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TEMA
12
Introducción a la
geometría analítica*
Sistema de coordenadas.
Un par de rectas perpendiculares, como las de la figura de más abajo, se les llama ejes de
coordenadas. El eje horizontal se llama eje de abcisas y se representa por OX o simplemente por X,
mientras que el vertical se llama eje de ordenadas y se representa por OY o simplemente por Y. El
punto de corte de ambos ejes se representa por O y se llama origen de coordenadas.
Sobre ambos ejes, se repite una unidad de medida elegida, marcando las distintas unidades sobre ellos.
Trazando sobre estas marcas, líneas auxiliares más finas que los ejes, tendremos un cuadriculado que
nos ayudará a representar sobre el plano, cualquier punto, por medio de sus coordenadas.
Cada punto P del plano estará representado por dos valores reales, x e y, llamados abcisa y ordenada
del punto. A ambos valores conjuntamente se les llama coordenadas del punto P y se representa por
P (x , y). Para representarlo geométricamente en el plano, se toma sobre el eje X el valor x de la abcisa
y se traza una recta auxiliar paralela al eje Y. Después se toma sobre el eje Y el valor de la ordenada y se
traza otra recta auxiliar, paralela al eje X. El punto de corte de ambas rectas auxiliares, señala la
situación del punto P (x , y).
Hay que tener en cuenta el signo de x y de y. Si x es positivo se mide hacia la derecha y si es negativo
hacia la izquierda del punto O. Si y es positivo se mide hacia arriba y si es negativo, hacia abajo del
punto O.
Para averiguar las coordenadas de un punto dibujado en el plano, se procede a la inversa: Por el punto
P se trazan dos rectas auxiliares, paralelas a los ejes X e Y, el punto de corte de estas rectas con ambos
ejes determinar el valor de x y de y.
Así por ejemplo, en la figura siguiente, el punto P, es el punto (2 , 1), mientras que el punto Q es el
punto (-2 , -5).
Como se ve en la figura, los ejes dividen al plano en cuatro cuadrantes. En ellos las abcisas y las
ordenadas de los puntos tienen diversos signos, fácil de averiguar.
+
2º cuadrante
Y
ΟX → eje de abcisas
ΟY → eje de ordenadas
1º cuadrante
−
P(2, 1)
Ο
3º cuadrante
Q(-2, -5)
4º cuadrante
+
Coordenadas del punto
X
P(x, y)
Abcisa
ordenada
−
1
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera.
Ya hemos definido las razones trigonométricas, a través de un triángulo rectángulo, de los ángulos
menores de 90º.
Vamos ahora a extender esta definición a cualquier ángulo de la circunferencia, siendo coherentes con
las definiciones que hemos dado hasta el momento.
Sea una circunferencia de radio unidad, trazada con centro en el origen de coordenadas O. Sea α un
ángulo menor de 90º, medido en sentido positivo (en contra del giro de las agujas del reloj) desde la
parte positiva del eje OX. El segundo lado de dicho ángulo determina una recta que corta a la
circunferencia en el punto A, cuyas coordenadas llamaremos (x , y) (ver la figura de más abajo).
Trazando las rectas auxiliares que determinan este punto se forma un triángulo rectángulo, uno de
cuyos ángulos es α , cuyos catetos son x (horizontal) e y (vertical) y cuya hipotenusa mide 1 (radio de
la circunferencia). Aplicando las definiciones de seno, coseno y tangente del ángulo α a este triángulo
rectángulo, tendremos:
senα =
y
=y
1
cos α =
x
y
= x y tg α =
x
1
Por tanto, las razones trigonométricas del ángulo α , quedan determinadas por la ordenada
y la abcisa del punto A, que dicho ángulo determina sobre la circunferencia unidad.
Por tanto queda:
senα = y
cosα = x
y tg α =
y
x
Y
A (x , y)
cos α = x
sen α = y
y
α
X
x
Como se ve pues, el seno del ángulo es la ordenada del punto correspondiente sobre la
circunferencia, mientras que el coseno es la abcisa de dicho punto. La tangente es el
cociente de ambos.
Esto mismo se puede aplicar a cualquier ángulo de cualquier cuadrante, puesto que, cada uno
determina un punto diferente sobre la circunferencia, que es el que determina el valor de sus razones
trigonométricas.
2
En la figura siguiente queda perfectamente determinadas las razones de un ángulo situado en el
segundo, tercer y cuarto cuadrante:
Y
A
cos α
B
cos β
β
sen β
sen α
α
X
γ
sen γ
G
φ
sen φ
cos γ
cos φ
F
Según el cuadrante, el signo de las coordenadas del punto A, que definen el seno y el coseno tendrá un
signo u otro. Así, de la figura anterior se desprenden los siguientes signos para el seno, el coseno y la
tangente:
Signos del seno y el
coseno:
SENO
Signo de la tangente:
+ +
− −
−
+
+
−
COSENO
−
+
−
+
El signo de la tangente sale del
cociente entre el signo del seno y el
del coseno.
Nota: El teorema de Tales nos asegura (verlo en clase) que, el valor de las razones trigonométricas es
independiente del valor del radio que se tome para la circunferencia (por eso hemos tomado la unidad
como radio puesto que es muy fácil dividir por 1)
Ej. Con esta definición es fácil hallar las razones de ángulos como 0º, 90º, 180º, 270º y 360º.
Fijémonos en la figura siguiente:
Y
Q (0 , 1)
R (-1 , 0)
P (1 , 0)
X
S (0 , -1)
3
En efecto, 0º determina sobre la circunferencia unidad el punto P (1 , 0), luego:
sen 0º = 0 cos 0º =1 y tg 0º = 0
El ángulo de 90º determina el punto Q (0 , 1), por tanto:
sen 90º = 1 cos 90º = 0 y tg 0º no existe
Las razones de 180º vienen determinadas por el punto R (-1 , 0), luego:
sen180º = 0 cos 180º = − 1 y tg 180º = 0
Las razones de 270º vienen determinadas por el punto S (0 , -1), por tanto sus razones son:
sen 270º = −1 cos 270º = 0 y tg 0º no existe
Finalmente las razones de 360º vienen determinadas por el mismo punto P que las de 0º, por tanto sus
razones son las mismas.
Segmentos trigonométricos
Como hemos visto en la definición de las razones trigonométricas, el seno, en una circunferencia de
radio unidad, coincide con el cateto vertical del triángulo que se forma (segmento PQ) y el coseno con
el cateto horizontal (segmento OQ). A estos segmentos se llaman segmentos trigonométricos.
La tangente se puede demostrar que coincide con el segmento (SR) señalado en la figura:
Y
cos α
P
1
sen α
S
tg α
X
α
O
Q
R
En efecto, la tangente es el segmento SR, puesto que por el Teorema de Tales podemos establecer la
siguiente razón de semejanza entre los triángulos OPQ y OSR:
PQ OQ
PQ
y como OR =1, por ser el radio, queda:
=
= OQ y despejando SR queda:
SR OR
SR
PQ senα
SR =
=
= tg α
OQ cosα
4
Cambio de cuadrante
La situación de los ángulos más usados que nos va a permitir trabajar con sus razones trigonométricas
sin el uso de la calculadora, es la siguiente:
135º
120º 90º 60º
45º
150º
30º
180º
0º
210º
330º
225º
240º
315º
300º
270º
Para hallar las razones de otros ángulos del segundo, tercer y cuarto cuadrante, distintos de los
anteriores, procuraremos relacionarlos con las razones de ángulos del primer cuadrante, siguiendo las
normas siguientes:
Si el ángulo α está en el segundo cuadrante, lo relacionaremos con el ángulo suplementario
π − α (180º – α ), es decir con el ángulo que le falta para llegar a 180º. Por ejemplo si queremos
hallar las razones de 135º lo relacionaremos con 180º–135º=45º
• Si él ángulo α está en el tercer cuadrante, lo relacionaremos con el ángulo de α − π ( α –180º),
es decir con el ángulo que excede de 180º.
5π
Por ejemplo el ángulo
que equivale a 225º, lo relacionaremos con 225º–180º=45º
4
• Si el ángulo α está en el cuarto cuadrante, lo relacionaremos con 2 π – α (360º– α ), es decir
con el ángulo que le falta para llegar a 360º. Por ejemplo el ángulo de 330º, lo relacionaremos
con el ángulo de 360º–330º=30º
•
Veamos cómo llevar a la práctica estas reglas:
Ej.: Calculemos las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: 135º,
5π
y 330º.
4
A) Razones de 135º
Primero vamos a representar el ángulo de 135º . Como es un ángulo del segundo cuadrante lo
relacionamos con las razones de 180º – 135º = 45º
135º
45º
45º
En la figura se ve claramente que:
2
sen 135º = sen 45º =
2
2
cos 135º = −cos 45º = −
2
sen 45º
2 2
tg 135º =
=
= −1
− cos 45 − 2 2
5
5π
= 225º. Como ya hemos dicho lo relacionaremos, por ser un
4
ángulo del tercer cuadrante con el ángulo de 225º–180º=45º
B) Ahora calcularemos las razones de
Luego viendo la figura:
225º
45º
sen 225º = −sen 45º = −
45º
2
2
cos 225º = −cos 225º = −
tg 225º =
− sen 45º
=
− cos 45º
−
−
2
2
2
2 =1
2
C) Razones de 330º. Puesto que es un ángulo del cuarto cuadrante lo relacionaremos con el ángulo de
360º–330º=30º
330º
30º
30º
De la figura se desprende que:
1
sen 330º = − sen 30º = −
2
3
cos 330º = cos 30º =
2
3
tg 330º = − tg 30º = −
3
Razones trigonométricas de ángulos superiores a 2π
Puesto que un ángulo mayor que 2 π , al dibujarlo, caerá dentro de la circunferencia, después de haber
dado un número entero de vueltas de circunferencia ( 2kπ radianes ó 360ºk grados, donde k es un
número entero que cuenta el número de vueltas completas), sobrepasando en α grados la vuelta
completa, las razones de un ángulo de este tipo, que se expresará α + 2kπ radianes ó α +360ºk,
coincidirán con las de α , es decir:
sen (α + 360ºk) = sen α
cos (α + 360ºk) = cos α
tg (α + 360ºk) = tg α
Ej.: Calculemos las razones de un ángulo de 390º:
390º = 360º + 30º
sen 390º = sen 30º =
P(x, y)
30º
360º
cos 390º = cos 30º =
tg 390º = tg 30º =
1
2
3
2
3
3
Ej.: Calcula las razones de un ángulo de 2190º. En este caso tendremos que averiguar el número de
vueltas enteras que da el ángulo y cuantos grados sobrepasa esas vueltas enteras. Eso se hace de una
6
forma rápida dividiendo por 360º (sin quitar el 0) y quedándonos con el resto de la división, que es lo
que sobrepasa.
2190º 360º
030 6
Por tanto 2190º = 360º.6 + 30º, luego:
sen 2190º = sen 30º =
1
;
2
cos 2190º = cos 30º =
Ej.: Calcula las razones de un ángulo de 840º:
840º 360º
120 2
3
;
2
tg 2190º = tg 30º =
Pasando al primer cuadrante (ver figura)
sen 840º = sen 120º = sen 60º =
3
2
cos 840º = cos 120º = − cos 60º = −
60º
120º
3
3
1
2
3
tg 840º = 2 = − 3
1
−
2
Razones trigonométricas de ángulos negativos
En este caso se cumple claramente (ver figura), que:
sen (– α ) = – sen α
cos (– α ) = cos α
tg (– α ) = – tg α
α
−α
Ej.: Calcula las razones de un ángulo de −60º:
60º
– 60º
Luego:
sen (− 60º) = − sen 60º = −
3
2
1
2
tg (− 60º) = – tg 60º = − 3
cos (− 60º) = cos 60º =
Ejercicios Trigonometría de Exámenes de años anteriores:
4º junio 1996 mañana (Conocida la tangente, averiguar el seno y coseno)
7º septiembre 1996 (Resolución de un triángulo rectángulo, ya hecho)
2º junio 1997 mañana (Conocido el seno hallar el segmento PQ que es la tangente)
7
7π
hallar el coseno y la tangente)
12
7º septiembre 1998 (Averiguar la tangente de los ángulos de un triángulo equilátero)
5º junio 2000 mañana (Conocidos los catetos hallar las razones trigonométricas)
9º junio 2000 tarde = 2º junio 1997 tarde
3º junio 2002 tarde (Conocido el seno averiguar la tangente)
9º septiembre 2002 (Conocido el seno averiguar la cotangente)
7º junio 2003 mañana (Conocida la tangente hallar el coseno)
4º septiembre 2003 (Conocida la tangente hallar el seno; mismo que el anterior)
8º septiembre 2004 (Conocida la cotangente hallar el coseno)
8º junio 2005 mañana (Conocido el coseno halla la tangente)
2º septiembre 2005 (Conocida la tangente hallar el coseno)
2º junio 2006 mañana (Conocido el seno averiguar la tangente)
2º junio 2006 tarde (Conocida la tangente averiguar el coseno)
2º junio 1997 tarde (Conocido el seno de
* Este tema ha sido pasado a soporte informático por los alumnos José Miguel Sánchez y Jesús Ramil, basándose en el
libro Matemáticas Especiales, de E. Bujalance y otros, editado por la editorial Sanz y Torres y en las explicaciones
dadas en las tutorías presenciales, por el profesor tutor del Centro de la Uned Alzira-Valencia “Francisco Tomás y
Valiente”, José Luis Lombillo, que los ha corregido, completado y ampliado.
8
REGLA NEMOTÉCNICA PARA LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS INFERIORES A 90º
(Cedida por un alumno de acceso del curso de años anteriores)
1. Primero nos creamos una tabla con los ángulos de menor a mayor graduación y las razones trigonométricas.
0º
30º
45º
60º
90º
0º
30º
45º
60º
90º
0
1
2
3
4
sen
cos
2. Numeramos del 0 al 4 para el seno.
sen
cos
3. Con el coseno hacemos igual pero a la inversa, del 4 al 0
0º
30º
45º
60º
90º
sen
0
1
2
3
4
cos
4
3
2
1
0
4. Ahora extraemos la raíz de los números que hemos puesto.
0º
30º
45º
60º
90º
sen
0
1
2
3
4
cos
4
3
2
1
0
0º
30º
45º
60º
90º
sen
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
cos
4
2
3
2
2
2
1
2
0
2
5. Después, dividimos todo por dos.
6. Ya sólo nos queda hacer las operaciones donde sea necesario, teniendo en cuenta que primero efectuamos la
raíz y después la fracción.
0º
30º
45º
60º
sen
0
1
2
2
2
cos
1
3
2
2
2
3
2
1
2
90º
1
0
7. Para la tangente tan sólo hay que dividir el seno entre el coseno y operar0º
tg
0
1
0º
tg
0
30º
1
2
30º
3
3
45º
3
2
2
2
60º
2
2
45º
1
3
2
90º
1
1
2
60º
3
0
90º
No existe
9
Ejercicios de la página 265 del libro
B
A
D
C
F
E
P(4,3), Q(-2,1), R  -1,- 3 

2
∧
∧
Por semejanza (teorema de Tales) en los triángulos ORP y OSQ
figura de más abajo) se cumple:
OR RP
=
(Ver
OS SQ
3 −1
=
5 SQ
8
Despejando queda: SQ =
La ordenada es −
5
3
− 1⋅ 5
5
=−
3
3
Y
R
O
α=
P
S
X
Q
7
7180
π=
= 1050
12
12
sen 105º = sen (60º + 45º) = sen 60º . cos 45º + cos 60º . sen 45º =
3 2 1 2
6
2
6+ 2
⋅
+ ⋅
=
+
=
=
2 2 2 2
2
4
4
cos 105º = cos (60º +45º) = cos 60º . cos 45º - sen 60º . sen 45º =
1 2
3 2
2
6
2− 6
−
⋅
=
−
=
= ⋅
2 2
3 2
4
4
4
D
sen 105
6+ 2
=
tg 105º =
D
cos105
2− 6
Radio =1
Tal como se ve en la figura:
sen (α +
cos (α +
tg (α +
π
2
π
π
2
2
) = cos α
) = - sen α
)=
cos α
= -ctg α
− sen α
9