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U.D. 10
*
1º ESO
π
GEOMETRÍA PLANA
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 1º ESO
1
U.D. 10.5
*
1º ESO
π
POLÍGONOS
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 1º ESO
2
POLÍGONOS
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POLÍGONO
•
Un polígono es la región del plano limitada por
una línea poligonal cerrada.
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Un polígono es regular si tiene sus ángulos y
lados iguales. De lo contrario es irregular.
regular de CINCO lados.
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ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR
•
Centro: punto interior que está a igual distancia
de todos los vértices.
Radio: Segmento que une el centro con un
vértice.
El centro y el radio lo son también de la
circunferencia circunscrita.
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Línea poligonal abierta
Línea poligonal cerrada
Polígono regular
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Tipos de polígonos
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SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS
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Lados = 3
TRIÁNGULOS
Lados = 4
CUADRILÁTEROS
Lados = 5
PENTÁGONOS
Lados = 6
EXÁGONOS
Lados = 7
HEPTÁGONOS
Lados = 8
OCTÓGONO
ETC.
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SEGÚN LOS ÁNGULOS INTERIORES
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Todos los ángulos interiores son
convexos, menores de 180º.
POLÍGONO CONVEXO
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Algún ángulo interior es cóncavo, mayor
de 180º.
POLÍGONO CÁNCAVO
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APOTEMA DE UN POLÍGONO
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APOTEMA
Es el segmento perpendicular al lado, que une el
centro de un polígono regular con el punto medio
del lado.
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En todos los polígonos regulares se puede
construir un triángulo rectángulo en el cual:
Hipotenusa: El radio del polígono.
Un cateto: La apotema.
Otro cateto: La mitad del lado.
Por el Teorema de Pitágoras:
R2 = a2 + (l/2)2
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Ejemplo
Hallar la apotema de un polígono regular cuyo
radio mide 13 cm y cuyo lado mide 10 cm.
a2 = R2 – (l/2)2 = 132 – 52 = 144  a = 12
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54º
54º
72º
R
l
a
l/2
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EXÁGONO
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CONSTRUCCIÓN DEL EXÁGONO
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Es un polígono regular de seis lados.
El radio, R, es igual al lado.
Se compone de seis triángulos
equiláteros.
Todos sus ángulos miden 60º
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A
Se construye una circunferencia de
radio igual al lado.
F
Con la longitud del radio se marcan
sobre la circunferencia seis puntos
equidistantes (A, B, C, D, E y F).
Y se unen los seis puntos.
C
l=R
E
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B
D
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APOTEMA DEL EXÁGONO
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APOTEMA DEL EXÁGONO
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Es un exágono al ser el radio igual al
lado, tenemos:
Por el Teorema de Pitágoras:
R2 = a2 + (l/2)2
En este caso:
l2 = a2 + (l/2)2
Despejando la apotema:
a2 = l2 – (l/2)2
Operando:
a2 = l2 – l2/4 = (4.l2 – l2)/4= 3.l2 / 4
La apotema valdrá:
a = √3.l2/4 = l.√3 / 2
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A
F
C
l=R
a
l/2
E
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B
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D
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Ejemplos
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1.- Hallar la apotema de un exágono regular de 6 cm de lado.
a = l.√3 / 2
a = 6.√3 / 2 = 3.√3 cm
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2.- Hallar la apotema de un exágono regular de 10 cm de lado.
a = l.√3 / 2
a = 10.√3 / 2 = 5.√3 cm
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3.- Hallar el lado de un exágono regular de 4 cm de apotema.
a = l.√3 / 2
4 = l.√3 / 2  4.2 / √3 = l  l = 8 / √3 cm
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4.- Hallar el lado de un exágono regular de 7.√3 cm de apotema.
a = l.√3 / 2
7.√3 = l.√3 / 2  7.√3. 2 / √3 = l  l = 14 cm
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Los lagartos de M.C.Echer
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POLÍGONOS REGULARES
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Los polígonos reglares son polígonos convexos cuyos lados son iguales.
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CONSTRUCCIÓN
1.- Se traza una circunferencia con el mismo lado del polígono.
Esta circunferencia será la circunscrita, o sea la que pasa por todos los
vértices.
2.- Se traza un diámetro.
3.- Se divide el diámetro trazado en tantas partes iguales como lados
tenga el polígono a dibujar.
Por ejemplo dibujaremos un pentágono: n=5.
4.- Se trazan dos arcos de circunferencia, cada uno con centro en un
extremo del diámetro y que pasen por el otro extremo.
5.- Se traza una recta que una el punto de intersección de los arcos con
la segunda de las divisiones del diámetro.
6.- Señalamos el punto de corte de la anterior recta con la circunferencia.
7.- La distancia del punto anterior al extremo del diámetro es el lado del
polígono. Con el compás llevamos esta distancia a lo largo de la
circunferencia y tenemos los vértices.
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O
P
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Ángulos en el pentágono
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