Download Reducción al primer cuadrante.

TRIGONOMETRÍA
U. D. 7 *
@ Angel Prieto Benito
4º ESO E. AC.
Matemáticas 4º ESO E. AC.
1
REDUCCIÓN AL
PRIMER CUADRANTE
U.D. 7.4 * 4º ESO E. AC.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.
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Reducción al 1º Cuadrante
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Reducir un ángulo, β, al 1º Cuad. es
expresar el valor de sus razones
trigonométricas en función de las razones
trigonométricas de un ángulo, α, del 1º
Cuad.
Para ello se toma el afijo del ángulo β
β
sobre la circunferencia y se construye un
triángulo rectángulo.
180º
Los catetos serán los valores del seno
y
coseno de dicho ángulo β .
Dicho triángulo será siempre semejante a
otro situado en el 1º Cuadrante, por tener
los ángulos iguales y la hipotenusa la
β
misma.
Al ser ambos triángulos semejantes,
podemos identificar sus lados, obteniendo
siempre una de esas dos propiedades:
|sen β| = |sen α| y |cos β| = |cos α| ;
|sen β| = |cos α| y |cos β| = |sen α|
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90º
β
β
α
0º
β
β
Matemáticas 4º ESO Opción B
270º
β
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ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
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ANGULOS COMPLEMENTARIOS
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Se llaman ángulos complementarios los que
suman 90º.
En la figura: α + β = 90º
En ellos
sen α = cos β
cos α = sen β
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O expresado de otra manera:
sen (90º – α) = cos α
cos (90º – α) = sen α
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EJEMPLOS
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sen 30º = sen (90º - 60º) = cos 60º
cos 45º = cos (90º - 45º) = sen 45º
sen 15º = sen (90º - 75º) = cos 75º
cos 22,5º = cos (90º - 22,5º) = sen 67,5º
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90º
β
α
0º
180º
Matemáticas 4º ESO Opción B
270º
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ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 90º
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ANGULOS QUE DIFIEREN EN 90º
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En general uno de ellos estará en el 2º
Cuadrante y el otro en el 1º Cuadrante.
En la figura: β – α = 90º
En ellos
sen α = - cos β
cos α = sen β
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O expresado de otra manera:
sen (90º + α) = cos α
cos (90º + α) = - sen α
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EJEMPLOS
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sen 105º = sen (90º + 15º) = cos 15º
cos 120º = cos (90º + 30º) = - sen 30º
sen 135º = sen (90º + 45º) = cos 45º
cos 112,5º = cos (90º + 22,5º) = - sen 22,5º
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β
90º
α
0º
180º
Matemáticas 4º ESO Opción B
270º
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ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
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ANGULOS SUPLEMENTARIOS
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Se llaman ángulos suplementarios los que
suman 180º.
En la figura: α + β = 180º
En ellos
sen α = sen β
cos α = - cos β
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O expresado de otra manera:
sen (180º – α) = sen α
cos (180º – α) = - cos α
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EJEMPLOS
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sen 120º = sen (180º - 60º) = sen 60º
cos 135º = cos (180º - 45º) = - cos 45º
sen 150º = sen (180º - 30º) = sen 30º
cos 105º = cos (180º - 15º) = - cos 15º
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90º
α
β
0º
180º
Matemáticas 4º ESO Opción B
270º
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ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
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ANGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
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Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el
otro en el 3º Cuadrante.
En la figura: β – α = 180º
En ellos
sen α = - sen β
cos α = - cos β
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90º
α
0º
180º
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O expresado de otra manera:
sen (180º + α) = - sen α
cos (180º + α) = - cos α
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EJEMPLOS
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sen 210º = sen (180º + 30º) = - sen 30º
cos 225º = cos (180º + 45º) = - cos 45º
sen 240º = sen (180º + 60º) = - sen 60º
cos 195º = cos (180º + 15º) = - cos 15º
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β
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270º
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ÁNGULOS QUE SUMAN 270º
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ANGULOS QUE SUMAN 270º
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Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el
otro en el 3º Cuadrante.
En la figura: α + β = 270º
En ellos
sen α = - cos β
cos α = - sen β
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90º
α
0º
180º
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O expresado de otra manera:
sen (270 - α) = - cos α
cos (270º - α) = - sen α
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EJEMPLOS
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sen 240º = sen (270º - 30º) = - cos 30º
cos 225º = cos (270º - 45º) = - sen 45º
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Matemáticas 4º ESO Opción B
β
270º
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ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º
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ANGULOS QUE DIFIEREN EN 270º
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Uno de ellos estará en el 1º Cuadrante y el
otro en el 4º Cuadrante.
En la figura: β - α = 270º
En ellos
sen α = - cos β
cos α = sen β
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90º
α
0º
180º
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O expresado de otra manera:
sen (270º + α) = - cos α
cos (270º + α) = sen α
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EJEMPLOS
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sen 300º = sen (270 + 30º) = - cos 30º
cos 315º = cos (270º + 45º) = sen 45º
sen 330º = sen (270º + 60º) = - cos 60º
cos 345º = cos (270º + 75º) = sen 75º
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Matemáticas 4º ESO Opción B
270º
β
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ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
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ANGULOS NEGATIVOS
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Todo ángulo negativo se corresponde con otro
positivo, simétrico respecto al eje de abscisas.
En general el ángulo negativo estará en el 4º
Cuadrante y su simétrico en el 1º Cuadrante.
En la figura: α = - β
En ellos
sen α = - sen β
cos α = cos β
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O expresado de otra manera:
sen (- α) = - sen α
cos ( - α) = cos α
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EJEMPLOS
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sen ( - 30º) = - sen 30º
cos (- 45º) = cos 45º
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90º
α
0º
180º
β
270º
Matemáticas 4º ESO Opción B
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