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U.D. 10 * 1º ESO π GEOMETRÍA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 1 U.D. 10.5 * 1º ESO π POLÍGONOS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 2 POLÍGONOS • POLÍGONO • Un polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. • • Un polígono es regular si tiene sus ángulos y lados iguales. De lo contrario es irregular. regular de CINCO lados. • ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR • Centro: punto interior que está a igual distancia de todos los vértices. Radio: Segmento que une el centro con un vértice. El centro y el radio lo son también de la circunferencia circunscrita. • • Línea poligonal abierta Línea poligonal cerrada Polígono regular @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 3 Tipos de polígonos • SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS • • • • • • • • • • • • • Lados = 3 TRIÁNGULOS Lados = 4 CUADRILÁTEROS Lados = 5 PENTÁGONOS Lados = 6 EXÁGONOS Lados = 7 HEPTÁGONOS Lados = 8 OCTÓGONO ETC. • SEGÚN LOS ÁNGULOS INTERIORES • Todos los ángulos interiores son convexos, menores de 180º. POLÍGONO CONVEXO • • • @ Angel Prieto Benito Algún ángulo interior es cóncavo, mayor de 180º. POLÍGONO CÁNCAVO Apuntes Matemáticas 1º ESO 4 APOTEMA DE UN POLÍGONO • • APOTEMA Es el segmento perpendicular al lado, que une el centro de un polígono regular con el punto medio del lado. • En todos los polígonos regulares se puede construir un triángulo rectángulo en el cual: Hipotenusa: El radio del polígono. Un cateto: La apotema. Otro cateto: La mitad del lado. Por el Teorema de Pitágoras: R2 = a2 + (l/2)2 • • • • • • • • Ejemplo Hallar la apotema de un polígono regular cuyo radio mide 13 cm y cuyo lado mide 10 cm. a2 = R2 – (l/2)2 = 132 – 52 = 144 a = 12 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 54º 54º 72º R l a l/2 5 EXÁGONO • CONSTRUCCIÓN DEL EXÁGONO • • • Es un polígono regular de seis lados. El radio, R, es igual al lado. Se compone de seis triángulos equiláteros. Todos sus ángulos miden 60º • • • • A Se construye una circunferencia de radio igual al lado. F Con la longitud del radio se marcan sobre la circunferencia seis puntos equidistantes (A, B, C, D, E y F). Y se unen los seis puntos. C l=R E @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO B D 6 APOTEMA DEL EXÁGONO • APOTEMA DEL EXÁGONO • Es un exágono al ser el radio igual al lado, tenemos: Por el Teorema de Pitágoras: R2 = a2 + (l/2)2 En este caso: l2 = a2 + (l/2)2 Despejando la apotema: a2 = l2 – (l/2)2 Operando: a2 = l2 – l2/4 = (4.l2 – l2)/4= 3.l2 / 4 La apotema valdrá: a = √3.l2/4 = l.√3 / 2 • • • • • • • • • • A F C l=R a l/2 E @ Angel Prieto Benito B Apuntes Matemáticas 1º ESO D 7 • Ejemplos • • • 1.- Hallar la apotema de un exágono regular de 6 cm de lado. a = l.√3 / 2 a = 6.√3 / 2 = 3.√3 cm • • • 2.- Hallar la apotema de un exágono regular de 10 cm de lado. a = l.√3 / 2 a = 10.√3 / 2 = 5.√3 cm • • • 3.- Hallar el lado de un exágono regular de 4 cm de apotema. a = l.√3 / 2 4 = l.√3 / 2 4.2 / √3 = l l = 8 / √3 cm • • • 4.- Hallar el lado de un exágono regular de 7.√3 cm de apotema. a = l.√3 / 2 7.√3 = l.√3 / 2 7.√3. 2 / √3 = l l = 14 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 8 Los lagartos de M.C.Echer @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 9 POLÍGONOS REGULARES • Los polígonos reglares son polígonos convexos cuyos lados son iguales. • • • CONSTRUCCIÓN 1.- Se traza una circunferencia con el mismo lado del polígono. Esta circunferencia será la circunscrita, o sea la que pasa por todos los vértices. 2.- Se traza un diámetro. 3.- Se divide el diámetro trazado en tantas partes iguales como lados tenga el polígono a dibujar. Por ejemplo dibujaremos un pentágono: n=5. 4.- Se trazan dos arcos de circunferencia, cada uno con centro en un extremo del diámetro y que pasen por el otro extremo. 5.- Se traza una recta que una el punto de intersección de los arcos con la segunda de las divisiones del diámetro. 6.- Señalamos el punto de corte de la anterior recta con la circunferencia. 7.- La distancia del punto anterior al extremo del diámetro es el lado del polígono. Con el compás llevamos esta distancia a lo largo de la circunferencia y tenemos los vértices. • • • • • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 10 O P @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 11 Ángulos en el pentágono @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 12