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Distribuciones Continuas
de Probabilidad
Contenido
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Distribución uniforme de probabilidad
Distribución Normal de probabilidad
Aproximación normal a la distribución
binomial
Distribución exponencial de probabilidad
Distribución Uniforme de
Probabilidad
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En las distribuciones discretas la función de
probabilidad
toma
valores
específicos,
sin
embargo, cuando es continua se habla de una
función de densidad que entrega sólo un valor
evaluado
Es el área bajo la curva, definida por un intervalo,
la que determina la probabilidad de una variable
aleatoria continua.
Una distribución uniforme de probabilidad es una
distribución continua en la que la probabilidad de
que la variable aleatoria asuma un valor en
cualquier intervalo es igual para todo intervalo de
igual longitud
Distribución uniforme

Siempre
que
la
probabilidad
sea
proporcional a la longitud del intervalo, la
variable tiene distribución uniforme
f ( x) 
 1

b  a
 0
a xb
f ( x)
x

 f( x)dx  1
-
a
b
ejemplo
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Ejemplo: el precio medio del litro de gasolina durante el
próximo año se estima que puede oscilar entre 140 y 160 ptas.
Podría ser, por tanto, de 143 ptas., o de 143,4 ptas., o de
143,45 ptas., o de 143,455 ptas, etc. Hay infinitas posibilidades,
todas ellas con la misma probabilidad.
Su función de densidad, aquella que nos permite conocer la
probabilidad que tiene cada punto del intervalo, viene definida
por: f(x) = 1/(b-a)
Donde:
b: es el extremo superior (en el ejemplo, 160 ptas.)
a: es el extremo inferior (en el ejemplo, 140 ptas.)
Por lo tanto, la función de distribución del ejemplo sería:
F(x)= 1/(160-140) = 0.05
ejemplo
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El valor medio de esta distribución se calcula: E(x)= (a+b)/2
En el ejemplo: E(x) = (140 +160) /2 = 150
Por lo tanto, el precio medio esperado de la gasolina para el
próximo año es de 150 ptas.
Veamos otro ejemplo:
El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en
la ciudad de Sevilla va a oscilar entre 400 y 500 litros por metro
cuadrado. Calcular la función de distribución y la precipitación
media esperada:
F(x)= 0.01
Es decir, que el volumen de precipitaciones esté
entre 400 y 401 litros tiene un 1% de probabilidades; que esté
entre 401 y 402 litros, otro 1%, etc.
E(x)=450 Es decir, la precipitación media estimada en Sevilla
para el próximo año es de 450 litros.

De acuerdo a lo anterior se presentan 2
diferencias principales entre el manejo de
variables aleatorias discretas y continuas:


Ya no se habla de un valor dado, en su lugar aparece
el término un valor dentro de un intervalo
La probabilidad de que una variable aleatoria tome
un valor dentro del intervalo se definen como área
bajo la curva. Esto implica que la probabilidad de
que esta variable asuma exactamente un valor es 0.

Para este tipo de distribución se define las
siguientes medidas descriptivas:
ab
2
(b  a ) 2
Var ( x ) 
12
E ( x) 
Ejercicio

Se sabe que x es una variable aleatoria
uniformemente distribuida entre 10 y
20.
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
Trace la gráfica de la función
probabilidad
Determine P(x<15)
Determine P(12x  18)
Determine E(x)
Calcule la desviación estándar
de
Distribución Normal de
Probabilidad



Abraham de Moivre publicó en 1733 la
Doctrina de las Probabilidades y dedujo
la distribución normal de probabilidad
Es la distribución continua más
importante de probabilidad.
En casos puntuales se puede aplicar
como una aproximación en el empleo
de variables discretas

La función de densidad normal de
probabilidad se expresa como:
f ( x) 


1
2
e

 ( x   )2 / 2 2
Promedio
Desviación estándar

x

Características de esta distribución:



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
Hay familias de distribuciones normales. Cada una se
identifica por su media y su desviación estándar
El punto más alto es la media
La media puede ser cualquier valor numérico
La distribución de probabilidad normal es simétrica.
Las colas se prolongan hasta el infinito (nunca tocan
el eje de las x)
Las desviaciones estándares determinan el ancho de
la curva
El área total es 1
Regla empírica
68.26%
95.44%
99.72%

x



La altura de una distribución normal
varía por lo cual en el cálculo del área
se debe recurrir al cálculo infinitesimal
Cuando tenemos una distribución
normal con media 0 y desviación
estándar 1 se habla de una distribución
normal estándar
El valor de z indica la variable aleatoria
normal
P(.00  z  1.00)  .3413
P(1.00  z  1.00)  .6826
z
x

Ejemplo

Determine
la
probabilidad
de
que
neumáticos
fabricados
por
Goodyear
puedan superar las 40.000 millas, si se
tiene un promedio de 36.500 millas y una
desv. estándar de 5.000.
40000  36500
z
 0.7  0.2580
5000
P(x40000)=?
Aproximación Normal a
distribución Binomial



La distribución binomial consiste en la sucesión de
n intentos independientes idénticos que tienen 2
posibilidades:éxito o fracaso.
Cuando tenemos n mayores de 20, np5, y n(1-p)
5 la distribución normal da como resultado una
aproximación a la distribución binomial
En este caso se iguala en la definición de la curva
normal:
  np
  np (1  p )

Sin embargo, se debe aplicar un factor de
continuidad de ±0.5 ya que la evaluación de un
valor en una distribución normal es 0.

En una empresa se ha visto que en un 10%
de sus facturas se cometen
errores y se
desea calcular la probabilidad que de 100
facturas, 12 de ellas los contengan
  100(.10)  10
  np (1  p )  3
12.5  10.0
 0.83  0.2967
3
11.5  10
z2 
 0.5  0.1915
3
z1 
z1
z2
P (12)  0.2967  0.1915  0.1052
Distribución exponencial de
probabilidad


Es una distribución continua de probabilidad
que
se
aplica
para
determinar
las
probabilidades de ocurrencias de un evento
en el tiempo y espacio
La función de densidad de esta distribución
es:
1 x / 
x  0,   0
f ( x)  e


De acuerdo a ésta la distribución exponencial
de probabilidad (área bajo la curva)
corresponde a:
P( x  xo )  1  e xo / 
Función
f ( x)
Tiempo
Distribución
f ( x)
Tiempo
Ejemplo

Determinar la probabilidad de que un camión
que llega a un puerto sea cargado en 6
minutos o menos. Se sabe que en promedio
se demoran 15 minutos
f ( x)
P( x  6)  1  e 6 /15  0.3297
0 6
Tiempo(min)

Se puede llegar a establecer una relación
entre la distribución exponencial y la
distribución de Poisson considerando que
ambas incluyen intervalos de tiempo
f p ( x) 
e 
1
p
e 
x!
 f e ( x)   p e
p x
Ejercicios

El tiempo necesario para terminar
una operación
de ensamblaje se
distribuye uniformemente entre 30 y
40 minutos



Calcule la ecuación de la función de
densidad de probabilidad
Calcule la probabilidad de que la
operación requiera más de 38 minutos
Determine el valor esperado y la
varianza

Una máquina llena recipientes con
determinado producto. Se sabe que la
desviación estándar de pesos de llenado,
de acuerdo a datos históricos, es de 0.6
onzas. Si sólo el 2% de los recipientes
contienen menos de 18 onzas, ¿Cuál es
el peso promedio de llenado de la
máquina?.
Suponga
distribución
uniforme.

El tiempo, en minutos, que tarda cada
llamada telefónica en entrar a una oficina de
corredores de seguros tiene la siguiente
distribución:
0.50 x
f ( x)  0.50e



x0
¿Cuál es la media del tiempo entre llamadas?
¿Cuál es la probabilidad de tener 30 segundos o
menos entre llamadas telefónicas?
¿Cuál es la probabilidad de tener 5 minutos o más
sin una llamada?