Download Triángulos.

U.D. 8
*
2º ESO
π
GEOMETRÍA PLANA
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
1
U.D. 8.3
*
1º ESO
π
TRIÁNGULOS
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
2
POLÍGONOS
•
POLÍGONO
•
Un polígono es la región del plano limitada por
una línea poligonal cerrada.
•
Un polígono es regular si tiene sus ángulos y
lados iguales. De lo contrario es irregular.
•
ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR
•
Centro: punto interior que está a igual distancia
de todos los vértices.
Radio: Segmento que une el centro con un
vértice.
El centro y el radio lo son también de la
circunferencia circunscrita.
•
•
Línea poligonal abierta
Línea poligonal cerrada
Polígono regular
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
3
Tipos de polígonos
•
SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Lados = 3
TRIÁNGULOS
Lados = 4
CUADRILÁTEROS
Lados = 5
PENTÁGONOS
Lados = 6
EXÁGONOS
Lados = 7
HEPTÁGONOS
Lados = 8
OCTÓGONO
ETC.
@ Angel Prieto Benito
•
SEGÚN LOS ÁNGULOS INTERIORES
•
Todos los ángulos interiores son
convexos, menores de 180º.
POLÍGONO CONVEXO
•
•
•
Algún ángulo interior es cóncavo, mayor
de 180º.
POLÍGONO CÁNCAVO
Apuntes Matemáticas 2º ESO
4
TRIÁNGULOS
• DEFINICIÓN:
• Un triángulo (TRI-ángulo) es un polígono que presenta tres ángulos.
• Un polígono como mínimo presenta siempre tres ángulos y en
consecuencia tres lados.
• Un polígono presenta siempre el mismo número de vértices que de
lados.
Polígono de 3 lados
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Polígono de 6 lados
Apuntes Matemáticas 2º ESO
Polígono de infinitos lados
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CLASIFICACIÓN
Clasificación por sus lados:
ESCALENO
ISÓSCELES
EQUILATERO
3 lados desiguales
2 lados iguales
3 lados iguales
a=5
b=4
b=4
a=6
b=6
c=6
@ Angel Prieto Benito
c=4
Apuntes Matemáticas 2º ESO
a=4
c=4
6
Clasificación por sus ángulos:
ACUTÁNGULO
RECTÁNGULO
OBTUSÁNGULO
Los tres ángulos agudos
Un ángulo recto
Un ángulo obtuso
C = 70º
C = 20º
C = 90º
< 90º
A = 50º
A = 50º
B = 60º
< 90º
< 90º
@ Angel Prieto Benito
B = 40º
A = 40º
B = 120º
> 90º
Apuntes Matemáticas 2º ESO
7
Construcción de un triángulo
Si nos dan los tres lados:
Se traza como base un lado, generalmente el mayor.
Con centro en sus extremos trazamos dos círculos con los radios de la
medida de los otros dos lados.
Donde su corten ambos círculos tendremos el tercer vértice.
A
b=3 cm
c=2 cm
C
B
@ Angel Prieto Benito
a = 4 cm
Apuntes Matemáticas 2º ESO
8
Construcción de un triángulo
Si nos dan dos lados y el ángulo que forman:
Se traza como base un lado, generalmente el mayor.
Con centro en un extremo trazamos el ángulo dado.
Sobre la recta del ángulo llevamos el otro lado.
Y finalmente unimos los extremos libres de los dos lados
A
Lado b
c=6 cm
B=50º
B
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C
a = 8 cm
Apuntes Matemáticas 2º ESO
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IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
•
CRITERIOS
•
A)
Dos triángulos son iguales si tienen sus
tres lados respectivamente iguales.
B)
Dos triángulos son iguales si tienen dos
lados y el ángulo comprendido
respectivamente iguales.
C) Dos triángulos son iguales si tienen un
lado y los dos ángulos contiguos
respectivamente iguales.
•
•
5
4
8
5
6
5
4
6
8
40º
5
70º
4
@ Angel Prieto Benito
70º
70º
70º
40º
4
Apuntes Matemáticas 2º ESO
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EL TRIÁNGULO
•
•
TRIÁNGULOS
Son los polígonos de tres lados.
•
•
•
Perímetro
Suma de los lados
P=a+b+c
P = a+b+c
a
•
•
Área
La mitad del producto de un lado
cualquiera por la altura
correspondiente.
•
•
Altura
La recta perpendicular a un lado, que
hace de base, trazada desde el vértice
opuesto a dicho lado.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
c
h
b
A = b.h / 2
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Particularidades
•
•
•
•
•
FÓRMULA DE HERÓN
Cuando en un triángulo se conoce la medida de los tres lados, se puede
emplear la fórmula de Herón para hallar el área:
A=√(p.(p – a).(p – b).(p – c))
Siendo p el semiperímetro:
p= (a+b+c)/2
•
•
EJEMPLO 1
Hallar el perímetro y el área del triángulo cuyos lados miden a=3, b=5 y c=7
cm
•
•
•
•
•
P = a+b+c = 4+5+7 = 16
p= P/2 = 16/2 = 8
A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c))
A=√(8.(8 – 4).(8 – 5).(8 – 7))
A=√(8.4.3.1) = √96 = √16.6 = 4.√6 u2
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
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Triángulo Rectángulo
•
ÁREAS EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
•
Si el triángulo es rectángulo, un cateto es la altura
correspondiente al otro cateto y viceversa.
Ello nos permite calcular el área sin necesidad de
hallar previamente la altura.
A=b.c/2
Y también nos permite calcular la altura
correspondiente a la base:
A=b.c/2
A=a.h/2
Luego podemos igualar las áreas, al ser la
misma:
b.c/2 = a.h/2
Y despejando la altura correspondiente a la
hipotenusa:
h= b.c / a
•
•
•
•
•
•
•
•
•
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
a
b
ha
c
13
Triángulo Rectángulo
•
Ejemplo 2
•
Hallar el perímetro y el área del triángulo rectángulo cuyos
catetos miden b= 8 cm y c= 6 cm, así como la altura
relativa al lado a.
•
•
•
Calculamos el lado a o hipotenusa mediante el T. de
Pitágoras
a=√(b2+ c2) = √(82+62) = √100 = 10 cm
Perímetro: P=a+b+c = 10+8+6 = 24 cm
•
•
•
•
Si tomamos b=8 como base  h=c=6
A=b.h/2 = 8.6/2 = 24 cm2
Si tomamos c=6 como base  h=b=8
A=c.h/2 = 6.8/2 = 24 cm2
•
•
El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo.
b.c/2 = a.ha/2  8.6/2=10.ha/2  ha = 8.6/10 = 4,8 cm
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Apuntes Matemáticas 2º ESO
a
b
ha
c
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Triángulo Isósceles
•
Ejemplo 3
•
Hallar el perímetro y el área del triángulo isósceles de
altura hc=12 cm y lado c=10 cm, así como la altura
relativa a los lados iguales.
•
•
•
Calculamos el lado a=b o hipotenusa mediante el T. de
Pitágoras, gracias al triángulo rectángulo que se forma.
a=b=√(hc2+ (c/2)2) = √(122+52) = √169 = 13 cm
Perímetro: P=a+b+c = 13+13+12 = 38 cm
•
•
Si tomamos c=10 como base  h=hc=12
A=b.h/2 = 10.12 / 2 = 60 cm2
•
•
•
•
El área es único, aunque halla cuatro formas de calcularlo.
A = a.ha / 2  60 =13.ha / 2  ha = 60.2/13 = 9,23 cm
La altura correspondiente al lado b es:
hb=ha=9,23 cm
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Apuntes Matemáticas 2º ESO
b
hc
a
ha
c
15
•
Ejemplo 4
•
•
Comprobar el área hallada en el Ejemplo 2 mediante la Fórmula de Herón:
a=10 cm, b=8 cm, c= 6 cm
•
•
•
•
•
P = a+b+c = 10+8+6 = 24
p= P/2 = 24/2 = 12
A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c))
A=√(12.(12 – 10).(12 – 8).(12 – 6))
A=√(12.2.4.6) = √24.24 = 24 cm2
•
Ejemplo 5
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•
Comprobar el área hallada en el Ejemplo 3 mediante la Fórmula de Herón:
a=13 cm, b=13 cm, c= 10 cm
•
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•
•
•
P = a+b+c = 13+13+10 = 36
p= P/2 = 36/2 = 18
A= √(p.(p – a).(p – b).(p – c))
A=√(18.(18 – 13).(18 – 13).(18 – 10))
A=√(18.5.5.2) = √36.25 = 6.5 = 30 cm2
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Triángulo Equilatero
•
Ejemplo 6
•
Hallar el perímetro y el área del triángulo equilátero de
lado 12 cm.
•
•
•
En un triángulo equilátero a=b=c=l
Perímetro:
P=a+b+c = l+l+l = 3.l = 3.12 = 36 cm
l
•
•
•
•
•
•
Asimismo las alturas correspondientes a los lados también
son iguales:
ha=hb=hc=h
Mediante el T. de Pitágoras, gracias al triángulo
rectángulo que se forma.
h=√(l2 – (l /2)2) = √(122 – 62) = √(144 – 36) = √108 = 6.√3
cm
l
h
h
h
l
Si tomamos l=12 como base  h= 6.√3
A=b.h/2 = 12. 6.√3 / 2 = 36.√3 cm2
@ Angel Prieto Benito
Apuntes Matemáticas 2º ESO
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