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Potencial eléctrico


F  qE


Fa  qE

El trabajo realizado por la fuerza aplicada en un desplazamiento dl
dl será:
 
dW  Fa  dl  Fa dl cos

Fa


dl
Luego el trabajo realizado por la fuerza aplicada (externa) en un
desplazamiento desde un punto A a un punto B es:
B


 
Wa   Fa dl    qEdl
B
A
A
Supongamos que traemos, en línea recta, una carga desde el infinito hasta
una distancia rB de una carga puntual Q; el trabajo realizado por la fuerza aplicada será:
rB
rB
dr
qQ  1 
Wa  q

 
2

4o  r
4o  r  
Q
qQ 1

40 rB
Se trata de un trabajo positivo, es decir,
se le entrega energía a la carga q
para que se acerque a Q, siempre que
ambas tengan el mismo signo.
Para mover la carga desde A hasta B se requiere un trabajo:
Q
rB
dr
qQ
Wa   q

2

4o rA r
4o
rB
 1
 
 r  rA
qQ 1 1

(  )  U B  U A  U
40 rB rA
diferencia de energía potencial
Potencial eléctrico:
U
V
q
Diferencia de potencial:
U
V 
q
1J
1V 
1C
Volt
Unidad de potencial eléctrico:
Volt
1J
1V 
1C
Unidad de campo eléctrico:
J
N m V
1 

C C m
eV es la energía que un electrón gana cuando es acelerado a través de la diferencia
de potencial de 1volt
1eV  1.6 10
19
C Volt  1,6 10
19
J
rA
 
V A    Edl

rB
 
VB    E dl

rB
rA


 
V  VB  VA    Edl   Edl


rB
    
 
   Edl   Edl    Edl
rB

rA
rA
Diferencia de potencial
+
En estas
partes no se
realiza trabajo.
laa
Problema 5
 1 2
Considere el campo eléctrico E  y xˆ  xy yˆ
2
i) ¿Es conservativo?
ii) Encuentre la ecuación para las líneas de campo en el plano x-y.
iii) Encuentre la ecuación para las líneas equipotenciales en el plano x-y.
iv) Esquematice las líneas anteriores en un plano x-y.
Protón en un campo eléctrico uniforme.
Se suelta desde A:
E
+
A
B
 
V    Edl   E  xB  x A 
B
Cambio en el potencial eléctrico
entre los puntos A y B.
A
Cambio de energía potencial del protón:
U  q p V
Velocidad del protón en B
Problema 2
La figura muestra un protón en reposo en presencia de dos regiones con sus
respectivos campos eléctricos:

E  Exˆ
,

E1  E1 yˆ

E
y

E1
0
+
b
d
x
Si en t=0 soltamos el protón:
i) Encuentre la posición y la velocidad del protón cuando x=b
ii) Encuentre la posición y la velocidad del protón cuando x=b+d
Energía potencial eléctrica
q3
r13
q1
r12
r23
q2
 q1q2 q1q3 q2 q3 

U  ke 


r13
r23 
 r12
Para N cargas discretas:
qi
i  1,..., N
1 N N qi q j
U  
2 i 1 j 1 rij
j i
A partir del potencial eléctrico se puede obtener el campo eléctrico
 
dV   E  ds   E x dx  E y dy  E z dz
pero:
V
V
V
dV 
dx 
dy 
dz
x
y
z
luego:
V
V
V
Ex  
, Ey  
, Ez  
x
y
z


E  V
 


  eˆ1  eˆ2  eˆ3
x
y
z
operador gradiente
Ilustración:
Obtengamos el campo eléctrico a partir del potencial de una carga puntual.
q
V  ke
r

r x y z
2
2

2 12
V
1
2x
 ke q
x
2 x2  y2  z 2
V
1
2y
 ke q
y
2 x2  y2  z 2




V
1
2z
 ke q
z
2 x2  y2  z 2

32
32

32
luego:

1
2 xeˆ1
E  ke q
2 x2  y2  z 2
1
2 yeˆ2
 ke q
2 x2  y2  z 2




2 zeˆ3
1
 ke q
2 x2  y2  z 2

32
32

32
1
q 
q
 ke q 3  xeˆ1  yeˆ2  zeˆ3   ke 3 r  ke 2 rˆ
r
r
r
Teorema de Kelvin-Stokes (Teorema del rotor)
Def: Rotor de un vector en coordenadas cartesianas:
eˆ1
 
 F  x
eˆ2
y
eˆ3
 z   y Fz   z Fy eˆ1  ...
Fx
Fy
Fz
Teorema de Kelvin-Stokes:
  
 
   F  da   F  ds
S
curva

S


F

 
rot F  Lim  F  dr
S 0

dr
S
Esta curva es para determinar
una de las componentes del rotor.
Para determinar las otras debemos
tomar otras dos superficies
perpendiculares a esta y
perpendiculares entre sí.
(Explicarlo en clase)
Explicar en clase la noción
del teorema del rotor.
Calculemos el rotor del campo eléctrico de una carga:
  
q 
  E    ke 3 r
r
Consideremos la componente x de este vector:
 
z
y
(  E ) x   y E z   z E y  ke q( y ( 3 )   z ( 3 ))
r
r
5
5
 ke q( z (3r y )  y (3r z ))  0
De manera análoga las otras componentes también se anulan, luego:
 
 E  0
Entonces, por el teorema de Stokes:
  
 
   E  da  0   E  ds

S
B
1
 
 E  ds 

2
A
B
 
 E  ds 
B
 
  E  ds 
A,1
B
 
 E  ds 
A,1
A,1
A
 
 E  ds
B ,2
B
 
 E  ds  0
A,2
B
 
 E  ds
A,2
indica el
camino
que hay
que usar
B
 
 E  ds 
A,1
B
 
 E  ds
A,2
es decir, la integral es dependiente del camino, o sea el campo es conservativo
y entonces es posible definir una función potencial eléctrico.
Ejemplo: Potencial eléctrico de un anillo cargado uniformemente con carga Q.
dq

a

r
P

rP
0
x
dq
dq

V (r )  ke 
 ke   
r
rP  a
Calculemos este potencial en el punto

rP  xeˆx
Calculemos este potencial en el punto
V ( xeˆx )  ke 
 ke

rP  xeˆx
dq
dq
  ke  2
12
2
xeˆx  a
x a 0
x

1
2
a
2
dq 


x
El campo eléctrico en ese punto se calcula usando:


E  V

keQ
2
a

2 12
Ejemplo: Disco con carga uniforme. Potencial en el punto

r  xeˆx
Aprovechamos el resultado del anillo
a
V   dV  
0
ke 2rdr
x
2
r

2 12
 2ke (( x  a )  x)
2
2 12
x
El campo eléctrico en ese punto se calcula usando:


E  V
Ejemplo: potencial eléctrico de una esfera aislante con carga uniforme Q
r
 
V    E  ds

R
Caso i)
Fuera de la esfera.
r
r
 
dr
Q
V    E  ds  keQ  2  ke
r
r


rR
Caso ii) Sobre la esfera.
Q
V ( R)  ke
R
Caso iii) Dentro de la esfera.

r
keQ
keQ 2 2
V (r )  V ( R)   3  rdr 
R r
3
R R
2R
luego:
keQ 
r 
 3  2 
V (r ) 
2R 
R 
2
rR

V
3k e Q
2R
0
R
r
Ejemplo: Esfera conductora de radio R
keQ
V +
R
+
+ +
E0
 keQ
E 2
r
keQ
V
r
V
E
k eQ
R
k eQ
r2
k eQ
r
R
r
R
r