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UNIVERSIDAD DE LIMA
ESCUELA DE NEGOCIOS
ASIGNATURA
: ESTADISTICA APLICADA I
PROFESORES
: ILMER CONDOR
PERIODO ACADEMICO : 2005 – I
GUIA DE CLASE DE Nº 5
DISTRIBUCIONES DE VARIABLE CONTINUA
Así como en el caso de las variables discretas se dispone de algunas distribuciones
conocidas, así también en el caso de variables continuas se tienen algunas distribuciones
conocidas como la Uniforme, Exponencial y la Normal.
Del mismo modo, podemos mencionar otras ampliamente conocidas en la Estadística
Inferencial como la distribución Chi – Cuadrado, t de Student y F de Fisher.
DISTRIBUCIÓN UNIFORME
Definición
Sea X una variable aleatoria continua. Diremos que X tiene una distribución Uniforme sobre
el intervalo (a, b), si su función de densidad de probabilidad viene dada por
f ( x) 
1
ba
a  x  b ; (a>b)
Observaciones
1. Si X tiene distribución Uniforme entonces podemos denotarla por X U(a, b)
2. La gráfica de una variable con distribución uniforme se muestra en la siguiente figura
1/(b-a)
a
b
3. La distribución acumulada de una variable uniforme se define como
b 1
F ( x)  P( X  x)  
dt
aba
Teorema
Si X es una vriable con distribución uniforme entonces
ab
μX = E(X) =
2
y
2
X
(b  a)
 V (X ) 
2
12
En los últimos problemas se le pide al alumno obtener analíticamente la media y la varianza
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Ejemplo 1
Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniformemente sobre el intervalo (10, 20).
Diga si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:
a) El espacio rango de X es (0, + )
b) El valor esperado de X es 15
c) La desviación estándar de X es 15
d) El valor esperado de X² es mayor que 15
e) El 80% de los valores de X son superiores a 18
Solución
Si X  U(......, ......) entonces su función de densidad es f(x) = .................................
El espacio rango es ...................... Por tanto a) es ........................
Como X  U(10,20) y E(X) = (a+b)/2 = ................. entonces b) es ...............
Como V(X) = (b-a)²/12 = ........... de donde σ = .............. entonces c) es ................
Sabemos que V(X) = E(X²) – (E(X))².
Reemplazando V(X) y E(X) y despejando E(X²) = .................. Luego d) es ...............
Lo que se afirma en e), significa que se debe calcular: P(X > 18)
20 1
dx  ............... Luego e) es ....................
Después de calcular se encuentra que P(X>8)= 
8 10
Ejemplo 2
Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme sobre el intervalo (-2, 2).
Calcular:
a) P(X < 3/2 )
P(-1 < X  1)
b) P( | X | > 3/2 )
P( | X -  |  1)
c) P( - 2  X   + 2 )
Solución
En este caso X  U(……, ……) y f(x) = ……………………….
b)
P(X < 3/2) = .................
1 1
P(-1 < X < 1 ) =  dx  ...................
1 4
c)
P(|X|>3/2) = P(-1.5 < X < 1.5 ) = .........................
P( | X -  |  1) = P(-1  X -   1 ) = P( -1  X  1 +  ) = .......................
d)
Calcule primero:  = …………;  = ..............
Ahora P( - 2  X   + 2 ) = P( …….  X  ......... ) =
Ejercicio 1
Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en (-a, a) , donde a > 0. Cada vez que
sea posible, determinar a, de manera que se cumpla lo siguiente:
a) P( | X | > 1 ) = P( | X | < 1 )
b)
P( X > 1 ) =
c)
P(X <
1
3
1
) = 0.7
2
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Ejemplo 3
Se cree que el tiempo X (en minutos) para que un asistente de cátedra en una cierta
universidad prepare una práctica dirigida para el curso de Estadística, tiene una distribución
Uniforme. En promedio se demora una hora, y como mínimo emplea 55 minutos para la
preparación de la práctica.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación exceda 58 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación se encuentre dentro de 2
minutos del tiempo máximo?
c) Para cualquier K, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación esté entre K y
K+2 minutos? Se supone que K y K+2 están dentro del rango de X
d) Determine el tiempo máximo de preparación, tal que sólo el 5% de las prácticas excedan
este tiempo máximo.
Solución
Sea X: La variable aleatoria definida como: ...............................................................................
X  ..................
a) Qué probabilidad se pide? ........................... Puede calcularla? ...........................................
b) En este caso qué probabilidad se pide? ............................. Su valor? ..................................
c) Calcularemos P( ........ ≤ X ≤ .........) = .................................................................................
d) Debemos hallar M que es el tiempo máximo de preparación tal que P(..............) = ............
P(X ≤ M ) = .......................
Igualando a 0.05 hallaremos M. Luego M = ..................
Ejemplo 4
Ventura es un eficiente y preocupado gerente de operaciones de una aerolínea local. Sus
investigaciones sobre el servicio de vuelos en la ruta Lima - Miami – Lima indican que se ha
incrementado considerablemente debido a una fuerte promoción al turismo. Puesto que este
servicio depende de la ruta Lima – Cuzco, que también la cubre, el incremento observado
puede verse afectado si el tiempo de vuelo entre Lima y Cuzco se incrementa. Él sabe que el
tiempo de vuelo en esta ruta sigue una distribución uniforme con un promedio de 1.5 horas.
Sabe además que la diferencia entre el mayor y menor tiempo que puede tardar un vuelo en
esta ruta, es de 20 minutos. En la idea de mejorar sus servicios
a) ¿Qué porcentaje de vuelos tardará entre 84 y 96 minutos?
b) Si sólo el 5% de vuelos llega retrasado en la ruta nacional, ¿cuál es el tiempo máximo
para que un vuelo no llegue retrasado?
Solución
De acuerdo a los datos:
.......... = 1.5 horas = 90 minutos
..................... = 20 minutos
ab
Como μ =
= .........
Entonces a + b = ..........
2
Resolviendo las dos ecuaciones, obtenemos:
a = .............. b = .............
Como X  U(......., .......), entonces la función de densidad es f(x) = ...............
Resolveremos las preguntas:
a) P(84 ≤ X ≤ 96 ) = ...............................................................................................
b) Si sólo el 5% de vuelos llega retrasado, entonces K es el tiempo tal que P(X ≥ K) = 0.05
Y el vuelo no llegará retrasado si X < K y esto lo hace con probabilidad P(...........) = .....
Usando <Inverse> en Minitab con a = 80, b = 100, Input constant = 0.95
Luego K = ..............
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Ejercicio 2
La Agencia de corretajes “ISA” recibe de sus clientes un pago fijo de $ 1200 más una
comisión del 8% sobre el beneficio que obtiene el cliente en cada transacción realizada por la
agencia. Si este beneficio varía por lo general entre $ 10,000 y $ 12,000
a) ¿Cuánto espera obtener de utilidad la agencia ISA?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que su utilidad supere los $ 2,100?
Sugerencia
Defina X: ........................................................ (relativo a los clientes)
Defina a Y como la utilidad de la agencia: ...........................................
Cuál es la ecuación que la define? .....................................
Se conoce la distribución de X? .............
Si así fuera, cuál es? ...........................................
Se conoce la distribución de Y? .............
Se necesita?
Qué se pregunta en a)? ............................
Se puede calcular? .........
Cómo? .................................................
Qué se pregunta en b)? ..........................
Se puede calcular?
Cómo? .................................................
P(Y > 2100) = P(........... > 2100) = ...............
Ejercicio 3
El tiempo X que se utiliza para concluir cierta tarea es una variable aleatoria distribuida
uniformemente con media 10 y varianza 12.
a) Hallar la probabilidad de que se utilice más de 8 días para culminar la tarea
b) El costo (en dólares) empleado en la tarea se da mediante la fórmula
C = 100 + 4X + 3X²
i) Calcular el costo esperado para concluir esta tarea
ii) Cuál es la probabilidad de que el costo C supere los $2000?
Sugerencia
Sea X: Tiempo para culminar cierta tares
X  .............
a) Se pide P(..............) = ......................................
b)
i) E(C) = .................................................. Simplifique aplicando propiedades.
ii) Se pide P(C > 2000). Reemplace el valor de C y evalúe dicha probabilidad.
Ejercicio 4
Un corredor de inmuebles cobra honorarios fijos de $ 50 más una comisión del 6% sobre el
beneficio obtenido por el propietario. Si este beneficio se distribuye uniformemente entre 0 y
2000 dólares,
a) ¿Cuánto espera tener de utilidad el corredor de inmuebles?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que su utilidad supere los $ 140?
Sugerencia
Defina a X como el beneficio del propietgario
Defina a Y como la utilidad del corredor.
En base a ello, Y = ...................................
a) Qué se pide? ...................... E(Y) = ....................................
b) Qué se pide? ......................
P( ...............> 140) = ......................
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Ejercicio 5
Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme con media 1. La probabilidad de
que X tome valores mayores que 2 es 3/8.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tome valores en el intervalo ( –1 , 3.2)?
b) Qué valor máximo tomará X con probabilidad 0.85?
c) Si Y = 4 – 2X, calcular la probabilidad de que Y sea mayor que –2.5
Ejercicio 6
El tiempo medio en minutos que cierta persona invierte en ir de su casa a la estación de
trenes es un fenómeno aleatorio que obedece una ley de distribución uniforme, en el intervalo
de 20 a 25 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que alcance el tren que sale de la estación a
las 7:28 a.m. en punto, si sale de su casa exactamente a las 7:05 a.m.?
Ejercicio 7
Los trenes que se dirigen hacia el destino A llegan a una estación cada 15 minutos,
comenzando a las 7:00 a.m., mientras que los trenes que se dirigen hacia el destino B llegan a
la misma estación cada 15 minutos, comenzando a las 7:05 a.m. Si cierto pasajero llega a la
estación en un tiempo uniformemente distribuido entre las 7 y 8 a.m. y entonces aborda el
primer tren que llegue, qué proporción de veces él va hacia el destino A?
Ejercicio 8
En el año 2001 el precio medio de la gasolina fue 53.5 centavos el galón, según el Airline
Monitor, publicación comercial del sector de líneas aéreas que recoge cifras mensuales. A lo
largo del año, alcanzó un máximo de 59.5 y parece haber seguido una distribución uniforme.
¿Cuántas semanas, el precio rebasó los 56 centavos?
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
DEFINICIÓN
Sea X una variable aleatoria continua. Diremos que X tiene distribución exponencial, de
parámetro  ( > 0 ) si su función de densidad de probabilidad tiene la forma
x

x0
 e
f ( x)  

otros
0
Observaciones
1. Si X tiene distribución exponencial entonces X E( )
2. Observe la forma de la función: la constante que acompaña a X en el exponente es la
inversa de la constante que acompaña a e (base del logaritmo neperiano).
3. Abra el archivo Gráfica de exponencial y normal.xls. En la hoja Exponencial se
muestra la gráfica de esta distribución. Modifique el valor del parámetro haciendo clic en
el botón que se muestra y observe el efecto sobre la gráfica.
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Obtención de la función de distribución acumulada, F(x)
Como F(x) = P(X ≤ x) =

x
0
f (t )dt
Entonces
F(x) = P(X ≤ x) = .......................................................
Luego F ( x)  1  e
x
x>0
Nota:
Recordemos lo dicho en una variable continua: P(a≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)
De manera que si X  E( = 0.5) entonces P(X ≤ 2) = .............
Del mismo modo
P(X < 2 / X > 1 ) =
P(1  X  2) F (2)  F (1) F (2)  F (1)


 ...... ........................
P( X  1)
1  P( X  1)
1  F (1)
Usemos el archivo Gráfica de Exponencial y Normal.xls para encontrar estas probabilidades:
Haciendo clic en el botón haga que el parámetro sea  = 0.5. En A43, X = 2. Para este valor
tenemos en C43, 0.83466472. Esto significa que P(X ≤ 2 ) = F(2) = 0.83466472
Verifique la probabilidad encontrada para P(X < 2 / X > 1)
Usando Excel para obtener las probabilidades cuando se trata de una exponencial
Use el espacio en amarillo para realizar estos cálculos.
La función que permite encontrar P(X ≤ k ) ó P(X < k) es
=Distr.Exp(x, , 1)
Para P(X ≤ 2 ) usamos
=Distr.Exp(2,0.5,1)
Teorema
Si X  E() entonces μ = E(X) =  y σ² = 1/
Ejemplo 5
La duración de una lámpara es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial,
cuya función de densidad viene dada por
, x0
0

f ( x)   1  1 t
100
, x0

 100 e
Determinar la probabilidad de que una lámpara cualquiera se queme después de su duración
media
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Solución
Sea X: La duración de una lámpara
Según el problema: X  E( = 1/100 = 0.01).
Como la duración media es μ = E(X) entonces debemos encontrar P(X > μ ). Antes debemos
hallar μ.
Puesto que  = 0.01 entonces μ = .............
Luego P(X > 100) = 1 – P(X ≤ 100) = ......................
(Use la distribución acumulada F)
Ejemplo 6
La vida útil (en cientos de días) de ciertos repuestos para vehículos es una variable aleatoria
que se distribuye exponencialmente con parámetro 2/3.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un repuesto de este tipo dure entre 110 y 130 horas?
b) Existe una probabilidad de 0.90 de que un repuesto dure más de ¿cuántos días?
c) ¿Cuántos días se espera que dure este tipo de repuesto?
d) Un perito inspecciona 5 repuestos de este tipo, ¿cuál es la probabilidad de que dos de
ellos dure menos de 150 días?
Solución
De acuerdo al problema, X: Vida útil del repuesto (en cientos de días); X E( =2/3)
a) P( 110 ≤ X ≤ 130) = F(......) – F(........) =
b) Sea K la cantidad de días. Entonces se tiene P(X > K) = 0.90, correcto?.............
Usando la distribución acumulada el valor de K es: ........................................... (días)
c) La respuesta a esta pregunta es E(X) = ........................
d) El número de repuestos inspeccionados es 5. Estamos interesados en que duren
menos de 150 días; es decir, que X < 1.50.
Pero se nos pregunta por la probabilidad de que el número de los que duran menos
de 150 días sea 2.
Si definimos con Y: el número de los que duran menos de 150 días entonces se nos
pregunta por P(Y = 2)
Para esto, Y  B(n = 5, p = P(X < 1.50)), si o no? ............................ Por qué? ...........
Resuelva P(Y = 2) usando binomial. ..............................................................................
Ejercicio 9
La duración de las llamadas telefónicas de los abonados residenciales se distribuye
exponencialmente. En un trabajo realizado por un estudio de defensa al consumidor, se
estimó que el promedio de duración por llamadas es de 2.42 minutos en abonados
residenciales.
a) ¿Qué porcentaje de llamadas duran a lo más, un minuto?
b) ¿Cuál es la duración mínima del 20% de llamadas de larga duración?
c) ¿Cree Ud. que más de la mitad de llamadas superan a la duración media?
d) Si se realiza un proceso de inspección de llamadas, ¿cuál es la probabilidad de que la
primera llamada que dure más de 3 minutos sea la quinta inspeccionada?
Sugerencia:
Defina adecuadamente a X.
En d) se tiene una distribución de Pascal, pero resuélvala usando Geométrica
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Ejercicio 10
Los tiempos de servicio en una ventanilla de cajero de un banco, siguen una distribución
exponencial con  3.2 minutos. Un cliente llega a la ventanilla del banco a las 5 pm.
a) Encontrar la probabilidad de que todavía esté alli a las 5:02 pm
b) Calcular la probabilidad de que todavía esté alli a las 5:04, si se sabe que todavía estuvo
allí a las 5:02
Ejercicio 11
Cierta fábrica requiere de un producto específico a granel. La cantidad de producto (en
toneladas) utilizada en un día se puede modelar por una distribución exponencial con
parámetro 0.25.
a) Hallar la probabilidad de que la fábrica utilice más de 5 toneladas en un día
b) ¿Qué cantidad del producto habría que almacenar para que la probabilidad de agotar la
existencia sea solamente de 0.05?
Ejercicio 12
Debido a la creciente importación de productos extranjeros, PROMOX, un organismo del
gobierno, decide tomar como política global la realización de cada proyecto en el tiempo
medio de 4 días. PROMOX sabe que los competidores extranjeros pueden realizar un
proyecto en 1.2 días. Si la probabilidad de que PROMOX pueda alcanzar a la competencia es
inferior al 50%, se deberá establecer un nuevo plan de fabricación. ¿Cuál es su decisión
respecto a un nuevo plan de producción?
Ejercicio 13
Supongamos que el intervalo de tiempo entre la llegada de clientes a la ventanilla de un
banco sigue una distribución exponencial con una media de 0.20 minutos. ¿Cuál es la
probabilidad de que los clientes lleguen en un intervalo menor a los 10 segundos?
Ejemplo 7
Suponga que un producto perecedero de alta rentabilidad tiene un tiempo de vida útil, X (en
unidades de 1000 horas) que es considerado como una variable aleatoria con función de
densidad f(x) = e-x, x > 0.
El costo de fabricación de un item es de 20 dólares y su precio de venta es de 25 dólares. El
fabricante garantiza total devolución si el tiempo de vida del producto no sobrepasa las 900
horas. ¿Cuál es la ganancia esperada por item?
Solución
Sea X: Tiempo de vida del producto
25  20
Sea G: la ganancia del fabricante
G
Según los datos:
 20
Tomando valor esperado a G, tenemos:
E(G) = 5 P(X ≥ 0.900) + (-20) P(X < 0.900)
E(G) = 5 [1 – P(X < 0.900) ] – 20 P(X < 0.900)
E(G) = 5 – 25 P(X < 0.900) = 5 – 25 (......... ) = ..........
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X  900
X  900
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Ejemplo 8
El tiempo de vida de una batería tiene una distribución exponencial, con una desviación
estándar de 6 horas. La utilidad por batería es el 20% de su costo C de fabricación, cuando el
tiempo es mayor que 6 horas; mientras que si dura menos de 6 horas, se pierde el 10% de su
costo C. Para qué valor de C se tiene una utilidad esperada mayor que 0.1 por batería?
Solución
Si X: Tiempo de vida de la batería; X  E(). Como σ = 6 entonces  = .................
Sea Y: Utilidad de la batería
X 6
0.20C
Si X > 6 entonces Y = 0.20 C.
Y 
X 6
 0.10C
Si X < 6 entonces Y = -0.10 C
Luego E(Y) = 0.20CP(X>6) + (-0.10C)P(X < 6) > 0.1
Resuelva esta desigualdad despejando C.
Ejercicio 14
Un estudio contable descubre que el tiempo que se toma para realizar un proceso de auditoria
está distribuido exponencialmente. Se sabe que el 70% de las auditorias realizadas duran más
de 6 días.
a) Si el director del estudio promete iniciar un trabajo de auditoria dentro de 20 días, pero
debe terminar uno que ya ha comenzado, qué tan probable es que cumpla con su
promesa?
b) Si el director realiza independientemente auditorias consecutivas, ¿cuál es la probabilidad
de que la cuarta auditoria que realiza, sea la primera que demora más de 15 días?
Ejercicio 15
Suponga que la duración en minutos de las llamadas telefónicas que llegan en forma
independiente a una central, es una variable aleatoria con distribución exponencial, con una
media de 2 minutos por llamada. ¿Cuántas llamadas deberán recibirse en esa central para
que con probabilidad 0.90, se tenga al menos una llamada que dure más de 4 minutos?
Ejercicio 16
Supongamos que X representa el tiempo de vida (en unidades de 1000 horas) de un
determinado producto, el cual se considera como una variable aleatoria con función de
densidad dada por

m
f 8 x)  

0
 mx
e
,x0
otros
Donde m representa el factor de producción. El tiempo promedio de vida del producto es de
2000 horas.
a. Suponiendo que el costo de fabricación de tales productos es de $ 2.0, y el fabricante los
vende por $ 5.0, pero garantiza un reembolso total si el tiempo de vida es, a lo más 900
horas. ¿Cuál es la utilidad esperada del fabricante?
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b. Si ahora se selecciona cinco de estos productos aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad
de que se obtenga por lo menos cuatro productos con tiempo de vida, a lo más, 900
horas?
c. Si W es la variable aleatoria que representa el monto de la inversión para el próximo año
en tales productos; y si se sabe que W depende del tiempo de vida del producto, según la
función W = 400 X3 – 250 X2 + 50, obtenga el valor esperado de la inversión para el
próximo año.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Esta, como veremos en lo que viene del curso, es una de las distribuciones más importantes,
más conocidas y más usadas en la estadística.
Definición
Sea X una variable aleatoria continua con f su función de densidad de probabilidad. Diremos
que X tiene distribución Normal de parámetros μ y σ²; y lo denotaremos por X  N(μ , σ² )
si su función de densidad viene dada por
f ( x) 
1
 2
1  x 
 

2  
e
2
 
x  
Observaciones
i) Note que nada se dice del comportamiento de X. Como en el caso de la exponencial, sólo
la forma cómo se define la función de densidad nos puede orientar a esta distribución.
ii) La Esperanza, media o valor esperado de X es μ y su varianza o V(X) es σ².
1
iii) Su distribución acumulada es F(x) = P(X ≤ x) =  
 2
x
e
1  t  
 

2  
2
dt
iv) No se le ocurra resolver problemas resolviendo este tipo de integrales por que no lo podrá
hacer, salvo que recurra a herramientas muy especiales de la estadística matemática.
v) Recordemos que P(a ≤ X ≤ b ) = F(b) – F(a) = Φ(b) - Φ(a) . Usaremos Φ en lugar de F.
vi) Por lo cuadrático del exponente podemos deducir que la gráfica de esta distribución es
simétrica respecto al eje Y. Su máximo ocurre cuando X = μ.
vii) La gráfica de esta distribución la podemos apreciar en la hoja Normal, del archivo
Grafica de Exponencial y Normal.xls. Asigne nuevos valor a μ y σ². Si hay alguna
gráfica, antes de hacer clic en el botón, debe hacer clic en el gráfico y borrarlo.
viii) Si X  N(3, 4). Usando esta hoja, obtenga las siguientes probabilidades: P(X < 2.14);
P(X > 4); P(- 2 < X < 2 );
P( |X | < 3). No se olvide de borrar el gráfico primero.
Distribución Normal Estándar N(0, 1)
Si en la función f hacemos μ = 0 y σ² = 1 entonces la distribución recibe el nombre de
Distribución Normal Estándar tal que X  N(0, 1). Escriba su f.de densidad: .......................
Esta es la distribución que ha sido tabulada usando métodos de integración por aproximación.
Y es la tabla que se muestra en los libros. En la siguiente figura se muestra el uso de esta
distribución para el cálculo de probabilidades. Abra el archivo Gráfica de Exponencial y
Normal y vaya a la hoja Comparación. Observe cómo varía la curvatura de la gráfica si se
varía al varianza, pero se mantiene centrada en la media.
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P( X ≤ k )
-k
P( X > k )
k
P( X < - k )
Si recordamos que P(X  k) = F(k), exprese cada una de las probabilidades siguientes
usando F(x).
P(X > k) = ...................
P(X < - k) = ..................
P( - k < X < k ) = ..........................
P( | X | < k) = ...............................
P( |X – μ | < ε ) = .........................
Estandarización de una variable X  N(μ , σ² )
Dado X  N(μ , σ² ) , si en lugar de hacer μ = 0 y σ² = 1, definimos otra variable aleatoria
X 
tal como Z 
entonces tenemos también la misma forma de función de densidad

2
1
 0.5 z
de z; es decir, f ( z ) 
   z  
2 e
Deducción importante:
Esto quiere decir que, toda vez que queramos resolver un problema de X  N(μ , σ² )
podemos usar la definición de Z y pasar a Z  N(0, 1), que ya está tabulada.
Sin embargo, tanto el programa Minitab como Excel, nos permitirán resolver el problema
directamente para X  N(μ , σ² ) sin necesidad de pasar a Z  N(0, 1).
Propiedades que pueden ser útiles
Como la distribución es simétrica,
a) F(-z) = 1 – F(z)
b) F(-k<X<k) = 2 F(k) – 1
Ejemplo 9
Si X es una variable aleatoria distribuida normalmente con media  = 6 y varianza ²=25,
usando el programa Minitab y también Excel, encuentre las siguientes probabilidades:
a) P(5  X  11 )
b) P( 0 X  8 )
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c) P(-2 < X < 0)
d) P(X > 21)
e) P(| X – 5 | < 5 )
f) P(|X - 5| < 10)
g) P(| X – 5 | > 14.8
Por ejemplo para el caso a):  = 6 y ²=25,
Usando la acumulada F, P(5  X  11 ) = F(11) – F(5)
En Minitab:
Para calcular F(11):
<Calc> - <Probability Distributions> - <Normal>.
Activamos <Cumulative probabilty>. En <Mean> ingresamos 6. En <Standard deviation>
ingresamos 5. En <Input constant> ingresamos 11. Luego hacemos clic en <Ok>
Repetimos el procedimiento para F(5).
En Excel:
Para F(11). Digitamos en cualquier celda =Distr.Norm(11,6,5,1)
Para F(5) : Digitamos en otra celda cualquiera: = Distr.Norm(5,6,5,1)
Proceda lo mismo para resolver los otros ejercicios
Ejemplo 10
Si X  N(25,36), determinar la constante c tal que P(|X-25|  c ) = 0.9544
Solución
Este caso es inverso al anterior: En lugar de obtener una probabilidad, para un X dado,
debemos encontrar un X para una probabilidad dada.
Por lo general se debe pasar a Z  N(0, 1). Aunque en otros se puede usar en X N(μ, σ²).
Por ello en Minitab se usa la opción <Inverse cumulative probability> y en <Input constant>
se ingresa la probabilidad dada. Al hacer clic en <Ok> debemos obtener el valor de X.
En el caso del Excel se debe usar la función: =Distr.Norm.Inv(probab_dada, μ, σ)
En el presente ejemplo dado P(|X-25|  c) = 0.9544, al simplificar el primer miembro:
P(25 - c  X  25 + c ) = 0.9544
Según el gráfico, al ser simétrica la curva, se tiene que
P(25-c  X) = P( X  25+c) = ½(1-0.9544) = 0.0228
0.9544
En Minitab: Usamos <Inverse ...> y en <Input constant>
5+c
ingresamos 0.0228.
25 - c
25 + c
El resultado es 13.0055
Luego se tiene que 25 – c = 13.0055 de donde c = ...........................
En Excel se debe usar la fórmula: =Distr.Norm.Inv(0.228,25,6)
Observe que, por la naturaleza de la pregunta se tenía que dividir en dos partes iguales a la
probabilidad 0.9544 .
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Ejercicio 17
Una variable aleatoria tiene una distribución normal con media 10 y una desviación estándar
de 2. Encuentre las siguientes probabilidades:
a) P(X>13.5)
b) P(X < 8.2)
c) P(9.4 < X < 10.6)
d) P(| X | < 11) e) Hallar el valor de “a” tal que P(X > a ) = 0.0495
Ejercicio 18
Una variable aleatoria X tiene distribución normal con media desconocida y una desviación
estándar igual a 1.8. Si la probabilidad de que X sea mayor que 14.4 es 0.3, encuentre el
valor de la media.
Ejercicio 19
Una variable aleatoria X tiene distribución normal con una media y desviación estándar
desconocidas. La probabilidad de que X sea mayor que 4 es 0.9772, y la probabilidad de que
X sea mayor que 5 es 0.9332. Obtenga la media y desviación
Ejercicio 20
Si X  N(3, 4), hallar el valor de C tal que P(X > C ) = 2 P(X  C)
Ejercicio 21
Por qué se dice que en la distribución normal, el intervalo < - 2 ,  + 2 > contiene el
95.5% de los valores de X?
Ejercicio 22
Se dispone de dos distribuciones normales: N(10, 9) y N(8, 4). Con la ayuda del Minitab,
construya una gráfica de las dos distribuciones y diga cuál está más concentrada en el medio
o cuál tiene mayor dispersión.
Verifique sus resultados usando la hoja Normal del archivo Gráfica de Exponencial y normal.
Ejercicio 23
En un examen de suficiencia para ingresar al doctorado se tiene como calificación media la
nota de 11 con una desviación igual a 2. Si se desea desaprobar al 40% de los examinados,
¿cuál debe ser la máxima calificación desaprobatoria?
Ejemplo 24
Se cree que las ventas de un determinado detergente tienen una distribución normal con una
media de 10,000 bolsas y una desviación estándar de 1,500 bolsas, por semana.
a) ¿Cuál es la probabilidad de vender más de 12,000 bolsas en una semana?
b) Para tener una probabilidad del 97.5% de que la empresa cuente con suficientes
existencias para cubrir la demanda semanal, ¿cuántas bolsas debe producir?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la venta semanal de bolsas difiera de una venta
promedio en más de 1,000 bolsas?
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d)
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Si en la siguiente semana se asegura vender más de 11,000 bolsas, ¿cuál es la
probabilidad de que en esa semana se venda menos de 12500 bolsas?
Solución
Sea X: Las ventas semanales de dicho detergente
X  N(10,000, 1,500²)
a) Vender más de 12000 significa X > 12000. Luego se debe encontrar P(X ........)
b) Si X es también la oferta de bolsas, para cubrir la demanda, la oferta debe superar a la
demanda; es decir, si K es la demanda, X ≥ K. Y la probabilidad de que se pueda cubrir
esta demanda es P(.....................) = 0. ............... Cómo se encuentra K? ............
c) La venta semanal es X. La venta promedio es ....... Que la primera difiera de la segunda
en más de 1000 se expresa por: ....................... Por ello se debe encontrar la probabilidad
P( .......................................) = .................
Ejercicio 25
Un analista de Refrescos Lima está determinando el nivel de llenado para las nuevas
máquinas de llenado automático. Si el número de onzas de llenado sigue una distribución
normal con una desviación estándar de 0.2 onzas, ¿cuál debe ser el valor de  que se fije
para que los envases de 8 onzas se sobrellenen sólo una vez en mil?
Sugerencia
Que se sobrellenen una vez en mil significa P(se sobrellenen ) = 1/1000 = 0.001
Ejercicio 26
Se ha determinado que el tiempo de servicio que se requiere por persona en una caja de un
banco tiene una distribución normal con media igual a 130 segundos y una desviación de 45
segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar
a) requiera menos de 100 segundos para terminar sus transacciones?
b) pase entre dos y tres minutos en la caja?
c) ¿Qué tiempo necesita el 20% de las personas con las transacciones más simples para
terminar sus operaciones en la caja?
Ejemplo 11
Los precios que pagan los clientes por el Menú, servido en un restaurante durante una
semana, se distribuyeron normalmente con una desviación de 5 soles. Sabiendo que sólo el
15.87% de los clientes han pagado 15 soles o más, y que 125 clientes pagaron 8 soles o
menos, ¿cuántas personas comieron en restaurante durante dicha semana?
Solución
Sea X: Precio de un plato del menú
X  N(μ, 25) Observe que no se conoce μ.
“Sólo el 15.87% han pagado 15 soles o menos” se expresa por P(..........) = 0.1587
Si P(X ≤ 8) = r entonces el 100 r% equivale a los 125 clientes.
Sólo falta determinar a cuánto clientes equivale el 100% .
Primero encuentre la media μ; a continuación usando μ encuentre r y luego una regla de tres.
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Ejercicio 27
Los costos mensuales de producción de una tienda de grabados en Lima han dado una media
de $ 410 con una desviación estándar de $ 87. El director promete al propietario de la tienda
mantener los costos por debajo de $ 300 este mes. Si los costos siguen una distribución
normal, ¿puede el propietario creer al director?
Ejercicio 28
Se supone que los resultados de un examen tienen una distribución normal con una media de
78 y una varianza de 36.
a) ¿Cuál es la calificación mínima de un alumno que está en el quinto superior de la clase?
b) ¿Cuál debe ser la calificación mínima aprobatoria si el calificador pretende que sólo el
28.1% de los alumnos apruebe?
c) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72, ¿cuál es la probabilidad
de que sea mayor que 84?
Ejercicio 29
Los gastos de viajes semanales que el personal de ventas de una empresa, justifica cada
semana, tienen una media de $ 950.25 y una desviación estándar de $ 30.35. El tirano del jefe
ha ofrecido vacaciones de dos semanas a quien justifique gastos que se encuentren en el 15%
inferior. Si Ud. ha gastado $ 712, conseguirá las vacaciones?
Ejercicio 30
Una fábrica de papel tiene dos plantas: la planta A produce 4,000 rollos diarios, cuya
longitud es una variable aleatoria normal con  = 50 m y  = 0.5 m. La planta B 6,000 rollos
diarios, cuya longitud es una variable normal con  = 50 m y  = 0.4 m. Si se extrae al azar
un rollo de la producción diaria y resulta medir menos de 49 m. ¿cuál es la probabilidad de
que provenga de la planta B?
Ejercicio 31
El gerente de Banca Personal de un banco, estimó que los depósitos desde que asumió la
dirección, están normalmente distribuidos con una media de 10,000 soles y una desviación
estándar de 1,500 soles. De todos los depósitos desde que asumió la gerencia, se seleccionó
una al azar. Encuentre la probabilidad de que el depósito seleccionado sea:
a) por lo menos de 10,000 soles
b) esté entre 12,000 y 15,000 soles
Ejercicio 32
Los pesos de las bolsas de detergente producidos por una fábrica se distribuyen normalmente
con un peso medio de 500 gr. y una desviación de 50 gr. Una bolsa de detergente se
considera ACEPTABLE si su peso no se aparta de la media en más de 30 gr. Si un paquete
de 6 de estas bolsas, contiene por lo menos 4 de estas bolsas ACEPTABLES, se vende con
una utilidad de 1000 soles; si no contiene bolsas ACEPTABLES, entonces pierde 500 soles;
y en otros casos, la utilidad es de 750 soles. Calcular la utilidad esperada por paquete.
Ilmer Cóndor
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Ejercicio 33
Una empresa de limpieza en seco ha averiguado que si las prendas se planchan a temperatura
inferiores a 115 grados o superiores a 135 grados Fahrenheit, no quedan bien. Se sabe que la
prensa de pantalones no funciona correctamente. Mantiene una temperatura media de 130
grados Fahrenheit, con una desviación típica de 12 grados. Si suponemos que las temperatura
siguen una distribución normal y se planchan 1000 pantalones, ¿cuántos habrá que volver a
planchar?
Ejercicio 34
En vista de la proximidad de las elecciones presidenciales, OPINA ha estado encuestando en
diversas universidades de la ciudad con el propósito si votarían o no por el actual presidente.
En base a las encuestas realizadas, se ha obtenido que 4/7 de los alumnos no votarían por el
presidente actual. OPINA quiere encuestar a los alumnos de la Universidad de Lima, para lo
cual toma una muestra de 500 alumnos de las diferentes facultades. Se pide(empleando la
aproximación de la binomial a una normal):
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en dicha muestra el 70% no voten por el presidente
actual?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en esta misma muestra, menos del 50% de los alumnos
no voten por el presidente actual?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en dicha muestra, entre el 20% y el 60% de los alumnos
no voten por el presidente actual?
Ejercicio 35
Una empresa dedicada a la venta de televisores, ofrece a sus clientes habituales dos formas
de pago: “Pago al contado” y “Pago a plazos”. También se sabe que el 70% de las unidades
vendidas de dicho televisor, lo son bajo la forma de “Pagos a plazo”. Si en un determinado
período de tiempo se han vendido 500 unidades, determinar la probabilidad de que 375 o
menos, lo hayan sido bajo la forma de pago a plazos(emplee la aproximación binomial por
normal)
Ejercicio 36
Un conjunto de datos que tiene distribución normal contiene 1000 observaciones y tiene una
media de 52.5 y una desviación estándar de 5.5
a) Cuántas observaciones son menores que 47?
b) Cuántas observaciones están por debajo de 36 o por encima de 69?
c) Cuál es el máximo valor del 25% de las observaciones más pequeñas?
Ejercicio 37
Se observó durante un largo período que la cantidad semanal gastada en el mantenimiento y
en las reparaciones en cierta fábrica tienen aproximadamente una distribución normal con
una media de $ 400 y una desviación estándar de $ 20.
a) Si el presupuesto para la próxima semana es de $ 450, ¿cuál es la probabilidad de que los
costos reales sean mayores que la cantidad presupuestada?
b) Cuánto tendría que ser el presupuesto para reparaciones y mantenimiento semanales, para
que la cantidad presupuestada se rebase sólo el 10% de las veces?
Ilmer Cóndor
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Ejercicio 38
El gerente de crédito de una tienda de departamentos estima las pérdidas por deudas impagas
en el año, en la siguiente forma: La pérdida tiene una distribución normal con una media de
30,000 dólares y hay una probabilidad de 0.5 de que sea mayor que 35,000 o menor que
25,000. Encuentre la desviación típica de las pérdidas
Ejercicio 39
El gerente de Banca Personal de un banco, estimó que los depósitos desde que asumió la
dirección, están normalmente distribuidos con una media de 10,000 dólares y una desviación
estándar de 1,500 dólares. El gerente estudia la posibilidad de una tasa de interés preferencial
a sus clientes incentivando al ahorro, que consiste en lo siguiente: Hasta el quinto inferior, la
tasa será del 3% mensual. Sobre la diferencia y hasta antes del cuarto superior, la tasa de
interés será de 4%; y para el cuarto superior la tasa será de 5% mensual.
a) ¿Cuáles son los límites de ahorro máximo y mínimo para acceder a una tasa de interés
mensual del 4%
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente logre el máximo interés para sus ahorros?
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