Download 1. razón de proporcionalidad. proporción

TEMA 1
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DIFERENCIA ENTRE RAZÓN Y FRACCIÓN
No debemos confundir una razón con una fracción.
Se escriben de la misma manera
Las dos pueden representar un cociente
Una fracción siempre está compuesta por
NÚMEROS ENTEROS
 Una razón no tiene por qué, puede estar compuesta
por números decimales




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1. RAZÓN DE PROPORCIONALIDAD. PROPORCIÓN
Una razón de proporcionalidad es el cociente de dos
números que se pueden comparar
a/b
Donde:
a es el antecedente y b es el consecuente
Ejemplo, en una cesta tengo 15 naranjas y 10 limones,
decimos que la proporción de naranjas y limones es de
15 a 10.
Esta proporción se puede expresar de la siguiente forma:
15/10
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Tengo otro cesto en el que hay 9 naranjas y 6 limones
y me pregunto si en este caso tendré la misma
razón de proporcionalidad que en el anterior.
PRIMER CESTO = 15/10 = 1,5
SEGUNDO CESTO = 9/6 = 1,5
Por lo tanto, las dos razones representan la misma
cantidad. En este caso decimos que forman una
proporción
Se escribe: 15/10 = 9/6
Se lee: 15 es a 10 como 9 es a 6
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Cuando dos razones representan lo mismo, decimos
que forman una PROPORCIÓN
a/b = c/d = e
Dónde
a y d son los extremos
c y b son los medios
e es la constante de proporcionalidad
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En nuestro ejemplo:
15 y 6 son los extremos
10 y 9 son los medios
1,5 es la constante de proporcionalidad
ACTIVIDAD_________________________________________
Para la siguiente proporción indica sus elementos:
antecedentes, consecuentes, extremos, medios y
constante de proporcionalidad
3/4 = 9/12
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2. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES
 Dos razones forman proporción si el producto de
medios es igual al producto de extremos
a/b = c/d ---- a . d = b . c
 Si tenemos en cuenta esta propiedad, podemos
resolver la mayoría de los problemas de
proporcionalidad que se nos plantean donde
desconozcamos el valor de una de las magnitudes.
15/10 = x/6 ---- 15 . 6 = 10 . x ---- 15 . 6/10 = 90/10 = 9
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ACTIVIDADES_______________________________________
1.¿Cuánto debo pagar por cada una de las siguientes
cantidades manteniéndose la razón peso/precio?
KG DE LENGUADO
1
2
PRECIO EN €
3
4
42
2. Para cada proporción identifica los componentes y
completa la tabla
CONSTANTE DE
PROPORC
MEDIOS
EXTREMOS
CONSECUENTES
ANTECEDENTES
2/4 = 4/8
6/3 = 8/4
3/4 = 9/12
8
3. Por cada 5€ que pone Luis, María pone 8€. ¿Qué
razón de €uros hay entre Luis y María?
4. Si en una razón el antecedente es 10 y la constante
de proporcionalidad 2, ¿cuál es el consecuente?
5. Si la razón de proporcionalidad es 2,5 y el
consecuente 8, ¿qué cantidad es el antecedente?
6. Calcula la constante de proporcionalidad de:
a) 2/4 = 3/6
b) 10/2 = 15/3
c) 1/10 = 10/100
d) 12/3 = 16/4
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7. Escribe una fracción que haga proporción con con:
a) 2/3
b) 1/4
c) 5/6
d) 8/7
8. Por cada 5 semanas de lluvia hay 8 que no llueve.
¿Cuál es la razón entre las semanas lluviosas y las
secas?
9. Si en una razón el antecedente es 7 y la constante
de
proporcionalidad
0,25.
¿cuál
es
el
consecuente?
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3. PROPORCIONALIDAD DIRECTA
Una magnitud es cualquier característica de un
elemento que se puede medir.
Decimos que dos magnitudes están en proporción
directa o son directamente proporcionales si:
 Cuando crece una de ellas (doble, triple,..) la otra
crece en la misma proporción (doble, triple,..)
 Cuando decrece una de ellas (mitad, tercio,..) la
otra decrece en la misma proporción (mitad,
tercio,..)
Para resolver este problema existen dos métodos
básicos: 1.REDUCCIÓN A LA UNIDAD y 2.REGLA
DE TRES
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1.MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA
UNIDAD
Consiste en saber cuánto cuesta 1
unidad y, partiendo de ahí, calcular
cualquier cantidad
2.REGLA DE TRES DIRECTA
Si 3 Kg cuestan 4,5 € -- 1 Kg
costará 4,5/3 = 1,5 €
El problema se plantearía de la
siguiente manera:
Si 1 Kg cuesta 1,5 € -- 4 Kg
costarán - - 4 . 1,5 Kg = 6 €
Si 3 Kg cuestan 4,5 €
4 Kg costarán x €
3/4 = 4,5/x - - - x = 4,5 . 4/3 = 6 €.
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ACTIVIDADES ______________________________________
10.De los siguientes pares de magnitudes, di cuáles
son directamente proporcionales y cuáles no.
a) El número de minutos que hablo por teléfono y el
coste de llamada
b) La estatura y el peso de una persona
c) Los Km que circulo con el coche y la gasolina que
consumo
d) El tamaño de un coche y su precio
e) El número de Km que circulo y el tiempo que tardo
en recorrerlos
f) Los Kg de carne que compro y lo que cuesta
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11. Un corredor da 5 vueltas a una pista polideportiva
en 15 minuntos. Si sigue el mismo ritmo, ¿cuánto
tardará en dar 25 vueltas?
12. El padre de Paco ha recorrido 220 Km en 2 horas.
¿Cuántos Km recorrerá en 5 horas? Utiliza los dos
métodos para resolverlo
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13. Si 400 gramos de salmón ahumado cuestan 12 €,
¿cuánto pagaré por 1,5 Kg?
14. Si un grifo arroja 15 litros cada 2 minutos, ¿cuánto
tiempo tardará en llenar un bidón de 45 litros?
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15. Por una llamada telefónica de 4 minutos he pagado
2,4 €. ¿Cuánto pagaré por una llamada de 15
minutos?
16. Un tren recorre 210 Km en 3 horas. ¿Cuántos Km
recorrerá en 7 horas?
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17. Ángel tiene que elegir la compañía de telefonía
móvil que más le interesa. Tiene dos ofertas: con la
Compañía A tiene que pagar 0,20 € por cada 2
minutos; con la Compañía B debe pagar 1 € por
cada 10 minutos. Si ambas compañías tarifican por
minuto ¿Cuál le resulta más rentable? Razona tu
respuesta.
18. Una clase tarda 3 días en recaudar 450 € para un
viaje de fin de curso. La clase está compuesta por
30 alumnos. ¿Cuánto dinero recauda de media al
día cada alumno? Si tuvieran que recaudar 1.500 €,
¿cuánto tardarían?
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4. PROPORCIONALIDAD INVERSA
Antonio y Rosa tardaron 6 horas en recortar el césped
del jardín ¿Cuánto tardarían si les ayudara su amigo
Pedro?
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Parece claro que tardarían menos tiempo si recortan
el césped los tres.
En este caso decimos que el número de personas que
cortan el césped y el tiempo que se tarda en
cortarlo
son
magnitudes
INVERSAMENTE
PROPORCIONALES.
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Decimos que dos magnitudes están en proporción
inversa i son inversamente proporcionales si:
 Cuando crece (doble, triple,…) una de ellas, la otra
decrece en la misma proporción (mitad, tercio,..)
 Cuando decrece (mitad, tercio, ..) una de ellas, la
otra crece en la misma proporción (doble, triple,..)
Para resolver el problema tenemos dos métodos: 1.
MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD y 2. REGLA
DE TRES INVERSA
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1. MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Se trata de saber cuánto tardaría uno en hacerlo todo y luego
dividirlo entre el total de trabajadores
Si 2 personas tardan 6 horas - - - 1 persona tardará 6 . 2 = 12
horas
3 personas tardarán x horas - - - 12 : 3 = 4 horas
2. REGLA DE TRES INVERSA
El problema se plantearía de la siguiente forma
Si 2 personas tardan 6 horas
3 personas tardarán x horas
2/3 = x/6
x = 6 . 2/3 = 4 horas
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ACTIVIDADES_______________________________________
19. En un taller de confección, si se trabajan 8 horas
diarias se tardan 6 días en servir un pedido.
¿Cuánto se tardará en servir el pedido si se trabajan
12 horas diarias?
20. Si 3 grifos tardan 9 horas en llenar un depósito,
¿cuánto tiempo tardarán en llenar ese mismo
depósito 4 grifos?
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21. Para recorrer los 360 Km que hay entre Madrid y
Valencia el padre de Diana tardó 3 horas a una
velocidad de 120 Km/hora. Si disminuye la
velocidad a 100 Km/hora, ¿cuánto tardará?
22. En una granja de 2.500 pollos se consumen 5.000
Kg de pienso cada 6 días. Si compró 500 pollos más
¿cuánto durará la misma cantidad de pienso?
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23. De los siguientes pares de magnitudes, indica
cuáles son inversamente proporcionales
a) El número de hojas de un libro y el grosor de dicho
libro
b) El número de ovejas y el tiempo que tardan en
comer el pienso
c) El color de una camiseta y su talla
d) La velocidad a la que voy en el coche y el tiempo
que tardo en llegar
24. Un tabique lo levantan entre 4 albañiles en 10
horas. ¿Cuántos albañiles se necesitarían para
hacer el tabique en 8 horas?
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25. Un granjero calcula que en su granero tiene pienso
para dar de comer a 12 caballos durante 10 días.
¿Cuánto tiempo le durará el pienso si vende 4
caballos? ¿y si compra 8 caballos?
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5. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA
Una proporcionalidad es compuesta cuando
intervienen varias magnitudes proporcionales
EJEMPLOS_________________________________________
A) Dos obreros, trabajando 5 horas diarias, han
construido 50 metros de valla ¿Cuántos metros de
valla construirán 4 obreros trabajando 6 horas al
día?
Las dos proporciones son directas
Número de obreros y metros de
valla
Cuántos más obreros trabajen, más
metros de valla harán
Número de horas y metros de
valla
Cuántas más horas se trabaje, más
metros de valla se construirán
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Resolvemos el problema:
• Reducimos a la unidad, que en este caso son los
metros de valla que hace un obrero en 1 hora.
Trabajando 5 horas diarias hacen 50 metros
Trabajando 1 hora: 50 : 5 = 10 metros
Entonces, 2 obreros en 1 hora al día hacen 10 metros
de valla
• Por último:
1 obrero 1 hora al día
10 : 2
5 metros de valla
4 obreros 1 hora al día
4.5
20 metros de valla
4 obreros 6 horas al día
6 . 20
120 metros de valla
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Resolvemos el problema mediante regla de tres:
2 obreros --- trabajando 5 horas al día --- hacen 50 metros
4 obreros --- trabajando 6 horas al día --- hacen x metros
x = 4 . 6 . 50/2 . 5 = 1.200/10 = 120 metros
B) Si 5 máquinas tejen en 12 horas 90 polos ¿Cuántas
máquinas se necesitan para tejer 150 polos en 10
horas?
5 máquinas --- 12 horas --- 90 polos
X máquinas --- 10 horas --- 150 polos
x = 5 . 12 . 150/10 . 90 = 9.000/900 = 10 máquinas
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26. En 5 días 4 embotelladoras distribuyen 20.000
litros de zumo ¿Cuántos litros distribuirán 2
embotelladoras en 10 días?
27. Para enviar por correo postal un paquete de 7 Kg
de peso a 200 Km he pagado 1,4 € ¿Cuánto me
costará enviar un paquete de 3 Kg a una ciudad que
se encuentra a 300 Km?
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28. Un autocar haciendo 2 viajes al día durante 6 días
ha repartido a 480 personas por diferentes destinos
¿Cuántas personas se distribuirán en 5 días
haciendo 3 viajes al día?
29. Cincuenta garrafas de aceite, de 3 litros cada una,
cuestan 1.500 €. ¿Cuánto costarán 40 garrafas del
mismo aceite, de 5 litros cada una?
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30. Si 6 perros en 3 días comen 36 Kg de pienso
¡cuánto comerán 9 perros en 5 días?
31. Un agricultor gasta 15.000 litros de agua en regar
5 hectáreas de terreno en 3 días. Si aumenta el
gasto de agua a 16.000 litros pero utiliza 1 día más.
¿cuántas hectáreas podrá regar?
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