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66.44 Instrumentos Electrónicos
Introducción a líneas de transmisión
Definición
Es un sistema de conductores capaces de transmitir
potencia eléctrica desde una fuente a una carga.
De acuerdo a esta definición tanto la línea de alta
tensión proveniente desde El Chocón, como una
línea telefónica, un cable coaxial o las pistas de un
circuito impreso son líneas de transmisión.
No es su único uso ya que también se las puede
utilizar como circuitos sintonizados, transformadores
(para adaptar impedancias), etc.
Introducción a líneas de
transmisión
2
¿Por qué ver líneas en un curso
de instrumentos electrónicos?
Pues bien, ¿para que se utiliza un instrumento
electrónico?
Los
instrumentos
electrónicos
se
utilizan
básicamente para realizar mediciones sobre un
circuito sin afectar el funcionamiento del mismo.
Esto depende fundamentalmente de las características de los
instrumentos seleccionados para realizar la medición (una mala
selección puede sacar de funcionamiento al circuito bajo ensayo,
provocar la destrucción del mismo y del instrumento), pero los
instrumentos se vinculan al circuito y entre sí mediante conductores
que transmiten energía eléctrica (o sea las líneas de transmisión). Al
finalizar este tema entenderemos porque una mala selección de
estos “conductores” puede lograr los mismos efectos que una mala
selección de los instrumentos a utilizar.
Introducción a líneas de
transmisión
3
Tipos de líneas de transmisión
Las líneas de transmisión pueden dividirse en distintos
tipos según su geometría o según su equilibrio eléctrico.
Según su equilibrio eléctrico:
Balanceadas: son aquellas donde entre cada conductor y
tierra aparece la misma diferencia de potencial (en módulo)
Desbalanceadas: no se cumple lo mencionado en el párrafo
anterior ya que generalmente uno de los conductores está
vinculado a tierra.
Según su geometría:
unifilares, bifilares, coaxiales, cables radiantes, etc.
En la práctica esto provoca que por su geometría cierto tipo de
líneas se utilicen mayormente como líneas desbalanceadas (por
ejemplo los cables coaxiales) u otras como balanceadas (bifilares).
Introducción a líneas de
transmisión
4
Descripción del funcionamiento
¿Cómo analizar el funcionamiento de una línea de
transmisión?
Utilizando la teoría electromagnética
Por ejemplo en una línea bifilar se pueden plantear las ecuaciones
que describan la distribución del campo electromagnético en la
misma
E
H
H
Introducción a líneas de
transmisión
5
Descripción del funcionamiento
De la figura anterior se puede deducir la existencia de un
vector de Poynting que va a lo largo de la línea de
transmisión dado por la siguiente ecuación:
P  EH
Este vector es el que sostiene las ondas de tensión y
corriente que se desplazan en la línea.
Este método si bien no posee las limitaciones del
método que se verá a continuación, implica el desarrollo
de largos formuleos que están fuera del alcance de este
curso debido al escaso tiempo para desarrollarlo.
Introducción a líneas de
transmisión
6
Descripción del funcionamiento
Utilizando la teoría de circuitos
Esta visión más simplificada de las líneas de transmisión
sólo es válida mientras que la distancia que separa los
distintos conductores (d) que conforman la misma sea
mucho menor que la longitud de onda () de las señales
que viajan por la misma.
Al aplicar la teoría de circuitos a las líneas se descubrió
que la solución que más se aproximaba a la realidad
física era suponer a la línea compuesta por circuitos
elementales tipo ‘T’ de constantes distribuidas por
unidad de longitud.
Introducción a líneas de
transmisión
7
Descripción del funcionamiento
De acuerdo a esto se definen los siguientes parámetros
y el circuito que los asocia:
•Inductancia serie por metro (l)
•Resistencia serie por metro (r)
•Capacidad paralelo por metro (c)
•Conductancia paralelo por metro (g)
1
 l  dx
2
1
 r  dx
2
1
 l  dx
2
i
i
g  dx
1
 r  dx
2
i
 dx
x
c  dx
e
e
e
 dx
x
dx
Introducción a líneas de
transmisión
8
Descripción del funcionamiento
Planteando la primer Ley de Kirchoff se obtiene
i
(i   dx)
1
1
i 1
1
i
e
x
e   r  dx  i   l  dx    l  dx 
  r  dx  (i   dx)  e   dx
2
2
t 2
t
2
x
x
i
)
1
1
i 1
i 1
1
1
i
e
2

x
e   r  dx  i   l  dx    l  dx    l  dx 
  r  dx  i   r  dx 2   e   dx
2
2
t 2
t 2
t
2
2
x
x
(
Despreciando diferenciales de segundo orden y dividiendo por dx
queda la primer ecuación telegráfica
e
i

 r i  l 
x
t
Ecuación 1
Introducción a líneas de
transmisión
9
Descripción del funcionamiento
Planteando la segunda Ley de Kirchoff se obtiene
1
1
i
1
1
i
i
i  g  dx  (e   r  dx  i   l  dx  )  c  dx  (e   r  dx  i   l  dx  )  i   dx
2
2
t
2
2
t
x
1
1
i
e 1
i
1
 2i
i
2
2
2
i  g  dx  e   r  g  i  dx   l  g   dx  c  dx    r  c   dx   c  l  2  dx 2  i   dx
2
2
t
t 2
t
2
t
x
Despreciando diferenciales de segundo orden y dividiendo por dx
queda la segunda ecuación telegráfica
i
e
  g e  c
x
t
Ecuación 2
Introducción a líneas de
transmisión
10
Descripción del funcionamiento
Suponiendo que aplicamos una tensión senoidal a un extremo de la
línea
j  t
e  E ( x)  e
y remplazando esta expresión en la ecuación 1 se obtiene

si definimos
E( x )
x
 e j t  r  i  j    l  i
r  j   l  z

E( x )
x
la expresión anterior resulta en
 e jωt  z  i
Ecuación 3
Introducción a líneas de
transmisión
11
Descripción del funcionamiento
Si se aplica una tensión senoidal es lógico suponer que la corriente que
circula por la línea también será senoidal
j  t
i  I ( x)  e
por lo tanto la ecuación 3 quedaría

E( x )
x
  z  I ( x)
Ecuación 4
Análogamente si se repite el procedimiento para la corriente en la ecuación
2 y definiendo
y  g  j   c
se obtiene
Introducción a líneas de
transmisión
12
Descripción del funcionamiento

I ( x )
x
  y  E( x )
Ecuación 5
Derivando nuevamente esta ecuación y despejando se llega a
2

I ( x)
E( x )
1


2
y x
x
reemplazando en la ecuación 4 y operando queda
 2 I ( x)
x
2
 z  y  I ( x)
Introducción a líneas de
transmisión
13
Descripción del funcionamiento
si se repite el proceso pero derivando la ecuación 4 y reemplazando en la
ecuación 5 se llegará a
 2 E( x )
x
2
 z  y  E( x )
Esta es una ecuación diferencial de segundo grado cuya solución es
E( x )  V1e
 x z  y
 V2 e
x z  y
Ecuación 6
aplicando esta solución a I(x) en la ecuación 4 se obtiene
I ( x)
1

   ( z  y V1  e
z
z y  x
 z  y  V2  e
z y x
)
Ecuación 7
Introducción a líneas de
transmisión
14
Descripción del funcionamiento
Si se realizan las siguientes definiciones
z y   j 
z
 Z0
y
: constante de propagación de la línea .......
: atenuación de la línea .......
: constante de fase de la línea .......
Z0: impedancia característica ......
y se aplican las mismas a las ecuaciones 6 y 7 se obtiene
E( x )  V1  e x  V2  e x
Ecuación 8
Introducción a líneas de
transmisión
15
Descripción del funcionamiento
I ( x)
V1   x V2   x

e  e
Z0
Z0
Ecuación 9
Estas son las ecuaciones que rigen el comportamiento de una línea de
transmisión.
A continuación veremos que significan estas ecuaciones para lo cual se
supondrá un circuito simple formado por un generador, una impedancia de
carga (ZL) y una línea de transmisión de impedancia característica Z0
vinculando ambos.
E( x)  e jt  V1  e x  e j (t  x )  V2  e x  e j (t   x)
Ecuación 10
Introducción a líneas de
transmisión
16
Descripción del funcionamiento
El primer termino del segundo miembro muestra una onda que viaja del
generador hacia la carga (onda incidente) y el segundo término una que
viaja de la carga hacia el generador (onda reflejada).
Para poder obtener las condiciones de contorno que nos permitan obtener
los valores de las constantes V1 y V2 plantearemos distintos casos de un
circuito simple compuesto por un generador ideal, una impedancia de carga
(ZL) y una línea de transmisión de impedancia característica Z0 que los
vincula.
Z0
Introducción a líneas de
transmisión
ZL
17
Descripción del funcionamiento
1er caso ZL=Z0
Si la longitud de la línea tiende a infinito, se puede apreciar en las
ecuaciones 9 y 10 que los segundos términos del segundo miembro
también tienden a infinito. Esto es incompatible con la realidad física, por lo
tanto V2 debe ser nulo quedando
j  t
  x
j ( t    x )
E( x )  e
 V1  e
e
Ecuación 11
Supongamos el caso ideal en que =0 (línea sin pérdidas), y elegimos dos
pares de valores (x1, t1) y (x2,t1) tales que:
V1  e j( t1    x1 )  V1  e j( t1    x2 )
e
j  x1
e
j  x2
Introducción a líneas de
transmisión
18
Descripción del funcionamiento
Si definimos x2-x1 como la longitud de onda () se obtiene
    2 
Si elegimos ahora dos pares de valores (x1, t1) y (x2,t2), siempre sobre una
línea ideal sin pérdidas tales que:
j ( t1    x1 )
j ( t 2    x2 )
V1  e
 V1  e
  (t2  t1 )    ( x2  x1 )
 x2  x1

v
 t 2  t1
2   f
v
2 

Introducción a líneas de
transmisión
19
Descripción del funcionamiento
 f v
O sea que la velocidad de propagación es igual al producto de la frecuencia
por la longitud de onda. La velocidad de propagación entre otros
parámetros depende del dieléctrico de la línea, por lo tanto dos señales de
igual frecuencia tendrán distinta  dependiendo del medio de propagación
2do caso ZLZ0
Partiendo de la ecuación 10 para tensión y de la 9 para la corriente se
pueden plantear las siguientes ecuaciones de onda
e  e1( x,t )  e2 ( x,t )
Introducción a líneas de
transmisión
20
Descripción del funcionamiento
i
e1( x ,t )
Z0

e2 ( x ,t )
Z0
Sobre la carga se debe seguir cumpliendo la ley de Ohm así que
e2 L
1
eL e1L  e2 L
e1L
ZL 

 Z0 
e2 L
iL e1L  e2 L
1
Z 0 Z0
e1L
Definiendo el coeficiente de reflexión  como la relación entre la tensión
incidente y reflejada queda:
Introducción a líneas de
transmisión
21
Descripción del funcionamiento
e2 L

e1L
1 
Z L  Z0 
1 
Z L  Z0

Z L  Z0
Al módulo del coeficiente de reflexión se lo designa con la letra griega “” y
en función de este se designa perdida de inserción a la siguiente expresión:
Perdida de inserción = 20 log(  )
En la ecuación 10 se podían apreciar dos ondas viajeras a lo largo de la
línea (una incidente y una reflejada), si representamos las mismas mediante
fasores tendríamos el siguiente esquema
Introducción a líneas de
transmisión
22
Descripción del funcionamiento
V2
- x
V1
x
Donde se puede apreciar que a lo largo de la línea se verá una señal
periódica con sus correspondientes mínimos y máximos. A la relación entre
el valor máximo y mínimo se la denomina relación de onda estacionaria
ROE (o VSWR en inglés).
ROE 
V1  V2
V1  V2
1

1
V2
V1
V2

1 
1 
V1
Introducción a líneas de
transmisión
23
Implicancias de tener una línea
de transmisión en un circuito
Hasta aquí se han visto las ecuaciones de las ondas de tensión y corriente
a lo largo de una línea y se han definido los parámetros de la misma (Z0, ,
, v) y otros parámetros que además dependen de la señal que viaja por
ella y de la carga existente al final de ella (,  y ROE o WSWR).
¿Pero que significa introducir una línea en nuestros circuitos?
Supongamos tener una línea de longitud “L”, al final de la línea en la carga
E=EL e I=IL, partiendo de las ecuaciones 8 y 9
  L
 L
L
1
2
Ecuación 12
E V e
V  e
Z 0  I L  V1  e  L  V2  e L
Ecuación 13
Introducción a líneas de
transmisión
24
Implicancias de tener una línea
de transmisión en un circuito
Sumando miembro a miembro las ecuaciones 12 y 13
EL  Z 0  I L  2 V1  e
  L
Z L  Z 0  L
 V1  I L 
e
2
Reemplazando V1 y V2 en las ecuaciones 8 y 9
Z L  Z 0  ( L  x )
Z L  Z 0  ( L  x )
E( x )  I L 
e
 IL 
e
2
2
Z L  Z 0  ( L  x )
Z L  Z 0  ( L  x )
I ( x)  I L 
e
 IL 
e
2  Z0
2  Z0
Introducción a líneas de
transmisión
25
Implicancias de tener una línea
de transmisión en un circuito
El término L-x representa el punto de la línea que está a una distancia d de
ZL , por consiguiente aplicando esto y ley de Ohm sobre ZL queda
I(d )
EL  I L  Z 0  d EL  I L  Z 0  d

e 
e
2  Z0
2  Z0
desarrollando ed = cosh(d)+senh(d) se obtiene
E( d )
EL  I L  Z 0

 (Cosh(  d )  Senh(  d )) 
2
EL  I L  Z 0

 (Cosh(  d )  Senh(  d ))
2
Introducción a líneas de
transmisión
26
Implicancias de tener una línea
de transmisión en un circuito
E( d )  EL  Cosh(  d )  Z 0  I L  Senh(  d )
Análogamente
I (d )
EL

 Senh(  d )  I L  Cosh(  d )
Z0
Dividiendo miembro a miembro estas dos ecuaciones se obtiene la
impedancia que presenta la línea a una distancia determinada de ZL
Z(d ) 
E( d )
I(d )
EL  Cosh(  d )  Z 0  I L  Senh(  d )

EL
 Senh(  d )  I L  Cosh(  d )
Z0
Ecuación 14
Introducción a líneas de
transmisión
27
Implicancias de tener una línea
de transmisión en un circuito
Dividiendo numerador y denominador por ILCosh(  d ) se obtiene
Z(d )
Z L  Z 0  Tanh(  d )

1  Z  Tanh(  d )  1
Z0
L
Multiplicando numerador y denominador por Z0
Z(d )
Z L  Z 0  Tanh(  d )
 Z0 
Z 0  Z L  Tanh(  d )
Ecuación 15
De la ecuación anterior se puede concluir que la impedancia que se ve a la
entrada de una línea de longitud “L” terminada en una impedancia ZL es
Introducción a líneas de
transmisión
28
Implicancias de tener una línea
de transmisión en un circuito
Z L  Z 0  Tanh(  L)
Ze  Z0 
Z 0  Z L  Tanh(  L)
Donde se puede apreciar que la impedancia de entrada no sólo depende de
la impedancia al final de la línea sino también de los parámetros de la línea
(Z0, , ) y de la relación entre el largo de la misma y la frecuencia de la
señal que viaja por ella (ya que =2 / )
¿Que sucede en el caso ideal de una línea sin pérdidas ( = 0)?
En este caso  = j, por lo tanto recordando que Tanh(jx) = j tan(x) y
reemplazando en la expresión anterior se obtiene
Introducción a líneas de
transmisión
29
Implicancias de tener una línea
de transmisión en un circuito
Ze  Z0 
Z L  j  Z 0  tan(
2 
 L)

2 
Z 0  j  Z L  tan(
 L)

Ecuación 16
Se analizará a continuación que ocurre para diversas combinaciones
entre L (longitud de la línea) y  (longitud de onda de la señal) así como
también para distintas impedancias de carga
Introducción a líneas de
transmisión
30
Implicancias de tener una línea
de transmisión en un circuito
1er Caso) Líneas de longitud /2 o múltiplos enteros de /2
2  
Z L  j  Z 0  tan(
 )
ZL  j  0

2
Ze  Z0 
 Z0 
 ZL
2  
Z

j

0
0
Z 0  j  Z L  tan(
 )
 2
2do Caso) Líneas de longitud /4 o múltiplos impares de /4
2  
Z L  j  Z 0  tan(
 )
2
Z

j

Z


Z
 4 Z  L
0
0
Ze  Z0 

0
2  
Z0  j  Z L   Z L
Z 0  j  Z L  tan(
 )
 4
Introducción a líneas de
transmisión
31
Implicancias de tener una línea
de transmisión en un circuito
Si Ze y ZL son resistivas puras se cumple que
Z 0  Re  RL
Este es el motivo por el cual a la línea de cuarto de onda se la suele llamar
“transformador de cuarto de onda” ya que permite adaptar 2 resistencias
que cumplan la condición anterior.
3er Caso) ZL= 
En este caso resulta IL=0 por lo tanto de la ecuación 14 se obtiene
Ee E L  Cosh(  L)
Ze 

  j  Z 0  cotg (   L)
EL
Ie
 Senh(  L)
Z0
Introducción a líneas de
transmisión
32
Implicancias de tener una línea
de transmisión en un circuito
Si Z0 es resistiva, como ocurre en la práctica, dependiendo de la relación
entre la longitud de onda y el largo de la línea, la impedancia de entrada
será capacitiva o inductiva pura. También se presentará como un circuito
resonante serie (múltiplos enteros impares de /4) o resonantes paralelos
(múltiplos enteros de /2)
4to Caso) ZL= 0
Es un caso similar al anterior pero en este caso resulta
Z e  j  Z 0  tan(   L)
obteniéndose los mismos resultados pero invertidas las condiciones de
resonancia serie y paralelo.
Introducción a líneas de
transmisión
33
Cables Coaxiales
Hasta aquí las ecuaciones generales de una línea de transmisión. Los
parámetros descriptos (, , ) dependen de los parámetros constructivos
de la línea. Veamos de donde surgen en un cable coaxial.
El patrón del campo electromagnético en un coaxial se basa en el modo
transversal electromagnético (TEM). Este es un modo de propagación
donde en todas partes (dentro del cable) el campo eléctrico y magnético
son perpendiculares entre sí y perpendicular al sentido longitudinal del
cable.
Campo
eléctrico
Campo
magnético
Introducción a líneas de
transmisión
34
Cables Coaxiales
A medida que sube la frecuencia de la señal en le cable aparecen otros
modos de propagación no deseados por lo tanto es importante conocer la
máxima frecuencia de trabajo la cual se puede calcular como:
2c
fc 
   r  d  D 
Donde:
c = velocidad de la luz en el vacío
r = permitividad relativa del dieléctrico
d = diámetro del conductor interior
D = diámetro del conductor exterior
La impedancia característica de la línea se obtiene como (aproximación
válida para frecuencias superiores a 5 Mhz)
60
D
Z0 
 ln
d
εr
Introducción a líneas de
transmisión
35
Cables Coaxiales
Y la atenuación (dB/100m) para frecuencias superiores a 10 Mhz se puede
aproximar a
4,58   r  f  1
1




d 
D
D 2
1

ln
d

  9,1  r  f  tan 


Donde los diámetros se expresan en mm, la frecuencia en Mhz y:
1 = conductividad del conductor interior (MS/m)
2 = conductividad del conductor exterior (MS/m)
tan  = Factor de disipación del dieléctrico
La atenuación además varía con
aproximadamente la siguiente fórmula
la
temperatura
siguiendo
T   ( 20C )  1  0,004  (T  20C )
Introducción a líneas de
transmisión
36