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Límites de Sucesiones de
Números Reales
Sucesiones de Números Reales
Límites por definición
Regla de Sandwich
Uso de la Regla de Sandwich
Sucesiones Monótonas
Index
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Sucesiones Numéricas
Definición
Una sucesión
 x1,x2 ,x3, K 
es una aplicación (regla) que asigna
a cada número natural n el número xn.
Ejemplos
Index
1
 1 1 1

1
,
,
,
,
K
.
 2 4 8



2
1,1.4,1.41,1.414,1.4142,K .
3
1, 3,5, 7,9,K .
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Límites de Sucesiones
Definición
Un número finito L es el limite de la sucesión
 x1,x2 ,x3 ,.K 
si los números xn se van acercando
cada vez más al número L cuando n crece.
Si una sucesión tiene límite finito, decimos que la sucesión es
convergente o que converge. En caso contrario la sucesión
diverge o es divergente.
Ejemplos
2
1
La sucesión 1,1.4,1.41,1.414,1.4142, K
y su límite es
3
 1 1 1

La sucesión 1, , , , K  converge
 2 4 8

y su límite es 0.

converge
2.
La sucesión (1,-2,3,-4,…) diverge.
Notación
Index
lim xn  L
n 
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Cálculo de Límites de Sucesiones (1)
El límite de una sucesión  xn  se obtiene haciendo tender n a  en la
fórmula que define el término general xn . Si la expresión resultante se puede evaluar
y el resultado es finito, entonces este valor finito es el límite de la
sucesión. Esto suele requerir reescribir el término gemeral xn de otra forma.
 1 1 1
  1 
El límite de la sucesión  1, , , ,K    n 1  es 0 porque
 2 4 8
 2 
1
haciendo tender n a  en la fórmula xn  n 1 obtenemos 0.
2
1
1 2
2
2
 n  1
n 1
n
El límite de la sucesión  2
es
1
porque
operando


1
n2  1
 n  1
1 2
n
y haciendo tender n a  obtenemos como resultado 1.
Ejemplos
2
Index
1
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Cálculo de Límite de Sucesiones
Ejemplos continuación
3
El límite de la sucesión


n  1  n es 0 porque al multiplicar
y dividir esta expresión por su conjugado obtenemos:
n 1

n

n 1 n

n 1 n

n 1 n
 n  1  n
n 1 n

1
n 1 n
.
Si hacemos tender n a  obtenemos el límite 0.
Index
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Cálculo de Límites con Maple
Comandos de Maple Limit y
limit
Llamada a
la Sucesión
Limit(f,x=a,dir) y
limit(f,x=a,dir)
Este comando calcula el límite de la expresión f cuando la
variable x se aproxima al valor a. La opción dir puede ser
usada para elegir la dirección por la que la variable x se
aproxima al valor a.
Cuando calculamos el límite de una sucesión, f es el término
general de la sucesión y la variable x toma sólo valores enteros
positivos y se aproxima a infinito.
Index
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Definición Formal de Límite de Sucesiones
Definición
Un número finito L es el límite de una sucesión
 x1,x2 ,x3 , K 
si
  0 : n tal que n  n  xn  L   .
Ejemplo
1
 0 ya que dado   0 , se tiene
n n
lim
1
1
1
0 
  si n   n .
n
n

Index
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Límite de Sumas
Teorema
Si los límites lim xn  x y lim y n  y  son finitos, entonces
n 
n 
lim  xn  y n   x  y  .
n 
Demostración
Dado   0 , tenemos que encontrar un
número n tal que
n  n  xn  y n  x  y    .
Para ello observamos que también

2
 0.
Por la
Desigualdad
Triangular
Entonces existen dos números n1 y n2 tales que
n  n1  xn  x 


y n  n2  y n  y   .
2
2
Tomando n =max  n1, n2  , tenemos
n  n  xn  y n  x  y   xn  x  y n  y  
Index
Sucesiones. Recopilación teoría

2


2
 .
FAQ
Límite de Productos
El mismo razonamiento que para las sumas puede utilizarse para
demostrar la siguiente propiedad.
Teorema
Si los límites lim xn  x y lim y n  y  son finitos, entonces
n 
n 
lim xn y n  x y  .
n 
Observación
Los límites lim xn y n y lim  xn  y n  pueden existir y ser finitos
n 
n 
incluso si los límites lim xn y lim y n no existen.
n 
Ejemplo
n 
1
. Entonces lim y n  0 y
2
n 
n
el límite lim xn no existe. Sin embargo lim xn y n  0.
Sean xn   1 n e y n 
n
n 
Index
n 
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Regla de Sandwich para Sucesiones
Teorema
Supongamos que n : xn  y n  zn y que
lim xn  lim zn  a.
n 
n 
Entonces el límite lim y n existe y
n 
lim y n  lim xn  lim zn .
n 
Demostración
n 
n 
Sea   0. Ya que lim xn  lim zn  a, nx , nz tales
n 
n 
que n  nx  xn  a   y n  nz  zn  a   .
Sea ny  max nx , nz . Entonces
n  ny  a  y n  max  a  xn , a  zn    .
Esto es así ya que xn  y n  znn.
Index
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Uso de la Regla de Sandwich
n!
Calcular lim n .
n n
Ejemplo
Solución
Esto es difícil de calcular usando los métodos estandar
porque n! está definido sólo si n es un número natural.
Así los términos de la sucesión en cuestión no vienen dados por una
función elemental a la cual podamos aplicar técnicas como la regla de
L’Hopital.
n!
Se tiene que 0< n para todo n  0. Aquí cada término k/n < 1.
n
Además
n ! 1 2  3  n  1  n 1 2 3

  
n
n

n

n
n

n
n n n
n
n 1 n

n n

1
n! 1
. Por lo tanto 0  n  .
n
n
n
1
n!
 0, por la Regla de Sandwich lim n  0 .
n  n
n  n
Como lim
Index
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Uso de la Regla de Sandwich
Problema
Solución
 s e n(n ) 
¿La sucesión 
 es convergente?
 n  cos(n ) 
Si lo es, hallar su límite.
Sabemos que  1  s e n(n )  1 y  1  cos(n )  1 para todo n  2,3,4,K .
Por lo tanto

1
s e n(n )
1


.
n  1 n  cos(n ) n  1
1
 1 
 lim  
  0 podemos concluir que la sucesión
n  n -1
n 
n
-1


Como lim
 s e n(n ) 
s e n(n )
es
convergente
y
que
lim
 0.


n

n  cos(n )
 n  cos(n ) 
Index
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Sucesiones Monótonas
Una sucesión (a1,a2,a3,…) es creciente si an ≤ an+1 para
todo n.
Una sucesión (a1,a2,a3,…) es decreciente si an+1 ≤ an para todo n.
Definición
Una sucesión (a1,a2,a3,…) es monótona si es o bien creciente o
decreciente.
Una sucesión (a1,a2,a3,…) está acotada si existen dos números M y
m tales que m ≤ an ≤ M para todo n.
Teorema
Una sucesión monótona y acotada tiene límite
finito (es convergente).
Observesé que es suficiente con demostrar el teorema para las
sucesiones crecientes (an), ya que si (an) es decreciente,
entonces se considera la sucesión creciente (-an).
Index
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Sucesiones Monótonas
Teorema
Demostración
Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es
convergente).
Sea (a1,a2,a3,…) una sucesión creciente acotada.
Entonces el conjunto {a1,a2,a3,…} está acotado superiormente
Por el hecho de que el conjunto de números reales es completo,
s=sup {a1,a2,a3,…}
es finito.
Afirmación
Index
lim an  s.
n 
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Sucesiones Monótonas
Teorema
Demostración
Una sucesión monótona y acotada tiene límite finito (es
convergente).
Sea (a1,a2,a3,…) una sucesión creciente acotada.
Sea s=sup {a1,a2,a3,…}.
Afirmación
lim an  s.
n 
Demostración de la afirmación
Sea   0.
Tenemos que encontrar un número n que cumpla
que n  n  an  s   .
Como s  sup an  , existe un elemento an tal que s    an  s.
Al ser  an  creciente, n  n  s    an  an  s.
Por lo tanto n  n  an  s  . En consecuencia lim an  s.
n
Index
Sucesiones. Recopilación teoría
FAQ
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Index
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa
FAQ