Download Semejanza de triángulos

Semejanza de triángulos
¿Cómo podemos calcular la altura del árbol?
¿Son suficientes los datos que tenemos?
La altura de Sara es
1,5 metros
El problema se puede resolver usando Semejanza de
Triángulos
Comencemos por
entender qué es la
Semejanza de
Triángulos
Definición:
• Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos
son correspondientemente congruentes.
A
M
N
B
P
mA = 70
mB = 65
mC = 45
C
 ABC  MNP
mM = 70
mN = 65
mP = 45
Entendiendo el concepto
Cuando dos triángulos son
semejantes, tienen exactamente
la misma forma, pero diferente
tamaño.
NOTA IMPORTANTE:
Es importante utilizar adecuadamente la notación de
semejanza para dos triángulos.
Al decir que  ABC  MNP, implícitamente se está
diciendo que el ángulo A es congruente con el ángulo
M. Asimismo, el ángulo B lo es con N, y el ángulo C es
congruente con el ángulo P.
¿Pero ahora cómo nos puede ayudar la semejanza de
triángulos a resolver nuestro problema inicial?
Se pueden sacar muchas conclusiones cuando se tienen
dos triángulos semejantes.
Veamos:
En dos triángulos semejantes se cumple que sus lados homólogos
son proporcionales.
Los lados homólogos son los opuestos a ángulos congruentes.
A la razón de uno de los lados con
su lado homólogo se le llama razón
de semejanza k.
En este caso k = 1/2
Lo interesante es que esta proporción se mantiene también
para las alturas y las medianas, siempre correspondientes
a los lados homólogos de los triángulos semejantes.
La razón de los perímetros de ambos
triángulos también es igual a la razón de
semejanza k.
Finalmente, la razón de las áreas de los
triángulos semejantes, es igual a la
razón de semejanza elevada al
cuadrado; es decir a k2.
Para identificar si dos triángulos son semejantes se utilizan 3
postulados o criterios de semejanza.
Veamos:
Criterios de semejanza
• Primer criterio:
• AA
• Dos triángulos son
semejantes si dos
ángulos de uno de
ellos son congruentes
a dos ángulos del
otro.
A  A'
B  B'
C
A
B
A’
C’

B’
Criterios de semejanza
• Segundo criterio:
• LLL
• Dos triángulos son
semejantes si los
lados de uno de ellos
son proporcionales a
los lados homólogos
del otro.
AB
BC
AC



A' B' B' C ' A' C '
C
A
B
A’
C’
B’
Criterios de semejanza
• Tercer criterio:
• LAL
• Dos triángulos son semejantes si
dos lados de uno de ellos son
proporcionales a dos lados del
otro y los ángulos comprendidos
entre dichos lados son
congruentes.
AB
AC

A' B ' A' C '
A  A'

C
A
B
A’
C’
B’
¿Podemos ahora resolver el problema?
La altura de Sara es
1,5 metros
FIN