Download Campo magnético en un punto de la mediatriz Campo magnético

Aunque es un fenómeno conocido
desde la antigüedad, el magnetismo no
fue bien comprendido hasta su
unificación con la teoría de la
electricidad a mediados del siglo XIX,
gracias sobre todo a los trabajos de
Maxwell.
El electromagnetismo está en la base
de la producción de energía eléctrica,
la radio, la TV, la Informática y los
medios de telecomunicación, por lo
que podemos decir que juega un papel
crucial en nuestra civilización actual.
Se abordará de forma sencilla, sin gran
aparato matemático, para hacer
comprensibles
algunas
de
sus
características más importantes
Imanes naturales
Muchas veces hemos visto como un imán, hecho de
magnetita o ciertas otras aleaciones férricas, atrae
objetos de acero u otros metales derivados del
hierro.
Las substancias que son fuertemente
atraídas por los imanes se llaman ferromagnéticas,
las que sólo son atraídas muy débilmente ( de forma
imperceptble a nuestra vista) son paramagnéticas,
y las que no son afectadas de ninguna forma o son
débilmente
repelidas
por
un
imán
son
diamagnéticas.
También sabemos que cada imán tiene dos zonas
donde el magnetismo es más intenso, los polos.
Además los polos de diferentes imanes presentan
una gran interacción mutua.
El comportamiento de la brújula. En cualquier lugar
que señalemos nos indica el Norte. Explicación:
La Tierra es un gran imán con sus polos cerca del
los polos geográficos y la brújula es un pequeño
imán con muy poco rozamiento, lo que le permite
moverse en el campo magnético terrestre.
El polo norte del imán es el que apunta cerca del
Polo Norte geográfico y polo sur del imán al que
apunta cerca del Polo Sur geográfico. De esta
forma el Polo Norte geográfico está cerca del Polo
Sur magnético de la Tierra y viceversa.
En la figura se observa una ilustración gráfica del
gran imán planetario
El campo magnético es el único en que las líneas de
fuerza que indican la dirección del campo son
visibles.
En la figura se observa una superficie salpicada de
limaduras de hierro. Ante la presencia de un Imán,
se alinearán según sus líneas de fuerza, debido a
que cada partícula de hierro se convierte en un
pequeño imán y todas ellas se alinean según las
líneas de fuerza existentes.
Existe el convenio de admitir que las líneas de
fuerza salen del polo norte del imán y se introducen
por el polo sur, tal como vemos en la figura adjunta.
Dentro del imán las líneas de fuerza se mantendrían
paralelas, indicando un valor homogéneo de la
intensidad de campo
Investigando sobre el campo magnético, Öersted
realizó la experiencia que vemos en la imagen
adjunta. En principio la brújula señala el Norte
geográfico, pero cerrando el circuito cambia su
orientación, de forma que se sitúa perpendicular a la
corriente.
Esta experiencia daba el mismo resultado en
cualquier lugar que pusiera la brújula.
La única interpretación posible era que la corriente
creaba líneas de fuerza magnéticas circulares y
concéntricas con la corriente.
Campo magnético creado por cargas puntuales en movimiento
B  km
ˆr
q vu
r2
Campo magnético creado por un elemento de corriente
dB  k m
ˆr
I dl  u
r2
km = 10-7 N/A2
Constantes de
proporcionalidad
mo = 4p·10-7 T m/A
Permeabilidad del vacío
La fuente de campo eléctrico es la carga puntual (q), mientras
que, para el campo magnético, es la carga móvil ( qv ) o un

elemento de corriente ( Id l ).
Analogías y diferencias entre campo eléctrico y campo
magnético
Analogías
Ambos decrecen con el cuadrado de la distancia.
Tienen una constante de proporcionalidad definida.
Diferencias


La dirección de E es radial, mientras que la de B es
 
perpendicular al plano que contiene a Id l y r
Existe la carga puntual aislada, pero no el polo
magnético aislado.
y

Id l
a
m oI ˆ
B
k
2pR
a
ur
a
x
En una espira circular el
elemento de corriente
siempre es perpendicular
al vector unitario
dB 
m0 idL  rˆ
4p r 2
El problema consiste en sumar todas las
contribuciones al campo en el punto provenientes de
todos los dL a través de la espira.
dB 
m0 i dL rˆ sen(90º ) ˆ
i
4p
r2
B
m0 idL ˆ
i
4p R2
 B

dB 
m0i
dL ˆi
2 
4pR
m0 idL ˆ
i
4p r 2
 B

dB 
m0 idL ˆ
i
4p R2
m0i
(2pR) ˆi
2
4pR
B
m0i ˆ
i
2R
Campo magnético creado
por una espira circular en
un punto de su eje (=2p)
B
mo
I R2

2 x2  R2

3/2
ˆi
dB 
m0 idL  rˆ
4p r 2
El problema consiste en sumar todas las
contribuciones al campo en el punto.
Dado
que
las
componentes
dB  dB  dB X
perpendiculares se anulan al realizar la
suma para todos los dL a través de la
dB  dBcos  ˆt
espira, sólo basta sumar las contribuciones
ˆ
a lo largo de la coordenada X del campo.
dB x  dB sen i
R
sen 
r  R2  x 2
R2  x 2
m i dL rˆ sen(90º )
m idL
m
idL
dB  0
 dB  0 2  dB  0 2
2
4p
r
4p r
4p (R  x 2 )
dB X 
BX 
m0
idL
sen ˆi
4p (R2  x 2 )
m0i
R
dL ˆi
2
2 3/2 
4p (R  x )

dB X 
 BX 
m0
idL
R
ˆi
4p (R2  x 2 ) R2  x 2
m0iR
(2pR) ˆi
2
2 3/2
4p(R  x )
 BX  
m0
iRdL
ˆi
4p (R2  x 2 )3 / 2
m0iR2
ˆi
BX 
2(R2  x 2 )3 / 2

B
L
mo I
sen1  sen2 
4p y
Determinar el campo magnético para el alambre de la figura, en el centro de una semi espira de
radio R por el que circula una corriente i.
El problema consiste en sumar todas las
contribuciones al campo en el punto,
provenientes de todos los dL a través del
alambre.
m idL  rˆ
dB  0
4p r 2
dB  dB1  dB2  dB3  0  dB2  0  dB2
dB2 
m0 i dL rˆ sen(90º ) ˆ
( k) 
4p
r2
B2  
m0 idL ˆ
( k)
4p R2
 B2 
dB2 
m0 idL ˆ
( k)
4p r 2
m0i
ˆ
dL ( k)
2 
4pR
 B2 

dB2 
m0 idL ˆ
( k)
4p R2
m0i
ˆ
( pR) ( k)
2
4pR
m0i ˆ
B
k
4R
Campo magnético en un punto de la mediatriz
En este caso
sen1  sen2 
L/2
L2
y 
4
2
m I
B o
4p y
L
L2
y 
4
2
Campo magnético creado por una corriente infinita
En este caso
p
2
p
2 
2
1 
 mo I 
B
un
2p y
Líneas de campo magnético creado por una corriente rectilínea
Cálculo de campos magnéticos debidos a segmentos semiinfinitos
Expresión general
Caso I
2
2
mo I
sen1  sen2 
4p y
Caso II
p
1 
2
m I
B  o 1  sen2 
4p y
B
2= 0
B
I
1 
1 
p
2
p
2
mo I 1
 B
4p y 2 Hilo
Infinito
Caso III
B
I
mo I
1  sen2 
4p y
I
Tomando el sistema de referencia
habitual

m o I1 
B1 
( i )
2p R

mo I2 
B2 
(i)
2p R
Veamos cuál es la fuerza que ejerce una corriente sobre la otra
 

p m o I1I 2 
F1  I 2 l2  B1  I 2l 2 B1sen 
( j)
2 2p R
Iguales y de
 

sentido contrario
p m o I1I 2 
F2  I1 l1  B2  I1l1B2sen 
j
2 2p R
Conclusión
Dos corrientes paralelas por las que circula
una corriente se atraerán si las corrientes
circulan en el mismo sentido, mientras que si
las corrientes circulan en sentidos opuestos
se repelen.
Definición de Amper
Un amperio es la intensidad de corriente que, circulando en el
mismo sentido por dos conductores paralelos muy largos
separados por un metro (R=1 m), producen una fuerza atractiva
mutua de 2·10-7 N por cada metro de conductor.
La ley de Ampère, relaciona la componente tangencial del campo
magnético, alrededor de una curva cerrada C, con la corriente Ic
que atraviesa dicha curva.
 
B  d l  mo Ic
C: cualquier curva cerrada

C
Ejemplo 1: Campo magnético creado por un hilo infinitamente
largo y rectilíneo por el que circula una corriente.
 
Si la curva es una circunferencia B d l
 
B  d l  B dl  B dl  B 2pR m o I c



C
C
C
 mo Ic 
B
un
2p R
Ejemplo 2: Campo magnético creado por un toroide.
Como curva de integración tomamos
una circunferencia de radio r centrada
en el toroide. Como B es constante en
todo el círculo:

 
B  d l  B dl  B dl  B 2pR m o I c
C
Para a < r < b
Ic = NI

raB0
Casos particulares

r bB0
Si (b-a)<< radio medio


C
C
 m o NI 
B
un
2p r
No existe corriente a través
del circulo de radio r.
La corriente que entra es
igual a la que sale.

B es uniforme en el interior.
Caso general
En el caso en el que la curva de integración
encierre varias corrientes, el signo de cada una
de ellas viene dado por la regla de la mano
derecha: curvando los dedos de la mano derecha
en el sentido de la integración, el pulgar indica el
sentido de la corriente que contribuye de forma
positiva.
I5
I1
I3

 
B  d l  mo Ic
C
donde
Ic  I1  I 2  I3
I2
I4
Ejemplo: Cálculo del campo magnético producido por un alambre
recto y largo que transporta una corriente I.
rR  B
mo I
r
2
2pR
r R B
mo I
2pr
Un solenoide es un alambre arrollado en forma de hélice con
espiras muy próximas entre sí. Se puede considerar como una
serie de espiras circulares situadas paralelamente que transportan
la misma corriente.
Desempeña en el magnetismo un papel análogo al de un
condensador de placas paralelas, ya que el campo magnético es
un interior es intenso y uniforme.
Líneas de campo magnético debido a dos espiras paralelas
por las que circula la misma corriente.
Líneas de campo magnético debido a un solenoide
Cálculo del campo magnético creado por un solenoide
B  mo n I
4
3
1
2
Diferencia entre líneas de
campo eléctrico y líneas de
campo magnético
Las primeras comienzan
y terminan en las
cargas, mientras que las
segundas son líneas
cerradas.
 
 m  B  dS  0

s
No existen puntos a partir de
los cuales las líneas de
campo convergen o divergen
No existe el monopolo magnético