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TEORIA ELECTROMAGNETICA
Clase 25
Líneas de Transmisión
Línea de Transmisión
Uniforme.


Consideramos una línea de transmisión uniforme.
Ella es por ejemplo, formada por dos conductores
paralelos muy largos.
Línea de Transmisión
Uniforme.

La distancia de separación entre los conductores es
pequeña respecto a la longitud de onda
propagándose en ella.
Línea de Transmisión
Uniforme.


Para analizar las líneas de transmisión se
inicia con las ecuaciones de Maxwell
 para
 las
“componentes transversales” de E y H
La forma en que esas componentes
Transversales dependen en las “coordenadas
Transversales” es la misma que en el caso de
condiciones estáticas y sin fuentes.
Línea de Transmisión
Uniforme.


Los parámetros de las líneas de
Transmisión son determinados por los
mismos métodos empleados en
condiciones estáticas.
El voltaje entre los conductores y la
corriente en la línea están muy
relacionados con las
componentes


transversales de E y H
Línea de Transmisión
Uniforme.

En consecuencia, es posible analizar el
funcionamiento de una línea de transmisión
uniforme de dos conductores por la que se
propaga

una onda TEM en función de ondas de voltaje
y corriente.
Línea de Transmisión
Uniforme.

Usaremos un “modelo circuital” para
obtener las ecuaciones que rigen las
líneas de transmisión uniformes
generales de dos conductores.
Línea de Transmisión
Uniforme.

Consideremos una longitud diferencial z de
una línea de transmisión descrita de la forma
siguiente:




R = Resistencia por unidad de longitud (ambos
conductores) en  / m
L = Inductancia por unidad de longitud
(ambos conductores) en Henrry/m
G = Conductancia por unidad de longitud en
S/m
C = Capacitancia por unidad de longitud en
F/m
Línea de Transmisión
Uniforme.

Los “elementos circuitales” de la guía
de onda cumplen:


R y L son elementos serie porque
caracterizan propiamente a los dos
conductores.
G y C son elementos en paralelo porque
caracterizan a la línea de transmisión en
conjunto con el medio que separa a los
elementos de la línea
Línea de Transmisión
Uniforme.

Por esa razón el circuito que representa a una
longitud diferencial de línea de transmisión es el
circuito siguiente:
Línea de Transmisión
Uniforme.



En la figura:
Las cantidades
instantáneos en
vz, t 
z
y
y
vz   z , t 
zz
denotan los voltajes
i  z, t 
e
i z   z , t 
corrientes instantáneas en
z
y
De manera similar,
zz
denotan las
Línea de Transmisión
Uniforme.
Línea de Transmisión
Uniforme.

Aplicando la Ley de voltajes de Kirchhoff al circuito
equivalente, tenemos:
 iz, t 
v z , t   R  z i  z , t   L  z
 v z   z , t   0
t

que puede escribirse, al dividir por  z como:
 v z   z , t   v z , t  
 iz, t 

0
  R iz, t   L
z
t


Línea de Transmisión
Uniforme.
Línea de Transmisión
Uniforme.

Reordenando términos y haciendo que
podemos escribir:
z  0
 v z , t 
 iz, t 

 R iz, t   L
z
t

Aplicando la Ley de las Corrientes de Kirchhoff en el
nodo “N”, obtenemos:
 v z   z 
i  z , t   G  z v z   z   C  z
 iz   z, t   0
t
Línea de Transmisión
Uniforme.

Dividiendo por  z y haciendo que  z  0
obtenemos:
 iz, t 
 v z, t 

 G v z , t   C
z
t
Hemos obtenido finalmente dos ecuaciones
diferenciales parciales de primer orden, en términos
de la corriente y el voltaje, las cuales están
“acopladas”:
 v z , t 
 iz, t 
 iz, t 
 v z , t 

 R iz, t   L

 G v z , t   C
z
t
z
t

ECUACIONES GENERALES DE
LA LINEA DE TRANSMISIÓN.
ECUACIONES GENERALES DE LA
LINEA DE TRANSMISIÓN

Para resolver estas ecuaciones diferenciales,
podemos suponer que las funciones de voltaje y
corriente cumplen la propiedad de dependencia
armónica en el tiempo, dando las funciones como
producto de una función dependiente del espacio
multiplicada por la función armónica en el tiempo:


iz, t   Re I z  e 
vz, t   Re V z  e
jt
jt
ECUACIONES GENERALES DE
LA LINEA DE TRANSMISIÓN

Las “funciones de amplitud” dependientes de la
coordenada “z” evidentemente cumplen las
ecuaciones:
 V z  j  t
 j t
j t

e  R I  z e  L I  z  e
z
t
 I z  j  t
 j t
j t

e  G V  z e  C V  z  e
z
t
ECUACIONES GENERALES DE
LA LINEA DE TRANSMISIÓN

Reduciendo las derivadas parciales a ordinarias,
podemos deducir un par de ecuaciones diferenciales
ordinarias:
d V z 

 R I  z   L I  z  j
dz
d I z 

 G V  z   C V  z  j
dz
ECUACIONES GENERALES DE
LA LINEA DE TRANSMISIÓN

estas ecuaciones podemos escribirlas como:
d V z 

  R  j L  I  z 
dz
d I z 

 G  j C V  z 
dz
ECUACIONES GENERALES DE
LA LINEA DE TRANSMISIÓN

Derivando la primera de esas ecuaciones y sustituyendo la
segunda en la primera y viceversa, tenemos :
d V z 
  R  j L G  j C  V z 
2
dz
2
d 2 I z 
  G  j C  R  j L  I z 
2
dz

Estas ecuaciones son conocidas bajo la denominación:
“ECUACIONES DE LA LINEA DE TRANSMISION CON
DEPENDENCIA ARMONICA EN EL TIEMPO”
ECUACIONES GENERALES DE
LA LINEA DE TRANSMISIÓN

La dependencia funcional del V(z) e I(z) se obtiene
de las ecuaciones:
d V z  2
  V z 
2
dz
2
d I z  2
  I z 
2
dz
2
  j

dónde se ha sustituido:

R  j LG  j  C 
m 1
ECUACIONES GENERALES DE
LA LINEA DE TRANSMISIÓN
 es la “CONSTANTE DE PROPAGACION”

Su parte real e imaginaria representan
respectivamente:

La “Constante de Atenuación”
de la línea de Transmisión

La “Constante de Fase”

de la línea de Transmisión

ECUACIONES GENERALES DE
LA LINEA DE TRANSMISIÓN


Debemos notar que la nomenclatura
adoptada guarda gran similitud a la usada en
la propagación de ondas planas en medios
con perdidas
La dependencia    en la frecuencia
es algebraicamente complicada
y por ello  no es constante
ECUACIONES GENERALES DE
LA LINEA DE TRANSMISIÓN

La nomenclatura adoptada es posible
establecerla porque:

Las ecuaciones cumplidas por V(z) e I(z)
tienen gran semejanza a las ecuaciones
cumplidas por ondas armónicas en medios
con pérdidas transmitiéndose en dirección
del eje de las “Z”
ECUACIONES GENERALES DE
LA LINEA DE TRANSMISIÓN

Es posible concluir que:

Relaciones y conclusiones sobre E y H para
la propagación de ondas planas armónicas
son aplicables a Voltajes y corrientes en
líneas de transmisión.

Nota: deberán excluirse las propiedades de
incidencia oblicua
Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas


Las propiedades eléctricas de una línea
de transmisión están en función de los
“Parámetros Distribuidos” R, L, G y C
Es necesario expresar los valores de
esos parámetros para
las líneas de transmisión más conocidas
Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas

Premisa Básica:



“La conductividad de los conductores en una
línea de transmisión es tan elevada que la
resistencia por unidad de longitud es muy
pequeña”
Por esa razón la resistencia en serie es
insignificante
Las ondas resultantes en la Línea de
Transmisión son aproximadamente “Ondas
Electromagnéticas Transversales”
Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas

Para una onda plana armónica trasmitiéndose en un
medio con pérdidas, el número de propagación
complejo es dado por:
 
2
2
2 
ˆ

k  o  ˆ  o   1 
j 



Si la onda se transmite con una fase dada por
e 
j
t k z
Interviene en la ecuación diferencial:
d E z 
2
ˆ
  k E z 
2
dz
2
Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas

Comparando las Ecuaciones:
d E z 
2
ˆ
  k E z 
2
dz
2
d I z  2
  I z 
2
dz
2

Se establece la igualdad
d V z  2




V
z
2
dz
2
2 
^
 k2
Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas

Considerando que la fase de la onda plana es
e 
j


t k z
La ecuación de Onda de los Telegrafistas

2 
 E
E
2 
 E  o 
 o 
2
t
t
Genera la ecuación independiente del tiempo:


2
2 
 E   j   o  E  j  o  E


2 
2
2
 E  j  o  E  j  o  E

2 
2
 E    o   j  o  E



 kˆ 2     2  o   j   o 

Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas

A partir de esa igualdad podemos escribir
kˆ 2     2  o   j   o  
 

 kˆ 2   2  o     j 




 kˆ 2   2  o    1  j







 kˆ 2    2  o   1  j







 kˆ 2    2  o   1  j 2
j



 kˆ 2    2  o   1 
j 






 kˆ 2  j 2 2  o   1 
j 







Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas

A partir de la última igualdad se puede escribir
la relación entre número de onda de una onda plana
en un medio disipativo y la constante de
propagación de la línea de transmisión:


   kˆ 2  j o   1 
j




1
2
Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas

Eliminando R y dividiendo el segundo binomio por
jC en la expresión de  en la ecuación de línea de
transmisión:
 

 j L G  j  C 

 G
j C 

j  L C 

 j C j C 
2
2

 G

   j  L C 
 1
 j C 
1
2
Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas

Supongamos que tenemos un condensador relleno de
 
 
dieléctrico
 D  d S   E  dS

Su capacitancia es dada por:
C
Q
 S    S  
V
  E  dr
  E  dr
L

L
Si el medio dieléctrico no es perfecto, puede tener una
conductividad (aunque pequeña) significativa para la existencia
de una corriente de conducción de una placa del capacitor a la
otra la resistencia asociada es dada por:
R
V

I
 
  E  dr
 
  E  dr
L
 
  
 j  dS   E  dS
L
S
S
Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas

Podemos asociar “una constante de tiempo” dada por
el producto RC :

 
 
 
 E  dS 
  E  dr    E  dS

V Q  L

RC 

 S  
  S
I V
S  E  dS   E  dr  S  E  dS 
 L


 
 
 

E

d
r
 E  dS 
 
   E  dS

C V Q  L



 S  
  S
G I V
S  E  dS   E  dr  S  E  dS 
 L


S

 
E  dS

 
E  dS 
S

S

S
 
E  dS

 
E  dS 
Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas


A partir de la última relación, es posible escribir la
expresión
Como:
 G

  j  L C 
1
 j C 
1
 

  j  L C 
1
 j 
1
2
2
Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas

Que coincide con la relación obtenida para la
onda plana en un medio disipativo a
condición que LC =  :


2
   kˆ  j o   1 
j





1
2
El producto LC puede considerarse tener el
valor , y de ahí puede calcularse L si se
conoce C y viceversa para los parámetros de
una línea de transmisión.
Parámetros de las Líneas de
Transmisión más conocidas

De igual forma, conociendo C, es posible conocer
G usando la identidad:
G 

C 

La resistencia R, es calculable a partir de la
pérdida de potencia en los conductores.
Línea de Transmisión de
Placas Paralelas
Línea de Transmisión de
Placas Paralelas

Esta línea presenta la forma:
Capacitancia e Inductancia de
la línea de Transmisión


La capacitancia de un condensador de placas planas
paralelas:
wl
C'  
d
Farads/m
La capacitancia por unidad de longitud:
w
C 
d

Como LC =  
L

C

d
w
Henry/m
Conductancia de la línea de
transmisión

Como
G 

C 


La conductancia se puede obtener en términos de la
Capacitancia:
C
w
G


d
S/m
Estudio de la Resistencia en
esta línea

Si el metal es real, la resistencia existe porque se
trata de “conductor imperfecto”
l 1 l
R 
A  A

Como l=1, se habla de la resistencia por unidad de
longitud:
1
R
 wd
Al considerar que la sección transversal efectiva de conductor
es wd
Estudio de la Resistencia en
esta línea

El campo eléctrico no es nulo dentro del conductor
(por existir :

El campo Eléctrico tiene componente tangencial a la superficie
de conductor

El campo Eléctrico no es Transversal necesariamente

Se puede perfectamente suponer que ese campo existe hasta
la profundidad de efecto “skin” d

Podemos suponer que el campo eléctrico en la región de
profundidad de piel, es aproximadamente uniforme (tarea
comprobar que el error no es muy grande)

Esto permite suponer que el Campo eléctrico genera corriente
en un paralelepípedo de sección “Ad”
Estudio de la Resistencia en
esta línea

La profundidad d es dada por:
d 


La resistencia es dada por:
R' 

2

 w 2
2
2
La Resistencia total debe duplicarse por tratarse de
dos conductores:
1 2 
R
w

( / m)
Línea de Transmisión Bifilar
Cálculo de Parámetros
Línea Bifilar

Esta línea esta constituida por:



Dos alambres conductores de radio “a” en la
sección transversal
Una separación uniforme “D”
Sumergidos en un medio dieléctrico de
constantes  y 
Línea Bifilar

La disposición geométrica es:
Línea Bifilar

Será necesario calcular los parámetros
distribuidos para esta Línea de
Transmisión:




Capacitancia C
Inductancia L
Conductancia G
Resistencia R
Cálculo de Campos Eléctricos
Método de Imágenes
Cálculo de Campos Eléctricos

Los Campos eléctricos debidos a cargas eléctricas
estáticas se evalúan por medio de la solución de la
ecuación diferencial:
 
E 
v

(Cuando se desea calcular el campo por medio del vector de
intensidad de campo eléctrico)

Si se busca el escalar potencial eléctrico para dar el
campo, se tiene que resolver la ecuación diferencial:

v
2
  E     V    V 

Cálculo de Campos Eléctricos

Se debe dar solución a la Ecuación de Poisson
v
 V 

2

En los puntos del espacio donde no existen cargas
evidentemente se cumple la Ecuación:
 V 0
2
(Ecuación Diferencial de Laplace)

Debe recordarse que las ecuaciones deben
ajustarse al Problema de Condiciones a la Frontera
Cálculo de Campos Eléctricos



En general, resolver las ecuaciones de Poisson y
Laplace representa un problema que puede
complicarse
En el caso de Problemas en los cuales hay simetría
geométrica, esas ecuaciones simplifican su solución
Existe un método que es capaz de resolver esas
ecuaciones cuando la simetría es muy fuerte, es el
METODO DE IMAGENES
Cálculo de Campos Eléctricos
Teorema de Unicidad

Dada una ecuación diferencial y unas
condiciones a la frontera bien determinadas,
LA SOLUCION DE LA ECUACION
DIFERENCIAL ES UNICA
METODO DE IMAGENES
Un Ejemplo
Problema de ejemplo

Una carga Q se coloca frente a un plano conductor
que se conecta a tierra, encontrar V(x,y,z) en todos
los puntos donde y>0, y encontrar la distribución de
carga sobre el plano conductor
Problema de ejemplo


Este problema se debería resolver
formalmente, por medio de la solución
general a la ecuación de Poisson
Mas la búsqueda de la solución que se
acople a las condiciones de Frontera:


V(x,y,z)=0 para todos los puntos del espacio
que cumplen y=0
V(x,y,z)=0 para puntos en el infinito
Problema de ejemplo

Este problema presenta las condiciones a la
Frontera V(x,y,z)=0 en y=0 porque:

el conductor es elevado a un mismo potencial según
obliga la ecuación

E   V

en el “interior” del conductor, el potencial debe ser
cero, ( por estar conectado a tierra )
Problema de ejemplo

Otro problema con las mismas condiciones a
la Frontera es:
“Una carga eléctrica positiva frente a otra de
igual magnitud pero de signo contrario”
Problema de ejemplo

Al tener los dos problemas las mismas
soluciones generales y las mismas
condiciones a la Frontera, por Teorema
de Unicidad
Las Soluciones son Idénticas
Problema de ejemplo

El campo en un punto cualquiera dado por
medio del potencial, utiliza las coordenadas
dadas en la siguiente figura:
Solución para las dos cargas

El potencial eléctrico es dado por


1
1
V ( x, y , z ) 

 2

2
2
2
2
2
40  x   y  d   z
x   y  d   z 

para y  0,
Q
mientras que V ( x, y, z )  0 si y  0

Esta es exactamente la misma solución para
nuestro problema del plano aterrizado, por
cumplirse el Teorema de Unicidad.
Cálculo de s

Para calcular la densidad superficial de carga
inducida en el conductor:


Es necesario pensar en la relación:
s

En 

o o
la componente tangencial a la frontera del campo
eléctrico (0), es continua bajo cualquier circunstancia
Evidentemente es necesario primero calcular el vector
de Intensidad de Campo Eléctrico a partir de

E   V
Cálculo de s

En este caso, la componente normal a la
superficie del plano conductor coincide con la
componente Ey, es decir:
En  E y
Cálculo de s

Los gradientes de las funciones que expresan
el potencial eléctrico son:
Cálculo de s

El gradiente de V(x,y,z), identificado con el negativo
del vector de Intensidad del Campo Eléctrico E es dado
por
Cálculo de s

Como la componente normal a la superficie del conductor es la
verdadera dirección del vector de Intensidad de Campo Eléctrico:

Ese vector en todo punto sobre la superficie del conductor tiene
coordenada Y=0, y por ello tiene la forma:
Cálculo de s


Finalmente el campo eléctrico queda:
De donde se puede concluir que la
distribucion superficial de carga es dada por
Método de Imágenes
Otro ejemplo importante:
“Línea Bifilar”
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”

Nuestro objetivo será encontrar la
Capacitancia de la Línea Bifilar.

Para poder hacerlo, se necesita plantear:


El Problema del Cálculo de Campo Eléctrico
entre dos líneas de carga con distribuciones
iguales y de signo contrario
Que generan un Campo Eléctrico de superficies
equipotenciales coincidentes a las superficies
de los conductores Bifilares
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”

Se resuelve primero el problema de una línea
de carga colocada paralelamente a un
conductor de radio “a” de sección transversal
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”


Ahora la imagen de la
carga debe ser otra
línea de carga colocada
a la distancia “di”del
centro del conductor y
dentro del conductor
La superficie del
conductor debe ser una
superficie equipotencial
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”


La línea de carga
tiene densidad
longitudinal i
Suponemos que esa
carga por simetría
del problema. Debe
estar en Pi
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”

Es claro que debemos determinar “dos
incognitas”:
i y d i

Como una proposición inteligente, damos la
igualdad:
i   l

Se validará esta igualdad cuando se cumplan
las “condiciones a la frontera” del problema
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”

Como antes, se propone la búsqueda del potencial
eléctrico debido a la distribución l por medio de
r
r
 
l
l
ro
V    E  dr    E dr   
dr 
ln
20 r
2o r
a
ro
ro
b

Notar que ro no puede elegirse como el infinito, para
no tener presente esta última cantidad en la
expresión del potencial puntual
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”

El potencial eléctrico fuera del conductor
cilíndrico cumple:


El es dado por la suma del potencial debido a i
mas la contribución de l
En el punto M es dado algebraicamente por:
l
ro
l
ro
l
ri
VM 
ln 
ln 
ln
2o r 2o ri
2o r

Se supondrá que ro es un punto equidistante de l y i para facilitar su eliminación
algebraica
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”

Las superficies equipotenciales son lugares
geométricos dados por:
V  cte.
ri
  cte.
r

Si deseamos que la superficie del conductor sea una
“Superficie Equipotencial”

Los triángulos OMPi y OPM deben ser triángulos semejantes
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”


Esos triángulos tienen un ángulo común, el ángulo
MOPi
Otro de los ángulos de ambos triángulos debe ser
igual para ellos, proponemos los ángulos OMPi y OPM
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”


Por semejanza de triángulos se tienen las
proporciones:
Pi M
OPi O M


PM
O M OP
Que pueden expresarse por medio de:
ri d i
a

  cte.
r
a
d
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”

A partir de la última expresión, es posible
deducir la condición que debe cumplir “di” para
que la superficie del conductor sea una
equipotencial:
2
a
di 
d

El punto Pi es llamado el punto inverso de P
respecto al circulo de radio “a”
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”


La línea de carga negativa -i puede sustituir al
conductor desde su superficie hacia fuera del
mismo.
El conjunto de las dos líneas de carga i y l pueden
representar el campo del arreglo
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”



Es decir, el arreglo anterior es posible cambiarlo por el
arreglo de dos líneas de carga i y l (cumpliendo i =- l)
separadas la distancia d-di.
Esta sustitución simplifica el cálculo de V y E a partir de
la superficie del hilo conductor de radio de sección
transversal “a”
Por simetría la superficie conductora de radio “a” con
centro a una distancia di a la derecha de l también es
una superficie equipotencial
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”

Las distribuciones quedan entonces como:
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”


Resolvamos nuestro problema de calcular la
capacitancia de una línea bifilar de separación de
centros D y radios de secciones transversales “a”.
Las superficies equipotenciales pueden suponerse
generadas por dos líneas de carga i y -l separadas
una distancia D-di = d-di
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”



La diferencia de potencial es aquella que hay entre
dos puntos cualesquiera de las superficie de los
conductores.
A partir de la ecuación
l
ro
l
ro
l
ri
VM 
ln 
ln 
ln
2o r 2o ri
2o r
se obtienen los potenciales sobre las superficies
l
a
(tomando en cuenta que)
V 
ln
2
a
di 
d
2
2o
V1  
d
l
a
ln
2o
d
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”



V1 es positivo y V2 es negativo porque a<d
La capacitancia por unidad de longitud es dada por
 o
l
C

V1  V2
d 
ln  
a
donde
a2
d  D  d1  D 
d
de donde
D  D 2  4a 2
d
2
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”

Existe otra solución, pero se desprecia porque D y d
son mucho mayores que “a”:
D  D 2  4a 2
d
2
es despreciad a

Sustituyendo en la expresión de la capacitancia
tenemos:
C
 o
1


 D 

D
ln       1
2a 
2a 






Farads
m
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”

Si se utiliza la relación entre logaritmos naturales y funciones
hyperbólicas:


ln x  x 1  cosh

2
1
x 
, si x  1
Esto permite reescribir la expresión de la capacitancia:
C
o
1  D 
cosh  
 2a 
Farads
m
Cálculo de la Capacitancia
“Línea Bifilar”

NOTA:Si el diámetro de los conductores es muy pequeño
comparado con la distancia de separación entre ellos
D/2a>>1, la capacitancia se simplifica a:
C
o
D
ln  
 2a 
Cálculo de parámetros
distribuidos “Línea Bifilar”

Procedamos a dar los parámetros distribuidos de
una “línea bifilar”:


Se trata como hemos venido analizando, de dos alambres
cilíndricos paralelos de radio “a” y constantes (,)
La capacitancia (ya calculada) es dada por:
C
 o
1


 D 

D
ln       1
2a 
2a 






Farads
m
Cálculo de parámetros
distribuidos “Línea Bifilar”

Usando las expresiones auxiliares de cálculo de los
parámetros distribuidos:
G 

C 

L

C
La inductancia por unidad de longitud es dada por:

1  D 
L  cosh   Henry / m

 2a 

La Conductancia por unidad de longitud es dada por:
G

D
cosh  
 2a 
1
S /m
Cálculo de parámetros
distribuidos “Línea Bifilar”

Para hallar la resistencia es necesario considerar la
ecuación:
1
1
R


S

 wd
La variable “w d” representa el area por la que
existe corriente de conducción asociada a la
penetración del campo eléctrico en el conductor
Esa área es dada en la figura:
Cálculo de parámetros
distribuidos “Línea Bifilar”

Esa área es dada por:
wd  a 2   a  d 
2
 a 2  a 2  2ad  d 2
 2ad

Como son dos alambres en paralelo esa
resistencia debe considerarse al doble:
1
1  f
R

ad a

Línea de Transmisión Coaxial
Cálculo de Parámetros
Distribuidos
Capacitancia de Línea Coaxial

Sabemos que la Capacitancia de un cilindro coaxial
de radio interno “a” y externo “b” separados por un
medio dieléctrico de constantes (,) es dado por:
2
C
b
ln  
a
Parámetros Distribuidos de
Línea Coaxial

Usando las expresiones auxiliares de cálculo de los
parámetros distribuidos:
G 

C 

L

C
La inductancia por unidad de longitud es dada por:
 b
L
ln   Henry / m
2  a 

La Conductancia por unidad de longitud es dada por:
2
G
S /m
b
ln  
a
Cálculo de parámetros
distribuidos “Línea Bifilar”

Para hallar la resistencia es necesario considerar la
ecuación:
1
1
R


S

 wd
La variable “w d” representa el area por la que
existe corriente de conducción asociada a la
penetración del campo eléctrico en cada conductor
Esas áreas son dadas en la figura
anexa:
Cálculo de parámetros
distribuidos “Línea Bifilar”


Esa área es dada por:
Si  2ad
area conductor dentro
Se  2bd
area conductor fuera
Como son dos alambres en paralelo esa
resistencia debe considerarse al doble:
1
1
1 1 1
R


  
 Si  So 2d  a b 
Cálculo de parámetros
distribuidos “Línea Bifilar”

En consecuencia la resistencia tiene el valor:
1
R
2
1 1  f  
  
m
a b 
Breve Análisis de Medios con
Pérdidas
Repaso de las variaciones
respecto a nuestro análisis
precedente
Medios con Pérdidas

Es necesario efectuar un análisis cuando la
dependencia funcional del factor de
propagación de una onda plana no es dado
como lo calculamos sino por:
e


j ( t  k r )
Que genera los operadores:

   jk

 j
t
Medios con Pérdidas


La ecuación de Helmholtz se convierte en:




 
 E  j c E
  H    j  E  j   
j 

Concluyendo en la existencia de la permitividad
compleja ahora dada por:

c    j


Los efectos de perdidas ohmicas y amortiguamiento
son incluidos en la parte imaginaria de :
 c     j 

los coeficientes ’ y ’’ son funciones de la frecuencia
Medios con Pérdidas

Se define alternativamente una conductividad
equivalente que representa todas las perdidas:
   

A la razón ’’/’ se le denomina TANGENTE DE
PERDIDAS y como ya lo habíamos indicado
anteriormente en el curso, es una medida de la
pérdida de potencia en el medio:
  
tan d c 

  
Medios con Pérdidas


El ángulo dc es llamado el ángulo de pérdidas
Un criterio acerca de la calidad de dieléctrico o
conductor es el siguiente:
   buen conductor
   buen dieléctric o

La constante de propagación en un medio con
perdidas es dada por:
  j  c m
1

Medios con Pérdidas

Esta constante de propagación se escribe de dos
formas distintas como:

 

  j  c 1 
j 

  

  j  ' 1  j 
 


1
2
Analicemos dos casos de aplicación de esta
expresión:


Dieléctricos con pequeñas perdidas
Buenos Conductores
Medios con Pérdidas

Un dieléctrico con pequeñas perdidas


Se tiene ’’<<’ o / 1
La constante de atenuación es dada por:
2

  1     
    j  j   1  j
   
2  8     

  
 
Np / m
2 
 1     2 
      1     rad / m
 8     
Medios con Pérdidas

La impedancia intrínseca de un dieléctrico con
pequeñas perdidas es la cantidad compleja:

  
c 
1  j 
 
 



1
2

  

1  j
 Ohms
 
2  
Esta impedancia es la razón de Ex y Hy en una onda
plana uniforme
Esas ondas están defasadas.
La velocidad de Fase es dada por:
v 



2



1
1  
1    
   8     
Medios con Pérdidas

Un buen conductor

En un buen conductor /1 en la expresión siguiente se
desprecia 1:
  j  c


 
1 

j 

1
2
Que se reduce a:
  j 

1 j


j
2
Medios con Pérdidas

Se puede llegar a encontrar que
   f

La impedancia intrínseca de un buen conductor es:

 f
c 
 1  j 
c


La velocidad de fase es dada por:

v 


2

Medios con Pérdidas

El efecto Skin es dado ahora por:
d 
1


1
metros
 f 

d  
 2
1
Cuadro resumen de los
parámetros distribuidos
Casos:
Linea biplano Conductor
Línea Bifilar
Linea Coaxial
Parámetros distribuidos R, L, G y C para
las 3 líneas de transmisión
PARAMETRO
LINEA PLACAS
PARALELAS
BIFILAR
COAXIAL
UNIDADES
R
2
Rs
w
Rs
a
Rs  1 1 
  
2  a b 
 b
ln 
2  a 
/m
2 
b
ln 
a
S /m
L
G
C

d
w

w
d

w
d

D
cosh 1  

 2a 

D
cosh 1  
 2a 

D
cosh 1  
 2a 
2 
b
ln  
a
H /m
F /m
Comentarios sobre la tabla
anterior

En la tabla anterior se define:
 f
Rs 



Rs es la parte real de la impedancia intrínseca del
conductor:
 f
c  Rs  j X s  1  j 

A frecuencias altas, la corriente se desplaza a la
superficie de los conductores debido al “efecto skin”