Download Procesos matemáticos en la enseñanza/aprendizaje de la geometría

Procesos matemáticos en la
enseñanza/aprendizaje de la
geometría
Angel Gutiérrez
Dpto. de Didáctica de la Matemática
Universidad de Valencia
Valencia (España)
[email protected]
www.uv.es/Angel.Gutierrez
1
Aprender matemáticas es, principalmente, aprender
una variedad de procesos matemáticos:
- Observar y Describir
- Analizar y Definir
- Comparar y Clasificar
- Explicar y Demostrar
- Imaginar y Visualizar
2
Modelo de razonamiento matemático de
Van Hiele
Niveles de razonamiento
Fases de aprendizaje
3
DESCRIBIR
Nivel 1: Descripción de propiedades y elementos
físicos de los objetos matemáticos.
Nivel 2: Descripción de propiedades y elementos
matemáticos de los conceptos.
4
DESCRIBIR
5
DESCRIBIR
6
DEFINIR (usar definiciones)
Nivel 2: Definiciones con una estructura lógica simple.
Nivel 3: Cualquier tipo de definición.
Nivel 4: Se admite la existencia de definiciones
equivalentes.
7
DEFINIR (construir definiciones)
Nivel 1: Descripción de características físicas de las
figuras.
Nivel 2: Lista de las propiedades conocidas de ese
concepto, redundante o insuficiente.
Nivel 3: Conjunto de propiedades necesarias y
suficientes.
Nivel 4: Se puede demostrar la equivalencia de
definiciones.
8
CLASIFICAR
Nivel 1: Clasificaciones exclusivas basada en el aspecto
físico.
Nivel 2: Clasificaciones exclusivas de familias con
propiedades contrarias.
Nivel 3: Clasificaciones inclusivas o exclusivas según
las definiciones usadas.
9
CLASIFICAR
CUADRADO: Cuadrilátero con todos los lados iguales y
todos los ángulos rectos.
RECTÁNGULO: a) Cuadrilátero con dos pares de
lados iguales y todos los ángulos rectos.
b) Cuadrilátero con todos los ángulos rectos.
ROMBO: a) Cuadrilátero con dos pares de ángulos
iguales y todos los lados iguales.
b) Cuadrilátero con todos los lados iguales.
10
CLASIFICAR
Rect.
Cuadr.
11
CLASIFICAR
Rect.
Cuadr.
12
CLASIFICAR
Rect.
Rect.
Cuadr.
Cuadr.
13
CLASIFICAR
Isósc.
Isósc.
Equil.
Equil.
Isósceles: Triángulo con (al
menos) dos lados iguales.
Isósceles: Triángulo con dos
lados iguales y uno desigual.
14
CLASIFICAR
CUADRADO: Cuadrilátero con todos los lados iguales
y todos los ángulos rectos.
PARALELOGRAMO: Cuadrilátero con dos pares de
lados paralelos.
15
DEMOSTRAR
Nivel 2: Verificación empírica de las propiedades en uno o
varios ejemplos.
Nivel 3: Demostraciones abstractas deductivas informales,
pero generalmente con ayuda de ejemplos concretos.
Nivel 4: Demostraciones abstractas deductivas formales.
16
DEMOSTRAR
Categorías de demostraciones (Marrades, Gutiérrez):
Demostraciones empíricas o inductivas:
- Empirismo naïf: Verificación en ejemplos cualesquiera.
- Experimento crucial: Verificación en un ejemplo “general”.
- Ejemplo genérico: Justificación abstracta basada en un ejemplo
representante de su clase.
Demostraciones deductivas:
- Experimento mental: Demostración con la ayuda de un ejemplo.
- Cálculo sobre enunciados: Basada en manipución o transformación
de expresiones literales.
- Transformativa: Basada en operaciones de transformación de
objetos y anticipación de resultados.
- Axiomática: Basada en los elementos del sistema axiomático.
17
DEMOSTRAR
Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento
que une dos vértices no consecutivos.
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?
18
DEMOSTRAR
Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento
que une dos vértices no consecutivos.
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?
19
DEMOSTRAR
Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento
que une dos vértices no consecutivos.
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?
20
DEMOSTRAR
Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento
que une dos vértices no consecutivos.
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?
21
DEMOSTRAR
Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento
que une dos vértices no consecutivos.
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?
22
DEMOSTRAR
Recuerda que una diagonal de un polígono es un segmento
que une dos vértices no consecutivos.
¿Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados?
23
VISUALIZAR
Represent.
externas
Habilidades
Procesos
mentales
Imágenes
mentales
24
VISUALIZAR
25
VISUALIZACIÓN
Tipos de imágenes mentales (Presmeg):
•
Concretas o pictóricas.
•
De fórmulas.
•
De patrones.
•
Cinéticas.
•
Dinámicas.
26
VISUALIZACIÓN
Tipos de procesos mentales (Bishop):
•
Procesamiento visual:
Información > Imagen.
•
Interpretación de información figurativa:
Imagen > Información.
27
VISUALIZACIÓN
Tipos de habilidades mentales (Del Grande):
•
Coordinación motriz de los ojos.
•
Identificación visual.
•
Conservación de la percepción.
•
Reconocimiento de posiciones en el espacio.
•
Reconocimiento de relaciones espaciales.
•
Discriminación visual.
•
Memoria visual.
28
Procesos matemáticos en la
enseñanza/aprendizaje de la
geometría
Angel Gutiérrez
Dpto. de Didáctica de la Matemática
Universidad de Valencia
Valencia (España)
[email protected]
www.uv.es/Angel.Gutierrez
29
VISUALIZACIÓN
¿Cuántos cuadrados hay en la figura?
30
VISUALIZACIÓN
¿A qué lado está el hombre? ¿Y la mujer?
31
VISUALIZACIÓN
¿A qué lado de la mujer está el hombre?
32
VISUALIZACIÓN
¿Cuánto módulos iguales hay?
33