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Capítulo 3: EL CAMPO ELÉCTRICO EN LA MATERIA
1. Los conductores, los semiconductores y los dieléctricos
2. Los sólidos cristalinos, los policristalinos y los amorfos
3. El dipolo eléctrico
4. La polarización
5. La generalización de la ley de Gauss
6. Los dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos
7. Las condiciones de frontera para D y E
8. Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática en medios
materiales
9. La densidad de energía del campo eléctrico

E 
0
 E  0
•Las cargas eléctricas son “libres”. Las podemos
poner y quitar; tenemos control sobre ellas.
•Los conductores son sencillos. Sus propiedades
hacen que solo aparezcan como condiciones a la
frontera.
La polarización es el campo vectorial
que resulta de los momentos dipolares
eléctricos permanentes o inducidos en
un material dieléctrico.
El Vector de Polarización P se define
como el momento dipolar eléctrico por
unidad de volumen.
 (r ) 
1
4 0

S (V )
 (r ) 
4 0

 P    P
 P  P  nˆ
1

  P
1
P  nˆ
dV 
dS  

4 0 V r  r 
r  r

S (V )
 P (r )
r  r
dS  
1
 P ( r )
 r  r
4 0 V
dV 
E (r )    r 
1
 P (r ) r  r 
1
 P (r ) r  r 
E (r ) 
dS  
dV 
2
2


4 0 S (V ) r  r  r  r 
4 0 V r  r  r  r 
 P  P  nˆ
P    P
QP  0
D

dS

Q
libre

S
  D  r   libre  r 
D  0E  P
  D  libre
 E  0
Relaciones constitutivas
D  0E  P
P  P( E )
•Ferroeléctricos
Son los materiales que tienen una
polarización neta (Electretos) o que
cuando los pones en un campo mantienen
la polarización, una vez retirado el campo
•No-ferroeléctricos
Cuando se retira el campo la polarización
vuelve a cero
D  0E  P
P  P (E )
1. Materiales No-ferroelectricos
P( E )   0 χ ( E , r ) E
; χ ( E , r ) en general es una matriz
(En los materiales ferroelectricos P  0 cuando E  0)
D  0E  P
P  P( E )
2. Materiales isotrópicos
P( E )    ( E , r ) E
0
;  ( E , r ) es un escalar
No hay una dirección preferencial.
El campo E establece una
D  0E  P
P  P( E )
3. Materiales lineales
P(E)    (r )E
0
 (r ) es un escalar
P   0  (r ) E
Ecuaciones de Maxwell para medios materiales
  D  libre
 E  0
Relaciones constitutivas
Dr    r  E r 
   0 1    r  
P  0 E
   0 1   
 es una constante
D(r )   E (r )
l
  E (r ) 

2
1
 libre
E1,T  E2,T
Las componentes tangenciales del campo
eléctrico son continuas
2
1
D
2
 libre

 D1  nˆ2   libre
La componente normal del vector de
desplazamiento eléctrico tiene una
discontinuidad igual a la carga superficie libre
 D  D   nˆ  
 E   E   nˆ  
2
2
Si
1
2
2
1
1
libre
2
libre
 libre  0 como  1E1, n   2 E2, n  0
E1, n  2

E2, n 1
  D  libre
 E  0
D  0E  P
E0
P
a


E0
r
  0
2
1 
1
 
 
1

r   2
0
 sin 
 2 2
2 
2
r r
r sin   
  r sin  
2
2

l
  l 1
l

 Ylm  , 
  r , ,      Alm r  Blm r

l  0 m  l
Ylm  ,  
2l  1  l  m ! m
Pl  cos  exp  im 
4  l  m !
Ylm  ,  
2l  1  l  m ! m
Pl  cos  exp  im 
4  l  m !
Si el problema tiene simetría azimutal, es decir,
la solución no debe depender de  , entonces
sólo podemos tener los términos con m  0
Yl 0  ,  
2l  1  l  0 ! 0
Pl  cos  exp  0 
4  l  0 !
m0
1 0
Yl 0  ,  
Pl  cos 
4

  l 1
l

 Pl  cos 
  r ,     Al r  Bl r

l 0
E0
P
a


E0
r
E0
 out
in
E0

  l 1
l

 Pl  cos 
  r ,     Al r  Bl r

l 0
El potencial  debe ser finito en r  0,
por lo tanto los coeficientes de
1
r l 1
deben ser cero dentro de la esfera, y

in  r ,    Al r Pl  cos 
l
l 0

out  r ,     Bl r  Cl r
l
l 0

z 
  l 1
 Pl  cos 

  E0 z   E0r cos

  l 1
l

 Pl  cos 
out  r ,     Bl r  Cl r

l 0
Bl  0 para todo l  1
B1   E0

out  r ,    E0 r cos   Cl r
l 0
  l 1
Pl  cos 
Componente tangencial de E
1 in

a 
r a
1 out

a 
r a
Componente normal de D
in

r
r a
out
 0
r
r a

in  r ,    Al r Pl  cos 
l
l 0

in  r , 
l
  Al r Pl cos  sin 

l 0

in  r , 
l
  Al a Pl cos  sin 

l 0
r a

out  r ,    E0 r cos   Cl r
l 0
  l 1
Pl  cos 

out  r , 
  l 1
 E0r sin    Cl r
Pl cos  sin 

l 0

out  r , 
  l 1
 E0 a sin    Cl a
Pl cos  sin 

l 0
r a
Componente tangencial de E
1 in

a 
r a
1 out

a 


l 0
l 0
r a
 Al a l Pl cos  sin   E0 a sin    Cl a
C1
 A1a  E0 a  2
a
C1
A1   E0  3
a
  l 1
Al a  Cl a
l
Cl
Al  2l 1
a
Pl cos  sin 
  l 1
para l  1

in  r ,    Al r Pl  cos 
l
l 0

in  r , 
l 1
  lAl r Pl  cos 
r
l 0

in  r , 
l 1
  lAl a Pl  cos 
r
l 0
r a

out  r ,    E0 r cos   Cl r
l 0
  l 1
Pl  cos 

out  r , 
l  2
  E0 cos    l  1 Cl r Pl  cos 
r
l 0

out  r , 
l  2
  E0 cos    l  1 Cl a Pl  cos 
r
l 0
r a
Componente normal de D
in

r
r a
out
 0
r


l 0
l 0
r a
  lAl a l 1Pl  cos    E0 cos    l  1 Cl a  l  2 Pl  cos 


l 0
l 0
  lAl a l 1Pl  cos    E0 cos    l  1 Cl a l  2 Pl  cos 
Para l  1 tenemos:

C1
A1   E0  2 3
0
a


l 0
l 0
  lAl a l 1Pl  cos    E0 cos    l  1 Cl a l  2 Pl  cos 
Para l  1 tenemos:

lAl a l 1    l  1 Cl a  l  2
0

2 l 1
lAl    l  1 Cl a
0

Cl
lAl    l  1 2l 1
para
0
a
l 1
C1
A1   E0  3
a
Cl
Al  2l 1
a
para l  1

C1
A1   E0  2 3
0
a

Cl
lAl    l  1 2l 1
0
a
para
l 1
Cl
Al  2l 1
a

Cl
lAl    l  1 2l 1
0
a
Cl
Al  2l 1  0
a

Cl
lAl   l  1 2l 1  0
0
a
Debemos resolver el sistema de ecuaciones simultaneas
Cl
Al  2l 1  0
a

Cl
lAl   l  1 2l 1  0
0
a
para Al y Cl
Si el determinante del sistema es diferente de cero,
la unica solución es la trivial Al  Cl  0
Si el determinante del sistema es cero,
se tiene una "familia" de soluciones
Cl
Al  2l 1  0
a

Cl
lAl   l  1 2l 1  0
0
a
El determinante es
1

l
0

1
a 2 l 1
l 1  l
 2 l 1 

2 l 1
l 1
a
0 a
a 2 l 1

l  l 1
0
a
2 l 1
Para que el determinante sea cero se necesita que

l  l 1
0
2 l 1
a
o sea que
l
0
1

1
0
lo cual es imposible porque l es un entero,
por tanto
Al  Cl  0
para toda l  1
C1
A1   E0  3
a

C1
A1   E0  2 3
0
a

 3
A1   
2 

0



 E0



 


1


 a 3 E0
C1   0
  2


 0



3
in  r ,    
 E0 r cos
 2   / 0 
  /  0  1  3 cos 
out  r ,    E0 r cos  
 a E0 2
r
  / 0  2 
Dentro de la esfera tenemos
in  
3
2   / 0
E0 r cos 
o en coordenadas cartesianas
in  
3
2   / 0
E0 z
in  
3
2   / 0
E0 z
Para calcular el campo
E  
o sea
    
E  
,
,

 x y z 
in  
Ein 
3
2   / 0
3
2   / 0
E0 z
E0 kˆ
in  
Ein 
1)
3
2   / 0
3
2   / 0
Ein 
2) Si 
E0 z
E0 kˆ
3
2   / 0
0
E0  E0
Ein  0
out
 /  0  1 3 cos
  E0 z 
a E0 2
 / 0  2
r
Definiendo (por ahora arbitrariamente)
d esfera
 / 0 1 3

a E0
 / 0  2
nos queda
out   E0 z  d esfera
cos
2
r
1 Q
1 rˆ
 (r ) 

 d si r
2
4 0 r 4 0 r
Q

 (r )dV 

 (r )r dV 
r
V
y
d
V
es el momento dipolar electrico de la distribucion.
ˆ
r

d
dipolo (r ) 
4 0 r 2
1
1 d cos
dipolo (r ) 
2
4 0 r
out   E0 z  d esfera
Campo constante original
d esfera
cos
2
r
Campo del dipolo formado
por la esfera
 / 0 1 3
 4 0
a E0
 / 0  2
Calculo del vector de polarización
D  0E  P
 E  0E  P
P     0  E
Calculo del vector de polarización
P     0  E
3
Ein 
E0 kˆ
2   / 0
  / 0 1  ˆ
 K 1  ˆ
P  3 0 
 E0 k  3 0 
 E0 k
 K 2
  / 0  2 
  / 0 1  ˆ
P  3 0 
 E0k
  / 0  2 
  / 0 1 
PdV  3 0 
 E0  dV 

  /  0  2  esfera
esfera
  /  0  1  4 3
 / 0 1 3
 3 0 
a  4 0
a E0
 E0
3
 / 0  2
  / 0  2 
d esfera
 / 0 1 3
  PdV  4 0
a E0
 / 0  2
esfera
La densidad volumétrica de carga de polarización
P    P
P  0 E
P   0   E
P   0        0  
2
 P   0  
2
La densidad volumétrica de carga de polarización
 P   0  
2
  
 2  2  2
x
y
z
2
2
2
2
in  
3
2   / 0
P  0
E0 z
La densidad volumétrica de carga de polarización
 P   0  
2
1
1  
 
1 

r   2
 sin    2 2
2
2
r r
r sin   
  r sin  
2
2
2
La densidad volumétrica de carga de polarización
in  
3
2   / 0
E0 r cos
1
1  
 
1 

r   2
 sin    2 2
2
2
r r
r sin   
  r sin  
2
2
2
1
1
 
 

r   2
 sin  
2
r r
r sin   
 
2
2
La densidad volumétrica de carga de polarización
in  
3
2   / 0
E0 r cos
1
1
 
 

r   2
 sin  
2
r r
r sin   
 
2
2
1 2
1  
 cos 

r cos  
 sin 

2
r r
r sin   
 
2
2
La densidad volumétrica de carga de polarización
1 2
1  
 cos 

r cos  
 sin 

2
r r
r sin   
 
2
2
2cos
1 
2


sin  

r
r sin  
2
2cos 2sin  cos


r
r sin 
2
La densidad volumétrica de carga de polarización
2cos 2cos


r
r
2
  0
2
P  0
La densidad superficial de carga de polarización
 P  P  nˆ
nˆ  rˆ
 P  P  rˆ
  / 0 1  ˆ
P  3 0 
 E0k
  / 0  2 
La densidad superficial de carga de polarización
  / 0 1  ˆ
P  3 0 
 E0k
  / 0  2 
  / 0 1  ˆ
 P  3 0 
 E0 k  rˆ
  / 0  2 
  / 0 1 
 P  3 0 
 E0 cos
  / 0  2 
La densidad superficial de carga de polarización
P

 (r, , )   0 cos
+
_
4 0 a ˆ

k
3
3
d
En este caso
  / 0 1 
 0  3 0 
 E0
  / 0  2 
Sustituyendo en la expresión
4 0 a 3 ˆ
d
k
3
que teníamos para la distribución de carga,
obtenemos
d
  / 0 1  3 ˆ
 4 0 
 a E0 k
  / 0  2 
El campo eléctrico fuera de la esfera
out
 /  0  1 3 cos
  E0 r cos 
a E0 2
 / 0  2
r
E  
 ˆ 1  ˆ 1 
  rˆ


r
r 
r sin  
El campo eléctrico fuera de la esfera
out
 /  0  1 3 cos
  E0 r cos 
a E0 2
 / 0  2
r

 /  0  1 3 cos 
Eout  r ,   rˆ  E0 cos   2
a E0 3  
 / 0  2
r 



1

/


1
sin

3
0
 ˆ   E0 r sin  
a E0 2 
 / 0  2
r 
 r
El campo eléctrico fuera de la esfera

 /  0  1 3 cos 
Eout  r ,   rˆ  E0 cos  2
a E0 3  
 / 0  2
r 



1

/


1
sin

3
0
 ˆ   E0 r sin  
a E0 2 
 / 0  2
r 
 r


 /  0  1 a3  ˆ
 /  0  1 a3 
ˆ 0 cos 1  2
Eout  r ,   rE
  E0 sin  1 
3
2
 / 0  2 r 
 / 0  2 r 


E0
P
a

r

E0
Componente tangencial de E
1 in

a 
r a
1 out

a 
r a
Componente normal de D
in
 0
r
r a
out
 
r
r a
Componente tangencial de E
1 in

a 
r a
1 out

a 
r a
Componente normal de D
 0 in

 r
r a
out

r
r a
¡OJO: Caso anterior!
Componente tangencial de E
1 in

a 
r a
1 out
 
a 
r a
Componente normal de D
 in

 0 r
r a
out

r
r a
Aplica todo haciendo el cambio

0

0

Del caso anterior:
Ein 
3
2   / 0
3
Ein 
E0 kˆ
2   0
3
Ein 
E0  E0
2   0
E0 kˆ
Del caso anterior:
d hueco
d esfera
 / 0 1 3
 4 0
a E0
 / 0  2
1   / 0 3
 4 0
a E0
1  2 /  0
q1 
r1
W1  0
Qq  1 1 
W  P1  P2   Q  E  dl 
  
4 0  r1 r2 
C  P1  P2 
Si ahora tomamos como punto de referencia el
infinito, tenemos que hacer r2  , y
q1 
r12
r1
r2
1
q1
W2 
q2
4 0 r12
q2
q3 
q1 
r3
r1
r2
q2
 q1 q2 
W3 
q3 


4 0  r13 r23 
1
q3 
r3
q1 
r1
r2
q2
r4
q4 
 q1 q2 q3 
W4 
q4 



4 0  r14 r24 r34 
1
WT  W1  W2  W3  W4
 q1 q2 
 q1 q2 q3 
q1
1
1
WT  0 
q2 
q3    
q4    
4 0 r12 4 0  r13 r23  4 0  r14 r24 r34 
1
1  q1q2 q1q3 q1q4 q2q3 q2q4 q3q4 
WT 







4 0  r12
r13
r14
r23
r24
r34 
WT 
1
4 0
4

i 1 j  i
qi q j
rij
WT 
1
4 0
N

qi q j
i 1 j  i
rij
1 1 N N qi q j
WT 

2 4 0 i 1 j 1 rij
j i
 q1q2 q1q3 q1q4 q2 q3 q2 q4 q3q4
 r  r  r  r  r  r
1 1  12
13
14
23
24
34
WT 
4 0 2  q2 q1 q3q1 q4 q1 q3q2 q4q2 q4q3
 r  r  r  r  r  r
31
41
32
42
43
 21






1 1
WT 
2 4 0
N
N

i 1 j 1
j i
qi q j
rij
N q
1 1 N N qi q j 1 1 N
j
WT 

qi 


2 4 0 i 1 j 1 rij
2 4 0 i 1 j 1 rij
j i
1 N
WT   qi  ri 
2 i 1
j i
qi q j
1 1
WT 

2 4 0 i 1 j 1 rij
N
N
j i

1 1
WT 
2 4 0

  r1    r2 
r2  r1
dV1dV2
N
N
qi q j
N
1 1
1
WT 
  qi (ri )

2 4 0 i 1 j 1 rij
2 i 1
j i

(Reitz Milford, sección 6.2)
1
WT    (r ) (r )dV
2 V
N
1
WT   qi (ri ) 
2 i 1
1
+   ( r ) ( r ) dV 
2 V
1
   ( r ) ( r ) dS 
2 S
1
+   ( r ) ( r ) dl
2
La energía acumulada en el campo electrostático es
1
WT    (r ) (r )dV
2V
Usando la primera ecuación de Maxwell

E 
0
Obtenemos
WT 
0
  E  (r )dV


2
V
La expresión
WT 
0
  E  (r )dV


2
V
puede ser integrada por partes
Usando
 


   A     A  A  
 


Es decir,
   E     E  E  
Despejando
    E      E   E  
De la segunda ecuación de Maxwell
 E  0
sabemos que existe  tal que
E  
Sustituyendo en
Obtenemos
    E      E   E  
    E      E   E 2
Sustituyendo
en
    E      E   E
WT 
2
0
  E  ( r ) dV


2
V
obtenemos
0 
0
0 2
2
WT      E   E dV      E  dV   E dV

2 V
2V
2V
Usando el teorema de Gauss
    E  dV    E  dS
V
y esta integral resulta
S (V )
S (V )   
  E  dS  0
S (V )
Así que finalmente
WT 
0
2

V
2
E dV
WT 
0
E dV

2
2
V
=  udV
V
u
0
2
E
2
a


4a
ρr dV  Q 


3
esfera
3
Se construye
cascarón a
cascarón
1 q  r  dq
dW 
4 0
r
r
4 r 3
qr  

3

dq  r 
 4 r 2
dr
dqr   4r 2 dr


2
4
πr
ρdr
qr 
1
1  4 r 
4 2 4
dW 
dq



r dr

4 0
r
4 0  3
r
3 0

3
4
W
3 0
2 5
4

a
4
0 r dr  15 0
2 a
4
W
3 0
4 a
0 r dr  15 0
2 a
2
5
4
4a 3
Q

3
2
 16 a 2  9
1  4 a  9
1 9 2
W 
 



Q

 9
 60 0 a 4 0  3
 15a 4 0 15a
2 6
3
1
3 2
W
Q
4 0 5a

4a
ρr dV  Q 


3
esfera
3
a

 r ˆ
Q
r
r

a
3
1 
 a
E r  

4 0  Q
ˆ
r
ra
2

r
a


4a
ρr dV  Q 


3
esfera
3
W
0
2

Todo el
espacio
2
E dV
W
0
2

E 2 dV
Todo el
espacio
 r ˆ
Q 3r ra

1  a
E r  

4 0  Q
rˆ
ra
2
 r
2
2

0  1 
0  1 
 r  2
Q 2
W 
 4   Q 3  r dr  
 4   2  r dr
2  4 0 
a 
2  4 0 
r 
0
a
a
2
2
2
2

0  1 
0  1 
 r  2
Q 2
W 
 4   Q 3  r dr  
 4   2  r dr
2  4 0 
a 
2  4 0 
r 
0
a
a
2 a
1 Q

8 0 a6
Q2
8 0
2

2
dr
Q
4
2
r
dr

Q

2
0

8 0
r
8 0
a
1
 a5
1
 5a 6  a 


2
 a5
1
Q2 1  1
Q
3

 5a 6  a   8 a  5  1  4 5a




0
0
1
3 2
W
Q
4 0 5a
2
1
WT    (r ) (r )dV
2 V
 0
 (r )  
0
ra
ra
2

 2 r 
2 0  a  
1 
3

 (r ) 

4 0  4 a 3 1
0

3
r

ra
ra
1
WT    (r ) (r )dV
2 V
2

 2
1 1
r
2
2
WT 
20   a   r sin  drd d 
2 4 0
3
V 
0 2 a  2 r 2  2
0 2  2 a3 1  a5   0 2  5 a5 
WT 
 a      
 a   r dr 
a  

0 0 
3
0 
3 3  5   3 0 
5
2

40 a  4 a
9
9Q 2
1 3Q 2
WT 

0 


15 0
 3
 60 0 a 60 0 a 4 0 5a
1 3Q 2
WT 
4 0 5a
2 5
3
W
0
2

E 2 dV
Todo el
espacio
1
q
E r  
rˆ
2
4 0 r
2 
2
2 
q
q
 1  q dr
2
W   r dr  2    2  
2 0
2 0r
2
r 
2

2
1
q
 
1
    
 r 0 2  r  r  0
W 
La energía en el campo de una carga puntual es “infinita”
a


4a 3
ρr dV  Q 


3
esfera
W
2
0
2

Todo el
espacio
1 3Q 1
W

4 0 5 a a  0
2
E dV
¿Cómo se resuelve este problema?
•La idea de que la energía está
“localizada” en el campo es incorrecta
•En realidad los electrones no son
puntuales
•El electromagnetismo falla a distancias
pequeñas debido a los efectos
cuánticos
q1 
r1
W1  0
¡Aquí está la bronca!
N
N
qi q j
N
1 1
1
WT 
  qi (ri )


2 4 0 i 1 j 1 rij
2 i 1
j i

1
WT    (r ) (r )dV
2 V
1 1 N N qi q j 1 N
WT 
  qi (ri )


2 4 0 i 1 j 1 rij
2 i 1
j i

1
WT    (r ) (r )dV
2 V
Falta la energía de interacción de la carga consigo
misma. La energía para “formar” la carga
2
1 q
W 
4 0 r
Pero es obvio que
W
0
2

Todo el
espacio
E dV  0
2
¡Otra vez!
N
N
qi q j
N
1 1
1
WT 
  qi (ri )


2 4 0 i 1 j 1 rij
2 i 1
j i

1
WT    (r ) (r )dV
2 V
Falta la energía de interacción de la carga
consigo misma. La energía para “formar” la
carga.
La energía que se usa para formar las
cargas hace que el total sea positivo
W
0
2

Todo el
espacio
E 2 dV  0
n
E   Ei
i 1
n
n
n
E   E   Ei  E j
2
i 1
W
2
i
0
2
i 1 j 1
j i

2
E dV
Todo el
espacio
0 n n
W  WS    Ei  E j dV
2 i 1 j 1
j i

 n
0


W  WS    Ei  E j dV
 j 1 
2 i 1
 j i 
n


n
0
W  WS    Ei    j  dV


2 i 1
j 1
j i


n
  n  n

0
W  WS       Ei  j    j   Ei  dV

2 i 1   j 1  j 1
  j  i  j  i

n
n
0 n
1 n n
W  WS    Ei  j  dS     j qi  r  ri  dV
2 i 1
2 i 1 j 1
j 1
j i
j i
0 n n
1 n n
W  WS    Ei j  dS   qi j  ri 
2 i 1 j 1
2 i 1 j 1
j i
j i
0 n n
1 n n
W  WS    Ei j  dS   qi j  ri 
2 i 1 j 1
2 i 1 j 1
j i
j i
 E
i
j
 dS  0
1 n n
W  WS   qi j  ri 
2 i 1 j 1
j i
1 n
W  WS   qi  ri 
2 i 1
1 n
W  WS   qi  ri 
2 i 1
WS 
0
n


2
i 1 Todo el
2
i
E dV
espacio
N
1
WT   qi  ri 
2 i 1
1 n
W  WS   qi  ri 
2 i 1
WS 
0
n


2
i 1 Todo el
Ei2 dV
espacio
WS  0

W  WI
W   q   r 
 W     r    r  dV
 W     r   r  dV
D  
     D 
 W      D  dV
 W      D  dV      D dV    D   dV
 W      D dV    D   dV
    D dV    D  dS  0
E  
 W    D  EdV
 W    D  EdV
D
W   dV  E   D
0
D
W   dV  E   D
0
Si el medio es lineal:
 
E  D  E   E   E  E 



1
1
1
2
  E  E    E    E  D
2
2
2

1
E  D   E  D
2


D
W   dV  E   D
0
Si el medio es lineal

1
E  D   E  D
2

1
W   E  DdV
2
Medios lineales
1
W   E  DdV
2
1
u  ED
2
Medios lineales
1
W   E  DdV
2
E  
1
W       DdV
2
1
1
      D dV      D dV
2
2




Medios lineales




1
1
W       D dV      D dV
2
2



D
dV


D

dS

0






1
W      D dV
2
Medios lineales


1
W      D dV
2
  D  libre
1
W     r   r  dV
2
Medios lineales
1
W   E  DdV
2
1
u  ED
2
1
W     r   r  dV
2
V
E
l
W
0 V 2
2
Al
2 l
q
q
A
C 
 0
1 q
V
l
l
0 A
0
A 1
W V
 CV 2
2
l 2
1
W  CV 2
2
2
1
2
W  CV
2
1
W  QV
2
2
1Q
W
2 C
1
W   E  DdV
2
W
 V 
2
  Al
2 l 
1A 2

V
2 l
1 

2

CV  W0  W0
2 0
0