 ÁNGULO ADYACENTES
da
er
cu
a
X
Y
.
A
Dado el segmento a y los ángulos X - Y
X
.
C
Y
.
.
X
Base del triángulo el lado a = AB
En A ángulo X
En B ángulo Y
.
Y
A
B
a
da
er
cu
B
a
Donde se cruzan las cuerdas de los
ángulos se obtiene el punto C
Unir A - B y C
CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO ISOSCELES CONOCIDA LA HIPOTENUSA
.
C
a
.
A
Dado la hipotenusa a
a
.
B
Base del triángulo la hipotenusa a = AB
Mediatriz
Arco
.
A
a
Donde se cruzan el arco con la
mediatriz se obtiene punto C
Unir A - B y C
.
B
C
U
A
D
R
I
L
A
T
E
R
O
S
DEFINICIÓN: Son superficies que poseen cuatro lados y cuatro ángulos.
PARALELOGRAMOS: Son los que tienen los lados opuestos y paralelos dos a dos.
TRAPECIOS: Son los que tienen dos lados opuestos paralelos y los otros dos no.
TRAPEZOIDES: Son los que tienen sus lados opuestos no paralelos.
P A R A L E L O G R A M O S
CUADRADO
A
RECTÁNGULO
.
A
d
D
Es el paralelogramo que tiene
los lados iguales y los ángulos
rectos. Sus diagonales son
iguales y se cortan formando
un ángulo de 90º.
A
P
C
E
C
RECTÁNGULO
A
I
.
O
A
0
C D
Es el trapecio que tiene dos
ángulos rectos.
C
D
Es el paralelogramo que tiene
los lados adyacentes
desiguales y los ángulos
opuestos iguales. Sus
diagonales son desiguales.
S
TRAPEZOIDE
ESCALENO
A
B
d
0 d2
Es el paralelogramo que tiene
los lados iguales y los ángulos
opuestos iguales. Sus
diagonales son desiguales.
ISÓSCELES
B
d1
C
D
Es el paralelogramo que tiene
los lados adyacentes
desiguales y los ángulos
rectos. Sus diagonales son
iguales.
d
d1
C
A
B
B
0
d2
C D
D
Es el trapecio que tiene los
lados no paralelos iguales. Sus
diagonales son iguales.
.
.
C
b
.
C
b
A
a
.
B
.
.
Centrar las diagonales entre si
b
A
a
.
D
Dado las diagonales a - b
C
Es el cuadrilátero que no tiene
los lados opuestos paralelos.
Es el trapecio que no posee
ninguna característica de los
dos anteriores.
CONSTRUCCIÓN DE UN ROMBO CONOCIDAS SUS DIAGONALES
a
B
A
d1
0 d2
0
C
R
B
.
d
D
D
ROMBOIDE
A
B
0
T
ROMBO
B
D
Unir A - B - C y D
.
B
CONSTRUCCIÓN DE UN ROMBO CONOCIDO 1 LADO Y UN ÁNGULO
.
.
C
a
.
X
P
O
L
Í
G
a
.
.
X
A
Dado el lado a y el ángulo X
C
A
B
a
Base del rombo el lado a = AB
En A ángulo X
Con centro en A arco a
Donde se cruzan el arco con la cuerda
del ángulo se obtiene el punto C
O
N
O
S
R
.
X
.
D
a
a
B
a
Por B - C paralelas
E
G
U
L
A
R
E
S
DEFINICIÓN: Son los polígonos formados por lados y ángulos iguales.
INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
TRIÁNGULO
D
0
0
.
B
0
. .
C
.
B
.
0
C
B
C
A
Circunferencia 0 dada.
Desde A arco A0 y nos dá B y C.
Unir B con C y es el lado del
triángulo buscado.
.
A
CUADRADO
0
0
A
.
B
0
D
C
Circunferencia 0 dada.
Unir B,C y D.
Unir A con B, lado del cuadrado.
Unir A,B,C y D.
B
.
PENTÁGONO
.
B
0
.
.
A
0
C
B
.
P
.
A
Desde P radio PB.
Dado la circunferencia de
centro 0.
Mediatriz entre 0 y A.
HEXÁGONO
B
C
Unir B con C y nos da el lado
del polígono.
.
Pinchando en B y distancia el
lado, se pone los vértices del
polígono hasta completar toda
la circunferencia.
.
B
B
C
C
F
D
E
0
0
.
A
Desde A arco A0.
Circunferencia 0 dada.
.
A
A
Se repite desde B y nos da el
punto C, que uniéndose con B,
obtenemos el lado del polígono
inscrito.
Pinchando en B se va trazando
los vértices del polígono.
HEPTÁGONO
0
0
. .
C
B
. .
OCTOGONO
B
B
C
A
Dada la circunferencia 0.
Mediatriz entre A0.
Desde B a C lado del polígono.
Pinchando en cualquier punto de
la circunferencia y distancia el
lado se determina los vértices.
0
.
Dada la circunferencia 0.
Se une AB y se halla la
mediatriz y donde corta la
circunferencia nos da C.
Uniéndo C con A ó B.
Obtenemos el lado del
polígono.
A
Para determinar el polígono,
haremos lo mismo en cada
cuarta de circunferencia.
ENEÁGONO
.
B
. .
0
F
.
C
.
.
D
E
.
A
A
Dada la circunferencia 0.
Desde A arco A0 y nos da el punto C.
Desde B arco BC. Y nos da el punto D.
Dado el punto D se toma como centro
del arco DA y nos da el punto E, se une
con el punto F. Y el segmento EF es el
lado del polígono que se busca.
.
DECÁGONO
. .
P
Dada la circunferencia 0.
Mediatriz entre 0A y nos da P.
Por P circ. de radio PA.
Desde cualquier punto de la
circunferencia, por ejemplo el F, se pone
los vértices del polígono.
. .
B
0
F
B
B
D
D
.
C
A
P
Se une P con B y nos da C.
Con centro en B arco BC.
MÉTODO GENERAL
.
A
3
4
.
. .
A
D
1
2
Donde corta el arco BC con la
circunferencia, nos dá D.
La distancia entre BD, será el
lado del polígono.
.
C
2
3
4
5
.
.
B
Dada la circunferencia con centro en 0.
Se divide el eje vertical AB en tantas
partes iguales segun el número de lados
(este caso lo haremos de, 7).
Desde A y B radio el diametro de la
circunferencia y nos da C.
A
1
5
6
Pinchando en B se va trazando
los vértices del polígono.
.
C
6
B
Desde C se pasa siempre por el punto 2
y donde corte a la circunferencia nos da
D.
Uniendo los puntos DA obtenemos el lado
del polígono que queremos trazar.
Desde A ó cualquier punto de la
circunferencia se va trazando los vértices
del polígono.
SEGÚN EL LADO:
CASO GENERAL A PARTIR DE UN INSCRITO (Ej: Pentágono)
0
0
. .
A
. ..
B
A
. ..
C
B
En cualquier de los lados
ejemplo el AB se coloca el
lado del polígono que
deseamos.
Se desplaza el lado hasta el
punto D.
.
.
C
.
A
B
.
B
.
A
.
B
Por A y B arco de radio la distancia AB.
Donde corta da C.
Dado el lado del polígono AB.
A
Unir A,B y C. Polígono buscado.
.
CUADRADO
C
.
. .
A
.
AB lado del cuadrado.
.
.
B
A
C
.
.
.
B
.
A
Por A y B rectas
perpendiculares.
.
.
B
Por A o B recta a 45º.
Nos da el punto C.
.
PENTÁGONO
Por C paralela a el lado AB.
Construir el cuadrado.
F
.
. . .
.
D
1/2
Se va trazando los lados del
polígono paralelos a los lados
del polígono inscrito.
C
.
A
D
.
TRIÁNGULO
B
C
Dado el lado AB
Por B Perpendicular y da D.
Desde B radio AB = D
Con centro en la mediatriz y con
radio AB nos da C.
.
E
.
A
B
F
.
E
G
. .
C
Desde B arco AB y desde A arco
AC. En la intersección de los arcos
obtenemos el punto E.
C
A
D
(=)
Se traza un polígono inscrito
en una circunferencia inferior
de tamaño al que queremos
dibujar. Siéndo su lado AB.
Desde el centro se prolongan
rectas que pasan por los
vértices.
. ..
C
A
. .
A
B
Con el mismo arco AC y
pinchando en B, nos da F.
Desde A y arco BA da G.
E
G
A
B
Unir los puntos dados, que
serán los vértices del polígono
a dibujar.
.
HEPTÁGONO
0
.
..
C
.
.
.
.
A
B
30º
HEXÁGONO
.
B
A
Desde A ángulo de 30º y donde corte con la
perpendicular , obtenemos el punto C.
Con centro A y radio AC, hasta cortar a la
mediatriz.
Dado el lado AB, mediatriz y
perpendicular por B.
.
.
B
A
Donde corta nos da 0 centro de la
circunferencia, donde está inscrito el
polígono.
OCTÓGONO
0
. .
0
0
C
B
A
.
.
.
...
.
B
A
Dado el lado del polígono AB.
Arco desde A con radio AB.
Lo mismo desde B y en la
intersección está el centro de
la circunferencia C, donde se
inscribe el polígono.
. .
B
A
Desde el lado dado AB.
Mediatriz y arco, da el punto C.
Desde C y radio CB arco y da 0.
B
A
Desde 0 y radio 0A
circunferencia donde está
inscrito el polígono.
HEPTÁGONO
.
D
D
. . .
B
A
.
.
. . .
C
Dado el lado AB.
Por B arco AB y da C.
Por A arco AC y da D.
E
C
B
A
DC mediatriz del segmento y
da E.
..
. .
.
0
0
E
. .
B
A
B
A
Desde A arco AE.
Desde B arco AE.
En la intersección da 0.
0 será el centro de la
circunferencia que con radio
0A se inscribe el polígono.
ENEÁGONO
.
...
C
D
A
B
Dado el lado AB.
Por A y B arco y mediatriz
donde se cortan se encuentra
C.
Por A mediatriz del segmento
CB.
Donde se cortan las dos
mediatrices encontramos D.
.
...
C
D
A
B
Con centro en C y radio CD se
traza una circunferencia.
..
. .
E
A
.
0
B
Se prolonga el segmento CB
hasta cortar a la
circunferencia y nos da el
punto E. Por ese punto recta
perpendicular a la mediatriz
AB. Y obtenemos el punto 0.
0
. .
A
B
Con centro en 0 y radio 0A o
0B, circunferencia donde está
inscrito el polígono.
DECÁGONO
CASO GENERAL A PARTIR DEL HEXÁGONO
12
..
11
10
0
.
A
9
.
8
.
.
7
0
.
B
A
Dado el lado AB.
Se construye un pentágono conocido el
lado y donde se encuentra el vértice 0
centro de la circunferencia donde se va
a inscribir el poligono.
6
0
.
.
B
A
Dado el lado AB se trazan los arcos y en
su intersección nos da 0. Centro de la
circunferencia donde se inscribe el
hexágono.
90º
Sobre el eje vertical y a partir de 0, se
divide en 6 partes iguales, que serán los
centros de las circunferencias según el
número de lados a trazar.
POLÍGONOS
GRADOS
TRIÁNGULO
120º
90º
72º
60º
45º
40º
36º
30º
CUADRADO
0
0º
PENTÁGONO
360º
HEXÁGONO
OCTÓGONO
ENEÁGONO
270º
B
Ejemplo centro de 7 lados
DIVISIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA APLICÁNDO EL GONIÓMETRO
180º
.
DECÁGONO
DODECÁGONO
C
I
R
C
U
N
F
E
R
E
N
C
I
A
DEFINICIÓN : Figura Geométrica curva, cerrada y plana que sus puntos equidistan de uno llamado centro.
RELACIONES MÁS NOTABLES
EXTERIORES
CONCÉNTRICAS
EXTERIOR
INTERIORES
.
ARCO
SECA
DIAM
ETRO
TANGENTES
INTERIORES
TANGENTES
.
. .
.
.
T
RADIO
SECANTES
EXTERIORES
.
NTE
T
TANGENTE
T
LINEAS Y ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
.
.
.
INSCRITO
SEMI - INSCRITO
.
V
..
.
V
.
.
INTERIOR
.
.
.
EXTERIOR
V
V
.
V
. .
.
EXTERIOR - CIRCUNSCRITO
.
V
EXT. SEMI - CIRCUNSCRITO
ARCO : Es una porción cualquiera de la circunferencia.
ARCO QUE PASA POR 3 PUNTOS DADOS
.
A
.
B
.
A
.
.
B
C
Dado los puntos no
consecutivos ABC.
A
.
C
Se une ABC y nos da dos
segmentos.
.
.
B
.
.
B
A
.
C
Se hallan las mediatrices de
los segmentos.
. .
0
Donde corten nos da 0 centro
de la circunferencia que pasa
por ABC.
C
ARCO DE GRAN RADIO QUE PASA POR 2 PUNTOS DADOS
. . .
E
.
. .
A
B
Dado dos puntos AB, se unen formando
un segmento.
Por A y B arco cualquiera, se ponen 3
ángulos iguales.
D
. . .
E
C
. .
A
B
Se unen las cuerdas de mayor a menor y
nos da CDE.
D
C
.
A
B
Se unen todos los puntos, formándose el arco.
La realización se hará con plantilla.
ARCO CAPAZ : Es el lugar geométrico de los vértices de un ángulo cuyos lados pasan por dos puntos fijos.
3
1
.
.
0
.
.
A
30º
2
0
.
B
.
.
A
30º
+30º
.
B
.
A
.
B
.
-30º
0
30º
.
A
60º
B
.
30º
Dado el segmento AB y el
ángulo que queremos aplicar.
Mediatriz AB, se coloca el
ángulo en A.
Desde A perpendicular y
donde corte a la mediatriz,
obtenemos el punto 0.
Desde 0 y radio que pase por
A ó B.
Cualquier vértice que tomemos
en la circunferencias y sus
cuerdas pasen por AB, el
ángulo dado será igual al
establecido.
Si el vértice parte del centro el
ángulo será el doble. (0)
Si el vértice parte del círculo
el ángulo será mayor. (2)
Si el vértice parte del exterior
de la circunferencia el ángulo
será menor. (3)
R
E
C
T
I
F
I
C
A
C
I
Ó
N
DEFINICIÓN : En geometría se entiende por rectificación, el determinar sobre una línea recta, la longitud de
una curva, arco o circunferencia.
RECTIFICACIÓN DE UN ARCO MENOR DE 90º
.
.
B
. .
B
.
1
A
2
3
.
4
R
1
A
0
B
2
0
3
. ..
4
1
2
3
D
C
Por A perpendicular.
A partir de C se pone 3/4 del radio y
nos da D.
El arco a rectificar es el AB.
Dividimos el radio en 4 partes iguales.
C
.
A
D
Se une DB y nos da en la perpendicular
la rectificación del arco AB.
Se une DC y nos da en la perpendicular
la rectificación del arco AC.
RECTIFICACIÓN DE UN CUADRANTE DE CIRCUNFERENCIA
.
A
.
A
.
.
.
.
.
C
E
D
.
.
B
.
..
.
C
F
D
F
E
.
D
B
B
Se traza la circunferencia dada y
con centro en A y B arco valor el
radio y nos da CD.
Por A arco AD.
Por B arco BC.
En la intersección nos da E.
Por D arco DE y cuando corta
a la circunferencia nos da F.
RECTIFICACIÓN DE UNA SEMI-CIRCUNFERENCIA
.
.
Unir F con B que será el
segmento que corresponde a
la rectificación buscada.
RECTIFICACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA
C
r
.
A
30º
r
7
0
0
.
1
r
r
.
B
Se traza la circunferencia de centro 0 y radio r. En el eje vertical se pone 30º
y cuando se corta con la perpendicular al eje, encontramos con A.
Por la semirrecta A se coloca 3 veces el valor del radio y da el punto B.
Unimos el punto B con el C y es la rectificación buscada.
2rR = D + D + D + D/7
Se traza la circunferencia 0, se divide el
eje horizontal en 7 partes iguales.
Sobre una recta se coloca 3 veces el valor
del diámetro y una 1/7 parte y esa
longitud será el valor de su rectificación.
T
A
N
G
E
N
C
I
A
S
DEFINICIÓN : Es el punto común entre una recta y una circunferencia o entre dos circunferencias.
TANGENCIA ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA
CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA
0
0
.
0
.
T
.
.
T
Dada la circunferencia 0 y un
punto T que será el tangente
de la recta.
0
.
T
Unir 0 con T.
.
T
Por T recta perpendicular.
La recta perpendicular es la
recta tangente a la
circunferencia en el punto T.
DESDE UN PUNTO EXTERIOR
.
.
T
.
P
0
.
P
0
1
2
0
T
.
P
1
2
0
T1
Dada la circunferencia 0 y el
punto P.
Se une 0 con P y se halla la
mediatriz.
.
.
.
P
T1
Desde la mediatriz se traza una
circunferencia que pasa por P y es
secante a la circunferencia en los
puntos T y T1.
Unir P con T y T1.
T y T1 puntos tangentes de las
rectas tangentes a la
circunferencia..
RECTA TANGENTE A UN ARCO Y UN PUNTO DADO
. .
T
A
. .
.
T
A
T
.
B
Desde T radio cualquiera y
nos da A.
Desde A se repite el radio y
nos da B.
. .
.
C
B
Desde T radio TB y donde
corte con el arco inicial
obtenemos C.
T
.
.
C
B
Unir T con C y es la recta
tangente en T del arco inicial.
RECTAS TANGENTES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS
R1
R
01
01
0
Dada las circunferencias 0 con radio R y 01 con radio R1.
1
0
2
Se une 0 con 01 se halla la mediatriz que será el punto centro de
la circunferencia que pasa por 0 y 01.
.
.
.
.
T1
.
.
R1 _ R A
.
T3
A
01
01
0
B
0
.
B
T4
T2
Se resta en 01 (R1 - R). Y nos da A y B, desde 01 se une con A y B.
Unir O con A y B
En 0 paralelas a las rectas 01A y 01B.
Donde cortan a las circunferencias puntos tangentes (T1 T2 T3 T4).
Unir los puntos de tangencias y obtenemos las rectas exteriores a
las dos circunferencias.
RECTAS TANGENTES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS
R1
R
0
01
Dada las circunferencias 0 con radio R y 01 con radio R1.
.
0
1
Se une 0 con 01 se halla la mediatriz que será el punto centro de
la circunferencia que pasa por 0 y 01.
A
.
.
T2
R1 + R
0
01
.
B
Se suma en 01 (R1 + R). Y dá A y B, desde 01 se une con A y B.
Unir O con A y B.
01
2
0
T3
.
.
T1
.
.
01
T4
En 0 paralelas a las rectas 01A y 01B.
Donde cortan a las circunferencias puntos tangentes (T1 T2 T3 T4).
Unir los puntos de tangencias y obtenemos las rectas interiores a
las dos circunferencias.
TANGENCIAS A TRES RECTAS DADAS
m
s
m
s
.
B
e
C
Dadas las rectas m,s y e que se cortan de forma arbitraria.
e
A
.
.
02
.
03
.
Nos dá los puntos A,B y C.
Se trazan los arcos de los ángulos que forman entre sí.
.
.
.
02
.
03
01
01
04
04
Se halla las bisectrices y en sus intersecciones están los centros de
las circunferencias tangentes.
Trazar circunferencias tangentes.
TANGENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIAS
TANGENCIA EXTERIOR
TANGENCIA INTERIOR
.
T
.
T
DESDE UN PUNTO EXTERIOR
0
. .
T
P
Dada la circunferencia 0 y el punto P.
Desde 0 recta cualquiera que corte a la
circunferencia y nos da T, punto tangente
de las circunferencias.
Se une T con P.
0
.. .
T
01
P
Se halla la mediatriz entre TP y donde
corta la recta que nace de 0 y la
mediatriz, obtenemos 01.
0
.. .
P
T
01
Pinchando en 01 y radio 01P se traza la
circunferencia.
DESDE DOS PUNTOS EXTERIORES
.
.
C
.
. .. . .
.
P
P1
. .
T
T1
0
0
Se une P y P1.
Se halla la mediatriz y en ella se
traza una circunferencia de radio
cualquiera que pase por P y P1.
Siendo secante a 0 en A y B.
Se prolonga el segmento AB y PP1
hasta cortarse, dando el punto C.
T
.
T1
P1
0
01
02
B
Dada la circunferencia 0 y los
puntos P P1.
..
.
P
P
A
P1
C
.
P
.
0
.
C
Desde C rectas tangentes a 0 con
los puntos de tangencia T T1.
Se prolonga T0 y nos da 01.
Se prolonga T10 y nos da 02.
Dado los dos centros con
radio 01P y 02P, se trazan las
circunferencias buscadas.
TANGENTES ENTRE SÍ E INTERIOR A OTRA
.
1
.
.
.
.
6
2
.
.
0
5
3
.
Dada la circunferencia 0 se ha dividido en el número de6 partes
iguales que se quiere inscribir (metodo del hexágono ).
.
.
. .
3
B
.
D
. .
B
A
m
Recta perpendicular al eje vertical.
Se une 0 con 5 y nos da A.
Bisectriz y donde corta al eje vertical, obtenemos B.
.
C
.
.
5
A
4
5
0
.
D
C
3
.
.
B
A
m
Desde B perpendicular a 05 y 03. Nos da C y D.
B,C y D centros de las circunferencia tangentes interior a 0.
P1
DESDE UN PUNTO INTERIOR
.
.
P
.
P
.
0
0
P1
P
.
. .
0
01
P1
P1
Se unen y se hallan la mediatriz.
Dada la circunferencia 0 y los puntos P, P1.
Donde corte la mediatriz con el
segmento 0P1.Centro 01 de la
circunferencia a trazar.
CASOS MIXTOS
TANGENCIAS A UNA RECTA Y UNA CIRCUNFERENCIA CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA
0
0
.
.
P
P
m
m
.
A
Dada la circunferencia 0, el punto P y la recta m.
.
Se une 0 con P, se traza recta tangente en P y da A.
.
02
02
0
..
0
P
P
01
.
A
Por A bisectrices y donde cortan con el segmento 0P, dan los
centros 01 y 02.
..
.
.
T1
01
T
Con centro en 01 y radio 01P.
Con centro en 02 y radio 02P.
Se trazan las circunferencias buscadas.
Se hallan las tangencias P T T1.
.
TANGENCIAS A UNA CIRCUNFERENCIA
Y A UNA SEMIRRECTA
.
.
.
. .
A
0
r
.
. . ..
m
P
02
02
T1
T1
m
P
C
C
Desde C rectas tangentes a 0 y nos dan
los puntos de tangencia T y T1.
Unir T con P y desde C semirrecta
perpendicular y donde corta a la per. de
P, obtenemos el centro 02,uno de los
centros buscados.
Se prolonga T10 y donde corta con la
perpendicular de P, tenemos el centro 03.
Dada la circunferencia 0, la recta m y el
punto P.
Por P perpendicular.
Se toma un centro y un radio cualquiera
(01) siendo secante en A y B a 0.
Unir AB y nos da C en m.
.
. . ..
T
T
B
C
03
0
01
m
.
03
P
Hallados los centros de las
circunferencias buscadas sólo queda
trazar.
Con centro 02 y radio 02 P.
Con centro 03 y radio 03 P.
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ Y A UN TRIÁNGULO
T
.
.
..
I
02
I
. .
T
.
0
.T
D
Por D ángulo de 45º y nos da
el centro 0.
Con centro en I y radio I0 se
traza una circunferencia.
.
. .
T
T
T
Con los centros 0 01 02 y
radios T. Se trazan las
circunferencias.
0
.
.
.
I
.
02
01
.
.
02
01
Dado el triángulo cuyos vértices son centros de las circunferencias
que vamos a trazar.
Bisectriz de los ángulos que forma y da el Incentro del
triángulo.
.
0
0
.
I
.
.
.T
T
.
T
.
0
01
T
.
Donde corte la circunferencia
con las otras bisectrices,
obtenemos los centros 01 02.
Por los centros
perpendiculares para
determinar las tangencias.
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES ENTRE SÍ Y QUE TENGAN
POR CENTROS LOS VÉRTICES DE UN TRIÁNGULO
.
01
0
45º
Dado el triángulo ABC.
Se halla el Incentro.
.
T
T
.
.
.
02
Desde el incentro perpendicular a los lados que determinan las
tangencias y los valores de radio.
.
01
.
02
Desde los centros trazar circunferencias tangentes entre sí.
E
N
L
A
C
E
S
ENLACES DE RECTA CON RECTA
ENLACE DE DOS RECTAS PERPENDICULARES POR UN ARCO DADO
m
m
m1
.
s1
s
Dada las rectas m y s.
Perpendiculares entre sí.
0
T1
s
. .
.
0
T2
Por m y s paralelas a la distancia
del valor de la circunferencia a
enlazar (m1 y s1).
Donde se corta m1 y s1.
Obtenemos el centro 0 que con
radio conocido se traza la
circunferencia.
Desde 0 perpendicular a m y s
para hallar puntos de
tangencias (T1 - T2).
Enlazar.
ENLACE DE DOS RECTAS OBLICUAS POR UN ARCO DADO
m
m
T1
m1
.
s
Dada las rectas m y s.
Perpendiculares entre sí.
.
s1
.
0
0
T2
s
Donde se corta m1 y s1.
Obtenemos el centro 0 que con
radio conocido se traza la
circunferencia.
Por m y s paralelas a la distancia
del valor de la circunferencia a
enlazar (m1 y s1).
Desde 0 perpendicular a m y s
para hallar puntos de
tangencias (T1 - T2).
Enlazar.
ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR UN ARCO DADO
m
T1
m
.
.
0
s
0
s
T2
Se traza una perpendicular
que corta a las dos rectas.
Mediatriz del segmento
perpendicular.
Dada las rectas m y s.
Paralelas entre sí.
Se traza una circunferencia
con centro 0.
Se halla las tangencias T1 y T2.
Enlazar.
ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO IGUALES
m
.
A
m
.
B
Dadas las semirrectas m y s.
s
.
..
A
A
.
0
s
B
Unir A y B.
Se divide el segmento en 4
partes iguales.
..
.
A
..
01
B
0 T
..
01
B
Por A y B perpendicular,
Hallar tangencias A,B y T.
donde corta con las
Enlazar.
mediatrices obtenemos 0 y 01.
ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO CONOCIDO UNO DE ELLOS
.
A
m
.
A
m
m1
..
A
m
m1
A1
.
B
.
A
T
..
.
0
B
s
..
..
.
m
B
s
s1
B
s
s1
s
B1
Dada las semirrectas m y s.
Desde A y B rectas
perpendiculares.
A m y s se trazan semirrectas
paralelas m1 y s1 a la misma
distancia que el radio de la
circunferencia conocida.
Con centro en A1 y radio el dado
se traza la circunferencia
conocida.
Hallar la mediatriz del segmento
A1 y B1.
Donde corte con la perpendicular
B B1, se obtiene 0.
Con centro en 0 y radio 0B se
traza la circunferencia.
Se halla las tangencias (A B T)
y por último enlazar.
ENLACE DE DOS RECTAS PARALELAS POR DOS ARCO NO CONOCIDOS
A
m
.
A
m
.
.
m-s
.
A
m
C
s
B
s
...
s
A
s
B
B
.
01
Se halla la mediatriz m-s.
Se une A con B.
Se traza una
semicircunferencia y en la
intersección con la mediatriz
nos da el punto C.
C
0
.
Dada las semirrectas m y s.
...
C
0
B
.
m
01
Por A y B perpendicular.
Por C paralela a la mediatriz
del segmento AB y donde
corta con las perpendiculares
obtenemos los centros 0 y 01.
Con el centro 0 y radio 0B,
con centro 01 y radio 01A se
trazan las circunferencias.
Y dadas las tangencias ABC.
Enlazar.
ENLACE DE RECTA CON CIRCUNFERENCIA
ENLACE DE RECTA CON CIRC.POR UN ARCO INTERIOR
r
.
r
r - r1
0
.
0
m1
r1
m
.
r1 01
.
0
m1
m
. ..
01
T
T1
Dada la circunferencia 0 con
radio r y la recta m.
Paralela a m a la distancia
valor de radio de la
circunferencia que vamos a
enlazar.
Con centro en 0 (r menos r1).
Donde corte la circunferencia
de centro 0 de radio r -r1, con
la recta m1, nos da el centro
de la circunferencia 01.
Trazar desde 01 con radio r1.
Hallar tangencias (T - T1).
Enlazar.
.
0
ENLACE DE RECTA CON CIRC.POR UN ARCO EXTERIOR
r
r
.
.
0
.
r + r1
0
m1
r1
m
.
0
. ..
.
0
r1
T
m1
01
01
m
T1
Dada la circunferencia 0 con
radio r y la recta m.
Donde corte la circunferencia
de centro 0 de radio r + r1,
con la recta m1, da el centro
de la circunferencia 01.
Trazar desde 01 con radio r1.
Paralela a m a la distancia
valor de radio de la
circunferencia que vamos a
enlazar.
Con centro en 0 (r más r1).
Hallar tangencias (T - T1).
Enlazar.
ENLACE DE RECTA CON CIRC. DADO EL PUNTO DE TANGENCIA
. .
r
. .
.
r
T
0
m
. . .
.
T
m
0
T1
A
Unir 0 con T.
Por T recta tangente a 0 y da
el punto A.
Desde A bisectriz del ángulo
que forma y donde corte con
0T. Obtenemos el centro 01.
Trazar 01 con radio 01 T.
01
T
0
A
Dada la circunferencia 0, la
recta m y el punto de
tangencia T.
. . .
.
01
T
0
Hallar tangencias y enlazar.
ENLACE DE CIRC. CON UNA SEMIRRECTA
.
.
m
m1
T
A
r
0
r
m
.
.
A
.
0
r
T
.
.
.
m
.
0
T
. ..
.
0
m
T
T1
01
Dada la semirrecta m y la
circunferencia 0.
Paralela a m y a la misma
distancia de r.
Nos da m1 con el punto A.
Se une A con 0 y se prolonga
el segmento AT.
01
En el segmento 0A se halla la
mediatriz y donde corte al
segmento AT, obtenemos el
centro 01.
Con centro 01 y radio 01 T se
traza la circunferencia.
Se obtiene los puntos de
tangencia T y T1.
Enlazar.
ENLACE DE CIRCUNFERENCIA CON CIRCUNFERENCIA
ENLACE DE CIRC. SECANTES POR UN ARCO INTERIOR
.
.
01
01
.
0
Dadas las circunferencias 0
01, con radios r y r1.
01
r1- r2
r1
r
r - r2
.
.
02
.
0
Se resta r - r2 y r1 - r2.
En su intersección dá el centro
02 .
.
02 r2
.
0
Trazar circunferencia de radio
r2 con centro en 02.
.
01
.
..
T
02
.
0
Hallar tangencias T y T1.
Enlazar.
T1
ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO INTERIOR
.
.
T
.
.
r
.
0
0
r1
01
.
r2
r1 - r2
.
02
Dadas las circunferencias 0 01 con radio r r1.
T1
01
r - r2
r2 = 4cm.
.
.
.
02
r2 = 4cm.
r2 = 4cm.
Hallar tangencias T y T1.
Enlazar.
Se le resta a los radios r2 y te dará su
intersección el centro 02.
Trazar desde 02 con radio r2.
ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO EXTERIOR
.
.
02
02
r + r2
r2
.
r
.
.
0
r1 + r2
r1
.
.
0
01
.
.
.
T
T1
0
01
r2 = 2cm.
01
r2 = 2cm.
r2 = 2cm.
Se le suma a los radios r2 y te dará su
intersección el centro 02.
Trazar desde 02 con radio r2.
Dadas las circunferencias 0 01 con radio r r1.
Hallar tangencias T y T1.
Enlazar.
ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO EXTERIOR E INTERIOR
.
.
0
r
.
01
Dadas las circunferencias 0
01, con radios r y r1.
r + r2
.
0
T1
.
r2
02
02
02
r1
.
r1- r2
01
Se suma r + r2 y se resta r1 - r2.
En su intersección da el centro
02 .
.
0
.
..
.
01
Trazar circunferencia de radio
r2 con centro en 02.
.
0
T
.
01
Hallar tangencias T y T1.
Enlazar.
ENLACE DE CIRC. POR UN ARCO CONOCIDO UN PUNTO DE TANGENCIA
.
.
A
.
P
.
.
.
P
r1+r
r1
01
.
A
.
0
r
Dada las circunferencias 0 01
con punto en 01.
.
01
.
..
P
P
02
.
.
0
Se une 01 con P y el radio r se
le suma y dá A.
Se une A con 0.
02
.
.
0
01
Apartir del caso de Arco que pasa por 3 puntos fijos.
- Dados X número de puntos
- Unir por segmentos
- Se comienza siempre con los 2 primeros segmentos de la siguiente
manera:
Se une las mediatrices de 1-2-3 y nos da 01.
Se traza la mediatriz del segmento 3-4.
Se une 01 con 3 y donde corta con la mediatriz se obtiene 02 y así
sucesivamente.
.
1
Desde 02 y radio 02 P circunferencia.
Hallar puntos de tangencia P y T.
Enlazar.
.
2
. . ..
.
.
3
0
.
0
01
Se traza mediatriz y donde se
corte con el segmento 01 P,
obtenemos 02.
ENLACE DE CIRCUNFERENCIAS POR SEGMENTOS
T
01
4
02
5
C U R V A S
E M P L E A D A S
E N
L A
T É C N I C A
ÓVALO : Es una curva cerrada y plana, compuesta por cuatros arcos de circunferencia, iguales dos a dos.
Tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí.
CONOCIDO EL EJE MAYOR Y MENOR.
.
.
A
.
C
A
.
E
D
02
01
.
C
.
E
D
02
01
.
.
B
B
03
Dados los ejes AB y CD, se pone una medida arbitraria que nos
da E y los centros 01 y 02.
.
Se halla la mediatriz del segmento 01 E y donde corta obtenemos
el centro 03, que con radio 03 A. Trazamos un arco de
circunferencia.
04
04
A
..
.
.
..
T
C
T
01
02
T
A
..
.
D
C
T
01
02
T
T
D
T
.
.
B
B
03
03
Enlazar.
Una vez trazado 03 se hace lo mismo en la parte superior del éje
menor y nos dará el centro 04 y su arco respectivo.
Unimos los centros para determinar los puntos de tangencia.
.
CONOCIDO EL EJE MAYOR.
A
.
..
T
04
01
02
B
. .
.
A
01
02
B
03
Dado el eje mayor AB, se divide en 3 partes iguales y da 01 y 02.
. . .
. .
. . .
04
T
A
T
03
. . .
. .
. . .
B
T
Una vez obtenido todos los centros que forman el óvalo.
Se unen los centros para determinar los puntos de tangencias.
Se trazan las circunferencias 03 y 04.
A
01
T
T
04
T
T
02
01
Con centros en 01, 02 y conocido los radios que pasan por A y B
se trazan las circunferencias, donde se cortan obtenemos los
centros 03 y 04.
02
03
Enlazar.
T
B
CONOCIDO EL EJE MENOR
A
A
.
C
.
D
0
B
B
Se halla la mediatriz y se traza la circunferencia 0.
Donde corta la circunferencia con el eje horizontal o mediatriz,
obtenemos los puntos C y D.
Dado el eje menor AB.
A
..
.
.
..
..
.
T
T
C
T
.
..
T
T
C
D
0
A
D
0
T
T
T
B
B
Se trazan las circunferencias con centros A B .
Se une AB con CD, para determinar los puntos de tangencias y los
radios de las circunferencias de centro en C y D.
Enlazar.
OVOIDE : Es una curva cerrada y plana, compuesta por dos arcos de circunferencia iguales y otros dos
desiguales. Tiene un eje de simetría.
CONOCIDO EL ÉJE MENOR.
C
A
0
B
A
.
E
0
C
.
02
B A
.
01
D
Se traza el eje menor AB.
Se traza la mediatriz y una
circunferencia que pasa por AB.
Sobre el eje vertical se pone el eje
mayor CD.
Con centro en 01 y radio 01D,
trazamos una de las circunferencias.
Con ese mismo radio pinchamos en
A y nos da E.
Hallamos la mediatriz entre A 01 y
cuando corta el eje menor,
obtenemos el centro 02.
C
. .
.. .
03
0
02
B
A
01
T
T
D
Con centro en 0 y distancia 02
, lo llevamos al otro lado y da
03.
Con centro en 02 y radio 02 A
arco.
Con centro en 03 y radio 03 A
arco.
Unimos los centros para
determinar los puntos de
tangencia.
. .
.. .
03
02
0
01
T
T
D
Enlazar.
B
CONOCIDO EL EJE MENOR
0
A
0
A
B
B
0
A
.
0
B A
.
. .
Por A y B arcos valor el
diámetro.
Dado el eje menor AB.
Mediatríz y centro 0.
Se prolonga el eje vertical.
. .
C
T
T
B
C
T
T
Donde corta la circunferencia
al éje vertical, punto C.
Se une AB con C para
determinar las tangencias.
Por C circunferencia.
Obtenidos los puntos de
tangencias se enlaza.
CONOCIDO EL EJE MAYOR
A
. . . . . . . . . .
.
1
r
r
02
0 2
T
1
r
r
0 2
3
3
4
4
T
r
03 02
T
0
.
. .
5
T
01
5
T
B
Dado el eje AB. Se divide en 6
partes iguales y en el punto dos
se encuentra el centro 0 de
radio 2-4.
T
T
El radio 2-4 se repite a cada lado y nos da 03 y 04.
Unimos los centros con el punto 5 = 01, para determinar los
puntos de tangencias.
T
Por último enlazar.
ESPIRAL : Es una curva plana engendrada por un punto que se desplaza uniformemente a lo largo de una
recta a la vez que ésta gira alrededor de uno de sus extremos con velocidad ángular constante.
Paso en una espiral, es la distancia longitudinal que se desplaza el punto en una vuelta completa.
8
N
7
1
.
2
.
.
...
.
.
6
5
3
4
Construcción de una espiral de paso N.
Se traza un segmento igual a N.
Se divide el segmento en un número cualquiera de
partes iguales.
Haciéndo centro en 0 se trazan circunferencias
concéntricas.
Se divide las circunferencias y la intersección de los
radios con las circunferencias dan los puntos de la
espiral.
Sólo queda unir los puntos.
03
VOLUTA : Es la curva compuesta por arcos de circunferencia, tangentes entre sí, siendo los centros de los arcos
los vértices de un polígono ó un segmento dado.
4
3
1
1
2
0
2
3
1
C
U
R
V
A
S
C
Ó
N
I
C
A
S
CIRCUNFERENCIA : Es la figura que resulta de cortar un plano perpendicular al eje de un cono y a las dos
ramas por debajo o por encima.
ELIPSE : Es la figura que resulta de cortar un plano no perpendicular al eje de un cono y a las dos ramas por
debajo o por encima.
HIPÉRBOLA : Es la figura que resulta de cortar un plano a las dos ramas por debajo y por encima del
vértice y al mismo tiempo.Siendo dicho plano paralelo al eje.
PARÁBOLA : Es la figura que resulta de cortar un plano a una de las ramas por debajo o por encima del
vértice siendo paralelo a la otra rama.
P
P
P
P
CIRCUNFERENCIA
E
L
ELEMENTOS:
ELIPSE
I
HIPÉRBOLA
P
S
E
P
EJE MAYOR ( A - A´)
EJE MENOR ( B -B´ )
FOCOS ( F1 - F2 )
COMO HALLAR EL EJE MENOR
COMO HALLAR LOS FOCOS
.
B
B
A0
A
PARÁBOLA
0
F2
F1
A´
.
B´
Si nos dán el eje mayor (A-A´) y los focos. Hallamos la
mediatriz del éje mayor y pinchando en cualquier de los focos
y radio A0, donde corte con la mediatriz determinamos el eje
menor (B-B´).
A
.
0
.
F2
F1
A´
A0
B´
Si nos dan los ejes y desconocemos los focos, para hallarlos se
pincha en B´ y distancia de radio A0 donde corte al eje mayor
obtenemos los focos.
CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS
FORMULA A APLICAR:
.
B
.
1
A
F1
1
0
2 3
.
A´ A F1
F2
A - 1 PINCHANDO EN F1
A´- 1 PINCHANDO EN F2
B
.
1
2
B
1
A´1
2 3
F2
A1
A´
A
4 5
F1
6
F2
A´
1
1
B´
2
B´
Dados el eje mayor (A-A´), el eje menor
(B-B´) y los focos (F1-F2).
Entre F1 y 0 determinamos diferentes
puntos de forma arbitraria.
3
3
B´
Siguiendo el paso anterior se realiza con
los restantes puntos.
Lo mismo con los puntos del lado derecho
de la figura.
Luego sólo queda enlazar dichos puntos
con los puntos que determinan los ejes y
obtendremos la elipse.
Se toma la distancia A1, se pincha en F1 y
se hace dos arcos por arriba y por debajo.
Se toma la distancia A´1, se pincha en F2
y se hace dos arcos por arriba y por
debajo.
Donde se corten los arcos obtenemos el
punto buscado por arriba y por debajo.
CONSTRUCCIÓN POR EJES
B
0
D
.
1
C
.
B
1
2
.
A
A´
.
0
3
B´
Dados los ejes de la elipse, con centro en
0 se trazan dos circunferencias
concéntricas que pasan por los ejes.
Desde el centro de forma arbitraria se
trazan radios ó diámetros.
Los radios cortan a las circunferencias en
CyD.
Para hallar el punto se traza por C
perpendicular al eje menor, por D
perpendicular al eje mayor, donde se
corten obtenemos el punto buscado.
B
.
.
A´
.
..
.
4
A
B´
Siguiendo el paso anterior se trazan
tantos puntos como necesitemos para la
formación de la figura.
.
A´
A
B´
Luego sólo queda unír los puntos con los
ejes y obtenemos la elipse.
Se recomienda 4 puntos por cada cuarto
de circunferencia.
H
I
P
ELEMENTOS:
É
R
B
EJE ( A - A´)
VÉRTICES ( B -B´ )
FOCOS ( F1 - F2 )
XZ ( Asintotas )
O
L
FORMULA A APLICAR:
A
A - 1 PINCHANDO EN F1
A´- 1 PINCHANDO EN F2
CONSTRUCCIÓN POR PUNTOS
P
X
X
.
.
.
3
1
F1
3
2
1
6
2
.
A
A´
5
1
F2
.
F1
3
2
.
A
1
A´
1
4
6
5
3
Z
5
4
2
1
4
F2
6
Z
Dados el eje (A-A´), los focos (F1-F2) y las axintotas (Z-X).
Desde los focos hacia la izquierda y derecha respectivamente
se van tomando puntos arbitrariamente.
Se toma la distancia A1, se pincha en F1 y se hace dos arcos
por arriba y por debajo.
Se toma la distancia A´1, se pincha en F2 y se hace dos arcos
por arriba y por debajo.
Donde se corten los arcos obtenemos el punto buscado por
arriba y por debajo
P
A
R
Á
B
Siguiendo el paso anterior se realiza con los restantes puntos.
Lo mismo con los puntos del lado derecho de la figura.
Luego sólo queda enlazar dichos puntos con los puntos que
determinan el eje y obtenemos la hipérbola.
O
L
A
ELEMENTOS: FOCO ( F )
PUNTO ( A )
Directriz ( D )
P
Eje
Eje
Eje
H
.
F
H
A
. .
1
.
F
A
Directriz
0
A0 = AF
Dada la directriz y la perpendicular en 0
el eje de la parábola.
Se traza sobre el eje la distancia A0 y a
la misma distancia encontramos el foco.
h
3
3
H
1
0
Desde A se trazan perpendicular (H) de
forma arbitraria se determina la distancia
entre dicha recta y la directriz , con esa
medida se lleva al foco y se traza el arco
que corta a (H) y da los puntos para
trazar la parábola (1).
Directriz
2
F
1
h
Directriz
.
2
H
A
1
h
h
0
Siguiendo los pasos anteriores ,
obtendremos los restantes puntos para
determinar la parábola.
Se recomienda 4 perpendiculares.
POR UN PUNTO DADO RECTA TANGENTE
E
L
I
P
S
E
P A R Á B O L A
..
.
.
R
T
F
F1
.
T
T
R
H I P É R B O L A
F2
.
.
F1
F2
.
R
Desde el punto T tangente dado, se une
con los focos, se halla la bisectriz y
perpendicular por el punto T y es la
recta R buscada.
Desde el punto T tangente dado, se une
con el foco y desde T perpendicular a la
directriz, se halla la bisectriz que es la
recta R buscada.
Desde el punto T tangente dado, se une
con los focos, se halla la bisectriz que es
la recta R buscada.