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Análisis de CA en estado estable
Unidad I Análisis de CA en estado estable
Conferencia 2
C. R. Lindo Carrión
1
Análisis de CA en estado estable
Objetivos
Utilizar correctamente las relaciones de Impedancia y
Admitancia para los elementos : resistores, capacitores e
inductores.
Aplicar adecuadamente los conceptos de: relaciones de fases,
adelanto y atraso entre las variables de corriente y voltaje a
través de un elemento eléctrico.
Aplicar las técnicas de análisis y teoremas de redes lineales para
redes excitadas senoidalmente, compuestas por elementos
resistivos, capacitivos e inductivos.
Contenido
1.5
1.6
Impedancia y Admitancia.
Técnicas de Análisis. (redes en escalera, análisis nodal,
análisis de malla)
C. R. Lindo Carrión
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Análisis de CA en estado estable
1.4 Impedancia y Admitancia
Impedancia
La impedancia se define como la razón del voltaje fasorial V a la
corriente fasorial I, así:
V VM  v VM
Z 

( v   i )  Z z [Ohms]
I
I M  i
IM
Entonces la impedancia tiene dos componentes:
Z(jω) = R(ω) + jX(ω), la parte real es la que hasta ahora
conocíamos y es la Resistencia y la parte compleja que es conocida
como Reactancia.
Como puede ser visto, una característica importante de la
Impedancia es que depende de la frecuencia.
Z  Z z  R  j X
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Análisis de CA en estado estable
entonces la magnitud de la impedancia es:
y la fase es:
Z  R2  X 2
X
 z  tan  
R
1
podemos escribir que la Resistencia y la Reactancia serán:
R = Zcosθz y X = Zsenθz.
En la siguiente tabla resumimos la impedancia para cada uno de los
elemento pasivos conocidos hasta el momento.
Elementos
pasivos
Impedancia
R
Z=R
L
Z = jωL = jXL = ωL|90o, XL = ωL
C
Z = 1/jωC = -jXC = (1/ωC)|-90o, XC = 1/ωC
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Análisis de CA en estado estable
Las Leyes de Kirchhoff de los Voltajes y las Corrientes, son válidas
en el dominio de la frecuencia. También podemos decir que las
impedancias en serie al igual que las Resistencias en serie, se
suman, es decir,
Zs = Z1 + Z2 + Z3 + ∙∙∙ +Zn
Para el caso de las impedancias en paralelo, es igual al caso de las
Resistencias en paralelo, La impedancia equivalente paralelo, es el
inverso de la suma de todos los inverso, es decir,
1
Zp 
1
1
1
1



Z1 Z 2 Z 3
Zn
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Análisis de CA en estado estable
Ejemplo:
Para el circuito que se muestra en la Figura 1.12
encuentre la corriente i(t) para las frecuencias: a) f
= 60Hz y b) f = 400Hz. Considere v(t) = 50cos(ωt
+ 30º) V, R = 25Ω, L = 20mH y C = 50µF.
Solución:
Primero encontraremos las impedancias de cada elemento, para el
caso a) f = 60Hz, tenemos:
ZR = 25Ω, ZL = jωL = j(2*60)(20m)= j7.54Ω, y ZC = 1/jωC = j/(2*60)(50µ) = -j53.05Ω
Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman para
obtener la impedancia equivalente, así:
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Análisis de CA en estado estable
Zs = ZR + ZL + ZC = 25 – j45.51Ω
Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos:
V
5030 o
o
I


0
.
96

91
.
22
A
0
Z s 51.92  61.22
así la corriente i(t) será:
i(t) = 0.96cos(120t + 91.22º) A
para el caso b) f = 400Hz, tenemos:
ZR = 25Ω, ZL = jωL = j(2*400)(20m)= j50.27Ω, y ZC =
1/jωC = -j/(2*400)(50µ)= -j7.96Ω
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Análisis de CA en estado estable
Ahora como las tres impedancias están en serie, se suman para
obtener la impedancia equivalente, así:
Zs = ZR + ZL + ZC = 25 + j42.31Ω
Aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos:
V
5030 o
o
I


1
.
02


29
.
42
A
0
Z s 49.1459.42
así la corriente i(t) será:
i(t) = 1.02cos(800t – 29.42º) A
Es importante notar que a la frecuencia de 60Hz, la reactancia del
circuito es capacitiva, ya que la parte imaginaria es negativa, sin
embargo, en f = 400Hz la reactancia es inductiva, ya que la parte
imaginaria es positiva.
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Análisis de CA en estado estable
Admitancia
Otra cantidad que es muy útil en el análisis de circuitos de
corriente alterna es la admitancia. Es el recíproco de la
Impedancia, es decir,
1
I
Y    Y y  G  jB
Z V
La parte real G, es la que hasta ahora conocíamos y es la
Conductancia y la parte compleja B, es conocida como
Susceptancia. Podemos entonces escribir,
1
G  jB 
R  jX
entonces podemos encontrar cada una de las partes como:
G
R
R2  X 2
B
X
R2  X 2
G
R 2
G  B2
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B
X  2
G  B2
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Análisis de CA en estado estable
En la siguiente tabla resumimos la admitancia para cada uno de
los elemento pasivos conocidos hasta el momento.
Elementos
pasivos
Admitancia
R
Y = 1/R= G
L
Y = 1/jωL = (1/ωL)|-90o
C
Y = jωC = ωC|90o
Para el caso de las admitancias en paralelo es similar al de las
Admitancias en paralelo, se suman, es decir,
Yp = Y1 + Y2 + Y3 + ∙∙∙ +Yn
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Análisis de CA en estado estable
Para el caso de las admitancias en serie, es igual al caso de las
Admitancias en serie, La admitancia equivalente serie, es el inverso
de la suma de todos los inverso, es decir,
1
Ys 
1
1
1
1



Y1 Y2 Y3
Yn
Ejemplo:
Para el circuito que se muestra en la
Figura 1.13 encuentre la corriente
fasorial I. Considere Vs = 60|45o V.
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Análisis de CA en estado estable
Solución:
Primero encontraremos las admitancias de cada elemento:
YR 
entonces:
1
1
 S
ZR 2
1
j
YL 

S
ZL
4
1 j
Yp   S
2 4
Ahora aplicando la ley de Ohm al circuito final, tenemos:

 


1
1
I  Y p Vs    j  6045 o  0.56  26.57 o 6045 o  33.5418.43o A
4
2
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Análisis de CA en estado estable
Transformaciones Y-Δ y Δ-Y
Similar que el caso con las Resistencias, encontraremos circuitos en los
cuales, cuando intentamos reducir el circuito a una impedancia
equivalente Z, encontramos que en ningún lado hay una impedancia
en serie o en paralelo con otra.
Entonces podemos resolver el problema usando transformaciones Y a
delta () o delta a Y, según convenga. Estas conversiones pueden ser
apreciadas en las Figuras 1.14 (a) y (b)
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Análisis de CA en estado estable
Se procede de similar forma como lo hicimos con el caso de las
resistencias: de ambos circuitos tomemos las siguientes impedancias:
Z ab
Z 2 Z1  Z 3 
Z 3 Z1  Z 2 
 Z a  Zb 
Z bc  Z b  Z c 
Z 2  Z1  Z 3
Z 3  Z1  Z 2
Z ca
Z1 Z 2  Z 3 
 Zc  Za 
Z1  Z 2  Z 3
Ahora si resolvemos este conjunto de ecuaciones para Za, Zb y Zc,
obtenemos:
Z1 Z 2
Z 2 Z3
Z1 Z 3
Zb 
Za 
Zc 
Z1  Z 2  Z 3
Z1  Z 2  Z 3
Z1  Z 2  Z 3
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Análisis de CA en estado estable
Una forma sencilla para recordar este procedimiento para pasar de  Y es: insertar la Y dentro de la  y la impedancia que se busca, será
igual al producto de la impedancia entre las cuales se encuentra (en
la ) dividido entre la suma de las tres impedancias.
De manera similar, si resolvemos ahora para Z1, Z2 y Z3 obtenemos:
Z a Zb  Zb Zc  Z a Zc
Z a Zb  Zb Zc  Z a Zc
Z2 
Z1 
Zc
Zb
Z a Zb  Zb Zc  Z a Zc
Z3 
Za
Al igual que en el caso anterior, una forma sencilla para recordar este
procedimiento para pasar de Y - es: insertar la  en la Y y la
impedancia que se busca, será igual a la suma de los producto de las
combinaciones de dos impedancias (de la Y) dividido entre la
impedancia del lado opuesto a la que se esta encontrando (de la Y).
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Análisis de CA en estado estable
Para el caso balanceado en que Za = Zb = Zc y Z1 = Z2 = Z3 entonces
ZY 
1
Z
3
y Z = 3 ZY
Ejemplo:
Encuentre la impedancia equivalente del circuito que se muestra en la
Figura 1.15
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Análisis de CA en estado estable
Solución:
Primero convertiremos la parte de arriba del Δ en Y, para ello
comenzaremos con encontrar la impedancia entre el nodo a y en
centro de la Y, así:
2( j 2  j 4)
2( j 2)
490 o
o
Za 



0
.
493

45
 0.67  j 0.67 
o
2  j 2  j 4  1  j1 3  j3 3 245
luego la impedancia entre el nodo b y el centro de la Y,
( j 2  j 4)(1  j ) ( j 2)(1  j ) 290 o
o
Zb 



0
.
67

90
 j 0.67 
o
2  j 2  j 4  1  j1
3(1  j )
30
luego la impedancia entre el nodo c y el centro de la Y,
2(1  j )
2(1  j ) 2
Zc 

  0.67 
2  j 2  j 4  1  j1 3(1  j ) 3
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Análisis de CA en estado estable
Esto puede verse en la Figura 1.16, luego reducimos, las impedancias
que se encuentran en serie, como son: 0.67 - j1 Ω y 2 + j0.67 Ω, las
cuales se encuentran ahora en paralelo, y resolviendo nos da:
(0.67  j1)(2  j 0.67) (1.2  56.18o )(2.1118.52o )
Zp 

 0.56  5.64o  0.56  j 0.06 
o
0.67  j1  2  j 0.67
3.15  32.02
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Análisis de CA en estado estable
Resultando el circuito equivalente de la Figura 1.17, que como
podemos observar, todas las impedancias se encuentran en serie,
entonces la impedancia equivalente Z es:
Z = 2 +0.67 +j0.67 +0.56 – j0.06 = 3.23 + j0.61 Ω
Figura 1.17
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Análisis de CA en estado estable
Técnicas de análisis
Ejemplo:
Para el circuito que se muestra en
la Figura 1.18, encuentre cada una
de las variables del circuito.
Solución:
Tenemos dos alternativas para resolverlo, primero, encontrar la
impedancia equivalente, vista por la fuente Vs y luego aplicar la ley de
Ohm, para encontrar la corriente I1.
Segundo, encontrar la impedancia vista por V1 y luego hacer un
divisor de voltaje, para encontrar V1. Procederemos haciendo lo
primero.
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Análisis de CA en estado estable
Para encontrar la impedancia vista por la fuente Vs, tenemos la
impedancia de 8Ω en serie con la impedancia de –j4Ω, esa
impedancia equivalente queda en paralelo con la impedancia de j6Ω y
ese equivalente obtenido queda en serie con la impedancia de 4Ω,
así:
Z eq
( j 6)(8  j 4)
24  j 48
12  j 24
26.8363.43o
 4
 4
 4
 4
 4  6.5149.39 o
o
j6  8  j 4
8  j2
4 j
4.1214.04
Z eq  4  4.24  j 4.94  8.24  j 4.94  9.6130.94o
Ahora aplicamos la ley de Ohm, para obtener la corriente I1:
Vs
2460o
o
I1 


2
.
5

29
.
06
A
o
Z eq 9.6130.94
El voltaje V1 puede ser encontrado haciendo la LKV a la malla de la
izquierda, así:
C. R. Lindo Carrión
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Análisis de CA en estado estable
V1 = Vs - 4 I1 = 24|60o - 10|29.08o = 12 + j20.78 -8.74 – j4.86 =
3.26 + j15.92 = 16.25|78.43o V
Teniendo el voltaje V1 podemos aplicar la ley de Ohm para encontrar
la corriente I2, así:
V1 16.2578.42 o
o
I2 


2
.
71


11
.
58
A
o
j6
690
También podemos encontrar I3, a partir de V1, aplicando también la
ley de Omh, así:
V1
16.2578.42o
o
I3 


1
.
82

105
A
o
8  j 4 8.94  26.56
Ahora V2, puede ser encontrado, aplicando nuevamente la ley de
Ohm, así:
V2 = (-j4)I3 = (4|90o)(1.82|105o) = 7.28|15o V
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Análisis de CA en estado estable
Técnicas de análisis
Ejemplo:
Usando el método de análisis
nodal, encuentre la corriente Io en
el circuito mostrado en la Figura
1.19
Solución:
Primero ubicamos nuestra respuesta, es decir Io, para encontrarlo
necesitamos el voltaje del nodo 2, entonces aplicando la ley de Ohm,
la corriente Io, será:
V2
Io 
1
Entre los nodos 1 y 2, existe un supernodo, cuya ecuación será:.
V2 – V1 = 6|0o, (1) es la primera ecuación.
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Análisis de CA en estado estable
La segunda ecuación la obtenemos de aplicar LKC al supernodo, así:
 1

1

1
1
V1   
j
1 1

V2  20 o
j
(2)
Como necesitamos encontrar V2, de la ecuación (1) despejamos V1 en
función de V2,
V1 = V2 - 6|0o, y la insertamos en la ecuación (2), para tener:
 V2  60 o

 1 j
 1
1
   
 1 1

V2  20 o
j
 1
1
1
reacomodando tenemos: 
 
1 j 1 1
o

6

0
V2  20 o 
j
1 j
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Análisis de CA en estado estable
2  j2  6
1 j  2 1 j 
V2 
2
1 j


efectuando operaciones tenemos: 
2V2  8 
j2
1 j
Simplificando tenemos:
despejando el voltaje V2, será:
4 j
1714.04 o
o
V2 


2
.
915


30
.
96
 2.5  j1.5V
o
1 j
245
por lo tanto la corriente Io será:
V2
Io 
1
= 2.5 – j1.5 A = 2.92|-30.96o A
C. R. Lindo Carrión
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Análisis de CA en estado estable
Técnicas de análisis
Ejemplo:
Ahora resolvamos el ejemplo
anterior, pero usando el método de
análisis de malla, encontremos la
corriente Io en el circuito mostrado
en la Figura 1.20
Solución:
Primero tenemos que asignar las corrientes de llama, las elegimos
como se muestra en la Figura 1.21
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Análisis de CA en estado estable
Luego ubicamos nuestra
respuesta, es decir Io, para
encontrarlo necesitamos la
corriente malla I2 entonces
aplicando la LKV a la malla
2, así:
(2 – j)I2 + (1 – j)I3 = 0, (1), pero como nos interesa I2, despejamos
I3 en función de I2
(2  j )
I3 
I2
(1  j )
necesitaremos aplicar la LKV a la supermalla 3, así,
(1 + j +1 – j)I3 + (1 + j)I1 + (1 - j)I2 = -6, pero I1 es una ecuación de
restricción, I1 = 2|0o A, sustituyendo, I1 e I3 en esta ecuación,
tenemos:
C. R. Lindo Carrión
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Análisis de CA en estado estable
2
(2  j )
I 2  (1  j )2  (1  j )I 2  6
(1  j )
resolviendo esto , obtenemos:
(4 – j2)I2 - 4 + j2I2 = 6 –j6, por lo tanto la corriente I2 será:
10  j 6 5
3
I2 
  j  2.5  j1.5 A
4
2
2
que es la respuesta encontrada en el ejercicio anterior.
C. R. Lindo Carrión
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